Binomiale Zufallsvariable: 3 interessante Fakten zu wissen

Binomial & Poisson Zufallsvariable und ihre Eigenschaften

    Es war bekannt, dass die Zufallsvariable, die sich mit dem Erfolg und Misserfolg des Zufallsexperiments für n Wiederholungen befasst, eine binomiale Zufallsvariable ist. Die Definition ihrer Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion befasst sich nur mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der Ausfallwahrscheinlichkeit q, die Definition mit Beispielen bereits haben wir gesehen, jetzt mit dem Verständnis sehen wir einige der Eigenschaften einer solchen diskreten Zufallsvariablen,

Erwartung und Varianz der binomialen Zufallsvariablen

Erwartung und Varianz der binomialen Zufallsvariablen mit n Wiederholung und p als Erfolgswahrscheinlichkeit sind

E [X] = np

und Var (X) = np (1-p)

Betrachten Sie nun, um diese beiden zu zeigen, die Erwartung der Zufallsvariablen der Potenz k, indem Sie der Definition von folgen Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für binomiale Zufallsvariable als,

wobei Y eine andere binomiale Zufallsvariable mit n-1 Versuchen und p als Erfolgswahrscheinlichkeit ist. Wenn wir den Wert von k = 1 nehmen, erhalten wir

E [X] = np

und wenn wir k = 2 einsetzen, erhalten wir

EX²] = npE [Y + 1]

= np [(n-1) p + 1]

so werden wir leicht bekommen

Var (X) = E [X.²] - (EX])²

= np [(n-1) p + 1] - (np)²

= np (1-p)

Beispiel: Führen Sie für eine unbefangene Münze das Experiment des 100-fachen Werfens durch und ermitteln Sie für die Anzahl der Schwänze, die in diesem Fall auftreten, den Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung eines solchen Experiments.

Der Schwanz für einen Wurf hat die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/2 = 0.5

Der Mittelwert eines solchen Experiments ist also

E [X] = np

Da das Experiment nur als Erfolg oder Misserfolg binomisch ist, erhalten wir n Wiederholungen

also μ=np

μ = 100x (0.5) = 50

Ebenso sind die Varianz und die Standardabweichung

Var (X) = np (1-p)

σ²= np(1-p)

Der Wert wäre

σ² = (100) (0.5) (0.5) = 25

Beispiel:     Ermitteln Sie den Mittelwert und die Standardabweichung für die Wahrscheinlichkeit eines Defekts von 0.1 im Bolzenhersteller aus dem Los mit 400 Bolzen.

hier n=400, p=0.1, Mittelwert= np =400×0.1=40

da

σ²= np(1-p)

so wird die Standardabweichung sein

Beispiel: Finden Sie die Wahrscheinlichkeit von genau, weniger als und mindestens 2 Erfolgen, wenn der Mittelwert und die Standardabweichung für die binomiale Zufallsvariable 4 bzw. 2 beträgt.

Da Mittelwert = np = 4

und Varianz = np(1-p) = 2,

also 4(1-p)=2

(1-p) = 1/2

p = 1- (1/2)

Wenn wir diesen Wert in Mittelwert setzen, erhalten wir

n p = 4

n (1/2) = 4

n = 8

Wahrscheinlichkeit von genau 2 Erfolgen wird sein

Wahrscheinlichkeit von weniger als 2 Erfolgen wird sein

p (X <2)

= P (0) + P (1) = ⁸C₀ p⁰q⁸ + ⁸C₁ p¹q⁷

= (1/256) +8 x (1/2) x (1/2)⁷ = 9 / 256

Wahrscheinlichkeit von mindestens 2 Erfolgen

p (X> 2) = 1 - p (X <2)

= 1-P (0) - P (1) = 1- [P (0) + P (1)] = 1- (9/256) = 247/256

Poisson Zufallsvariable

    Die diskrete Zufallsvariable X, die die Werte 0,1,2 …… .. annimmt, ist bekanntermaßen eine Poisson-Zufallsvariable, die für jedes λ> 0 bereitgestellt wird, dessen Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion sein muss

or

as

Wenn n sehr groß ist und die Erfolgswahrscheinlichkeit p in einem solchen Fall sehr klein ist, wurde die Poisson-Zufallsvariable mit ihrer Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zur Approximation der binomialen Zufallsvariablen mit dem jeweiligen pmf, da die Erwartung in diesem Fall, die np ist, moderat sein wird und das wäre sei λ = np .

Beispiel: Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass auf jeder Seite des Buches mindestens ein Tippfehler vorliegt, der eine Poisson-Verteilung mit dem Mittelwert 1/2 für eine einzelne Seite aufweist.

Die diskrete Zufallsvariable X bezeichne die Fehler auf der Seite. Die Poisson-Zufallsvariable hat also die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion als

= 1/2

Beispiel: Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobe von 10 Artikeln, die von einer Maschine mit 0.1 Chancen auf fehlerhafte Produktion hergestellt wurden, höchstens einen fehlerhaften Artikel aufweist.

Dies können wir sowohl durch die Binomialwahrscheinlichkeitsmassenfunktion als auch durch die Poisson-Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion lösen, also lösen wir dies durch Poisson

Erwartung und Varianz der Poisson-Zufallsvariablen

Erwartung und Varianz der Poisson-Zufallsvariablen mit n Wiederholung und p als Erfolgswahrscheinlichkeit sind

E [X] = np = λ

und          

Var (X) = np = λ

Bevor wir das Ergebnis zeigen, müssen wir bedenken, dass die Poisson-Zufallsvariable nichts anderes als die Annäherung an die Binomial-Zufallsvariable ist, also np= λ, jetzt wird die Erwartung unter Verwendung der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion sein

Dies bedeutet, dass der mathematische Erwartungswert der Poisson-Zufallsvariablen gleich ihrem Parameter ist. Ähnlich wie für die Berechnung der Varianz und Standardabweichung der Poisson-Zufallsvariablen benötigen wir die Erwartung eines Quadrats von X

Die obige Summe ist offensichtlich, da zwei der Summen Erwartung und Summe der Wahrscheinlichkeiten sind.

Der Wert der Varianz, den wir erhalten, ist also

Var (X) = E [X.²] - (EX])²

=λ

Im Fall der Poisson-Zufallsvariablen haben der Mittelwert und die Varianz den gleichen Wert, dh np als Parameter.

Das Poisson-Zufallsvariable ist die Näherung gut für das Auffinden verschiedener Prozesse, z. B. das Auffinden des Auftretens der Anzahl von Erdbeben innerhalb einer bestimmten Zeitdauer, das Auffinden der Anzahl von Elektronen während einer festgelegten Zeit von der beheizten Kathode, das Auffinden der möglichen Anzahl von Todesfällen während einer bestimmten Zeit oder Anzahl von Kriegen innerhalb eines bestimmten Jahres usw.

Beispiel : Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtzahl der Passagiere in zwei Tagen weniger als 2 beträgt. Wenn die Anzahl der Passagiere mit dem Mittelwert 5 der Poisson-Zufallsvariablen folgt. Mittelwert = np = 5

Wenn wir die Anzahl der Passagiere in zwei Tagen als weniger als 2 betrachten, wäre dies der Fall

so wird die Wahrscheinlichkeit sein Kombination dieser zwei Tage als

=e^-10[1+5+5]

=11e^-10

= 114.5410^-5

= 4.994 * 10^-4

Beispiel: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von 4 oder mehr fehlerhaften Kondensatoren aus einer Packung mit 100 Kondensatoren, vorausgesetzt, der Herstellungsfehler für die Kondensatoren beträgt 1%.

Hier ist p=1% =0.01 und n= 100 * 0.01 =1

Wir können also die Poisson-Zufallsvariablen-Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion PMF verwenden

Mittelwert = np = 100 · 0.01 = 1

Die Wahrscheinlichkeit für 4 oder mehr fehlerhafte Kondensatoren ist also

=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]

Beispiel: Wenn 0.002 Chancen bestehen, dass ein Produkt bei der Herstellung fehlerhaft ist, für eine Packung mit 10 solcher Produkte, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine solche Packung keine fehlerhaften, ein fehlerhaftes und zwei fehlerhafte Produkte aus der Sendung von 50000 enthält Pakete des gleichen Produkts.

Hier für eine einzelne Packung Fehlerwahrscheinlichkeit, dh p = 0.002, n = 10

dann ist der Mittelwert np=0.002*10= 0.020

wir finden für jeden fall als

Aus der Tabelle geht hervor, dass die Anzahl der fehlerhaften Blades in den Paketen Null, Eins und Zwei 4900,980,10 beträgt.

Fazit:

   In diesem Artikel haben wir einige Eigenschaften von einem von Binomiale Zufallsvariable, Poisson-Zufallsvariable und zufälliges Experiment. Auch eine weitere diskrete Zufallsvariable, dh eine Poisson-Zufallsvariable, die mit Eigenschaften diskutiert wird. Die Verteilung für das Beispiel der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion, der Erwartung, der Varianz und der Standardabweichung wurde ebenfalls zum besseren Verständnis herangezogen. In den nächsten Artikeln versuchen wir, einige diskretere Zufallsvariablen zu behandeln, wenn Sie weiterlesen möchten, und gehen Sie dann durch Mathematik Seite.

Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ich bin Dr. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ich habe meinen Ph.D. abgeschlossen. in Mathematik und arbeitet als Assistenzprofessor für Mathematik. Verfügt über 12 Jahre Erfahrung im Unterrichten. Verfügt über umfangreiche Kenntnisse in reiner Mathematik, insbesondere in Algebra. Sie verfügen über die immense Fähigkeit, Probleme zu entwerfen und zu lösen. Kann Kandidaten motivieren, ihre Leistung zu steigern.
Ich liebe es, zu Lambdageeks beizutragen, um Mathematik sowohl für Anfänger als auch für Experten einfach, interessant und selbsterklärend zu machen.