Wahrscheinlichkeitstheorie: 7 vollständige schnelle Fakten

Die Wahrscheinlichkeitstheorie entstand aus dem Konzept des Eingehens von Risiken. Es gibt heutzutage viele Komplikationen, die sich aus dem Glücksspiel ergeben, z. B. das Gewinnen eines Fußballspiels, das Spielen von Karten und das Werfen einer Münze oder das Werfen von Würfeln. 

Die Wahrscheinlichkeitstheorie wird in vielen verschiedenen Bereichen und der Biegsamkeit von verwendet Wahrscheinlichkeitstheorie liefert Werkzeuge für fast so viele unterschiedliche Anforderungen. Hier werden wir die Wahrscheinlichkeitstheorie und einige Stichproben anhand einiger grundlegender Konzepte und Ergebnisse diskutieren.

ZUFÄLLIGE EXPERIMENTE:

"Zufälliges Experiment ist eine Art von Experimenten, bei denen das Ergebnis nicht vorhergesagt werden kann."

PROBENRAUM: 

Die Menge aller möglichen Ergebnisse des Experiments wird als Probenraum bezeichnet, wird normalerweise mit S bezeichnet und alle Testergebnisse werden als Probenpunkt bezeichnet.
Beispiel: Denken Sie an das zufällige Experiment, 2 Münzen gleichzeitig zu werfen. Es gibt 4 Ergebnisse, die einen Probenraum bilden, der mit S = {HH, TT, HT, TH} bezeichnet ist.

TRAIL & EVENT:

Jede nicht leere Teilmenge von A des Probenraums S wird als Ereignis bezeichnet. Betrachten Sie das Experiment, um eine Münze zu werfen. Wenn wir eine Münze werfen, finden wir einen Kopf (H) oder einen Schwanz (T). Hier ist das Werfen einer Münze die Spur und das Erhalten eines Kopfes oder eines Schwanzes ist ein Ereignis.

VERBUNDENE EREIGNISSE: 

Ereignisse, die durch Kombinieren von zwei oder mehr Basisereignissen erfasst werden, werden zusammengesetzte Ereignisse oder zerlegbare Ereignisse genannt.

EXHAUSTIVE EREIGNISSE:

Die Gesamtzahl der realisierbaren Ergebnisse eines Trails wird als erschöpfende Ereignisse bezeichnet.

Beispiel: Beim Würfeln sind die möglichen Ergebnisse 1 oder 2 oder 3 oder 4 oder 5 oder 6. Wir haben also insgesamt 6 Ereignisse beim Würfeln.

GEGENSEITIG EXKLUSIVES UND EXHAUSTIVES EREIGNIS-SYSTEM:

Sei S der Probenraum eines zufälligen Experiments, wenn X.₁, X₂,… ..X_n sind die Teilmengen von S und

(i) X._i ∩ X._j =Φ für i ≠ j und (ii) X₁ ∪ X.₂ ……… ∪ X._n =S

Dann diese Sammlung von X.₁∪ X.₂ ……… ∪ X._n soll ein sich gegenseitig ausschließendes und erschöpfendes Ereignissystem schaffen.

Was ist Unabhängigkeit?

Wenn wir eine Karte in einer Tasche mit gut angepassten Karten herausziehen und zweitens auch eine Karte aus dem restlichen Kartenpaket (mit 51 Karten) extrahieren, hängt die zweite Extraktion an der ersten. Wenn wir andererseits die zweite Karte durch Einsetzen der ersten gezogenen Karte (Ersetzen) aus der Packung ziehen, wird die zweite Ziehung als unabhängig von der ersten bezeichnet.

Beispiel:  Zwei Münzen werden geworfen. Die erste Münze mit dem Kopf sei Ereignis X und das Y die zweite Münze mit dem Schwanz nach dem Wurf. Zwei Ereignisse X und Y sind grundsätzlich unabhängig.

Beispiel:   Es werden zwei schöne Würfel gezogen. Wenn eine ungerade Zahl auf den ersten Würfel kommt, betrachten Sie sie als Ereignis X und für die zweite gerade Zahl als Ereignis Y.

Die beiden Ereignisse X und Y sind voneinander unabhängig.

Beispiel: Eine Karte wird aus einem Kartenspiel mit 52 Karten gezogen. Wenn A = Karte ist von Herzen, B = Karte ist ein König und A ⋂ B = Karte ist König der Herzen, dann Ereignisse A und B sind abhängig

GÜNSTIGE ANZAHL DER FÄLLE: Die Anzahl der Fälle, die die Verhandlung eines Ereignisses in einem Gerichtsverfahren ermöglichen, ist die Gesamtzahl der primären Ereignisse, deren Aspekt den Eintritt des Ereignisses sicherstellt.

Was ist mit Wahrscheinlichkeit gemeint? 

Wenn eine willkürliche Demonstration ergibt n unpassende, ebenso wahrscheinliche und erschöpfende Ergebnisse, von denen m sind mit dem Eintreten eines Ereignisses einverstanden A, dann die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von A ist gegeben durch

Wahrscheinlichkeitsnotation: P (X) = m / n

Für zwei Ereignisse X und Y,

(i) X′ oder x  oder X.^C zeigt an, dass X nicht vorkommt oder negiert wird.

(ii) X. ∪ Y bedeutet das Auftreten von mindestens einem von X und Y.

(iii) X. ∩ Y bedeutet für das gleichzeitige Auftreten von X und Y.

(iv) X ' ∩ Y 'bedeutet für das Nichtauftreten des einen und des anderen X und Y.

(v) X⊆ Y bedeutet für „das Eintreten von X weist auf das Eintreten von Y hin“.

Beispiel: Ein Eimer enthält 6 rote und 7 schwarze Murmeln. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, rote Murmeln zu zeichnen. 

Lösung: Gesamt-Nr. von möglichen Wegen, 1 Marmor zu erhalten = 6 + 7

 Anzahl der Möglichkeiten, 1 roten Marmor zu erhalten = 6 

Wahrscheinlichkeit = (Anzahl der günstigen Fälle) / (Gesamtzahl der erschöpfenden Fälle) = 6/13

Beispiel: Aus einer Packung mit 52 Karten wird 1 Karte zufällig gezogen. Finde die Wahrscheinlichkeit, eine Königin-Karte zu bekommen.

Lösung: Eine Königin-Karte kann auf vier Arten ausgewählt werden.

 Gesamtzahl der Auswahlmöglichkeiten für 1 Königinnenkarte = 52 

Wahrscheinlichkeit = Anzahl günstiger Fälle / Gesamtzahl erschöpfender Fälle = 4/52 = 1/13

Beispiel: Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Werfens:

(a) Erhalten von 4, (b) eine ungerade Zahl, (c) eine gerade Zahl 

mit einem gewöhnlichen Würfel (sechs Gesichter). 

Lösung: Das Problem ist das Würfelproblem

a) Wenn Sie einen Würfel werfen, gibt es nur einen Weg, 4 zu bekommen.

Wahrscheinlichkeit = Anzahl günstiger Fälle / Gesamtzahl erschöpfender Fälle = 1/6

b) Die Anzahl der Möglichkeiten, eine ungerade Zahl zu fallen, beträgt 1, 3, 5 = 3

Wahrscheinlichkeit = Anzahl günstiger Fälle / Gesamtzahl erschöpfender Fälle = 3/6 = 1/2

c) Die Anzahl der Möglichkeiten, eine gerade Zahl zu fallen, beträgt 2, 4, 6 = 3

Wahrscheinlichkeit = Anzahl günstiger Fälle / Gesamtzahl erschöpfender Fälle = 3/6 = 1/2

Beispiel: Was ist die mögliche Chance, einen König und eine Königin zu finden, wenn 2 Karten aus einem Pack von 52 Spielkarten gezogen werden?

Lösung:  Aus einer Packung mit 2 Karten können 52 Karten gezogen werden = ⁵²C₂ (52 wählen Sie 2) Wege

⁵² C₂ =52!/2!(52-2)!=(52*51)/2=1326

1 Königinnenkarte kann aus 4 Königinnenkarten ausgewählt werden = ⁴C₁= 4 Wege (4 wählen 1) 

1 Königskarte kann von 4 Königskarten genommen werden = ⁴C₁= 4 Wege (4 wählen 1)

Günstige Fälle = 4 × 4 = 16 Wege

P (1 Dame & 1 Königskarte ziehen) = Anzahl der günstigen Fälle / Gesamtzahl der erschöpfenden Fälle = 16/1326 = 8/663

Beispiel: Wie hoch sind die Chancen, im ersten Wurf 4, 5 oder 6 und im zweiten Wurf 1, 2, 3 oder 4 zu erhalten, wenn die Würfel zweimal geworfen werden? 

Lösung:

Sei P (A) = Wahrscheinlichkeit, im ersten Wurf 4, 5 oder 6 zu bekommen = 3/6 = 1/2

und P (B) = Wahrscheinlichkeit, im zweiten Wurf 1, 2, 3 oder 4 zu erhalten = 4/6 = 2/3

sei dann die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse

Beispiel: Ein Buch mit insgesamt 100 Seiten, wenn eine der Seiten beliebig ausgewählt ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe aller Ziffern der Seitenzahl der ausgewählten Seite 11 beträgt?

Lösung:  Die Anzahl der günstigen Wege, um 11 zu erhalten, ist (2, 9), (9, 2), (3, 8), (8, 3), (4, 7), (7, 4), (5, 6) ), (6, 5)

Daher erforderliche Wahrscheinlichkeit = 8/100 = 2/25

Beispiel: Ein Eimer enthält 10 weiße, 6 rote, 4 schwarze und 7 blaue Murmeln. 5 Murmeln werden zufällig herausgezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von ihnen rot und einer schwarz sind?

Lösung: 

Gesamt-Nr. von Murmeln = 10 + 6 + 4 + 7 = 27

Aus diesen 5 Murmeln können 27 Murmeln gezogen werden = 27 Wählen Sie 5 Möglichkeiten

= ²⁷C₅=27!/

=(27*26*25*24*23)/(5*4*3*2)=80730

Gesamt-Nr. von erschöpfenden Ereignissen = 80730

2 rote Murmeln können aus 6 roten Murmeln = 6 Möglichkeiten gezogen werden

= ⁶C₂=6!/

=(6*5)/2=15

1 schwarze Murmeln können aus 4 schwarzen Murmeln herausgezogen werden = 4 1 Wege wählen = ⁴C₁=4

∴ Anzahl günstiger Fälle = 15 × 4 = 60

Daher erforderliche Wahrscheinlichkeit = Anzahl günstiger FälleGesamtzahl erschöpfender Fälle

Fazit:

   Das Wahrscheinlichkeitstheorie ist sehr interessant und anwendbar in unserem täglichen Leben so Wahrscheinlichkeit Theorie und Beispiele kommen uns bekannt vor, dies ist tatsächlich eine vollständige Theorie, die heutzutage in zahlreichen Technologien und Anwendungen verwendet wird. Dieser Artikel war nur ein Einblick in das Konzept der Wahrscheinlichkeit, mit dem sich die aufeinander folgenden Artikel mit dem Detailkonzept und den Ergebnissen der Wahrscheinlichkeit befassen Weitere Informationen finden Sie im folgenden Buch:

Ref: Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik.

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