Eigenschaften von Funktionsgraphen: 5 wichtige Fakten

Eigenschaften von Funktionsgraphen

Eigenschaften von FunktionsgraphenIn diesem Artikel wird das Konzept der grafischen Darstellung von Funktionen zusätzlich zum Wert einer in einer Funktion vorhandenen Variablen erläutert. Damit die Leser die Methodik leicht verstehen können.

Welcher Graph repräsentiert die Funktionen f (X) = | x-2 | - 1?

Ein Blick auf den Ausdruck auf der rechten Seite lässt uns fragen, was sind diese beiden Balken um -2? Nun, diese Balken sind die Notation für eine ganz besondere Funktion in der Mathematik, die als Modulfunktion oder Absolutwertfunktion bekannt ist. Diese Funktion ist in so wichtig Funktionstheorie dass es ein paar Worte über seine Herkunft wert ist.

Nehmen wir an, wir müssen die Zeit bestimmen, die erforderlich ist, um von einer Stadt in eine andere zu gelangen. Interessieren wir uns in diesem Fall nicht nur für die Entfernung zwischen den beiden Städten? Wird die Richtung von Bedeutung sein? In ähnlicher Weise müssen wir beim Studium der Analysis häufig die Nähe zweier Zahlen analysieren, die der absolute Wert ihrer Differenz ist. Es ist uns egal, ob der Unterschied positiv oder negativ ist. Deutscher Mathematiker Karl Weierstrass war derjenige, der die Notwendigkeit einer Funktion erkannte, die den absoluten Wert einer Zahl ausdrücken würde. Im Jahr 1841 definierte Weierstrass die Modulfunktion und verwendete die beiden Balken als Symbol. 

f (x) = x für alle x> 0

= -x für alle x <0

= 0 für x = 0

Abkürzung als f (x) = | x |

Aus der Definition geht hervor, dass diese Funktion keinen Einfluss auf eine positive Zahl hat. Es ändert jedoch eine negative Zahl in eine positive Zahl mit demselben absoluten Wert. Daher

| 5 | = 5

 7-2 = 5

| -5 | = 5

| 2-7 | = 5

Um den Graphen von | x | zu zeichnen, sollten wir mit dem Graphen von f (x) = x beginnen, der einfach eine gerade Linie durch den Ursprung ist und um 45 Grad zur positiven Seite der X-Achse geneigt ist

Es kann gesagt werden, dass die obere Hälfte dieses Graphen durch f (x) = | x | beibehalten wird da diese Funktion keine positiven Zahlen ändert. Die untere Hälfte des Graphen muss jedoch die Seite wechseln, weil | x | muss immer positiv sein. Alle Punkte in der unteren Hälfte von f (x) = x werden nun in der oberen Hälfte ersetzt, wobei der Abstand zur X-Achse gleich bleibt. Mit anderen Worten, das Ganze LINKE HÄLFTE VON f (x) = | x | IST TATSÄCHLICH DIE REFLEXION DER UNTEREN HÄLFTE VON f (x) = x um die X-Achse.

In der obigen Abbildung zeigt die rechte Hälfte die Diagramme von | x | und x überlagert, während die linke Hälfte eine als Reflexion einer anderen zeigt. Es ist wichtig zu beachten, dass diese Technik auf jede Funktion ausgedehnt werden kann. Mit anderen Worten, der Graph von | f (x) | ist leicht vorstellbar wenn wir den Graphen von f (x) bereits kennen. Das Ersetzen der unteren Hälfte durch die Reflexion um die X-Achse ist der Schlüssel.

Jetzt wissen wir, wie man |x| zeichnet. Aber unser ursprüngliches Problem erfordert die Darstellung von |x-2|. Nun, das ist nichts anderes als ein Verschiebung der Herkunft von (0,0) auf (2,0), da es einfach den X-Wert aller Punkte um 2 Einheiten verringert und somit f(x) in f(x-2) umwandelt.

Jetzt ist nur noch -1 zu erledigen. Es bedeutet, 1 von allen Punkten auf | x-2 | zu subtrahieren. Mit anderen Worten bedeutet dies, dass der Graph vertikal um 1 Einheit nach unten gezogen wird. Der neue Scheitelpunkt wäre also (2, -1) anstelle von (2,0).

Welcher Graph repräsentiert die Funktionen f (X) = - | x-2 | - 1?

Nun, das sollte nach der Analyse, die wir gerade durchgeführt haben, ziemlich einfach sein. Der einzige Unterschied ist hier ein Minuszeichen vor |x-2|. Das Minuszeichen invertiert einfach den Graphen von |x-2| bezogen auf die X-Achse. Wir können also den vorherigen neu starten Problem kurz nach dem Punkt wo wir einen Graphen von |x-2| hatten. Aber dieses Mal werden wir den Graphen invertieren, bevor wir die -1 betrachten.

Danach ziehen wir es um eine Einheit nach unten, um das -1 aufzunehmen. Und es ist geschafft.

Der Graph einer Funktion muss linear sein, wenn er welche Eigenschaften hat?

Was ist eine gerade Linie? Normalerweise wird es als der Mindestabstand zwischen zwei Punkten auf einer ebenen Fläche definiert. Es kann aber auch aus einem anderen Blickwinkel definiert werden. Da die XY-Ebene eine Sammlung von Punkten ist, können wir jede Linie auf dieser Ebene als Ort oder Spur eines sich bewegenden Punkts oder als Punkt betrachten, dessen X-, Y-Koordinaten sich ändern.

Wenn Sie sich entlang einer geraden Linie bewegen, bedeutet dies, dass die Bewegung ohne Richtungsänderung erfolgt. Mit anderen Worten, wenn sich ein Punkt von einem bestimmten Punkt aus bewegt und sich nur in eine bestimmte Richtung bewegt, folgt er einer geraden Linie. Wenn wir also den linearen Graphen als Funktion ausdrücken wollen, müssen wir eine Gleichung für die Bedingung konstanter Richtung finden.

Aber wie kann man die Richtung mathematisch ausdrücken? Nun, da wir bereits zwei Bezugsachsen in der XY-Ebene haben, kann eine Richtung einer Linie durch den Winkel ausgedrückt werden, den sie mit einer der beiden Achsen bildet. Nehmen wir also an, dass eine gerade Linie in einem Winkel α geneigt ist. Das würde aber eine Familie paralleler Linien bedeuten und nicht nur eine einzige. Daher kann α nicht der einzige Parameter für eine Linie sein.

Beachten Sie, dass sich die Linien nur in ihrem Y-Achsenabschnitt unterscheiden. Der Y-Achsenabschnitt ist der Abstand vom Ursprung des Punktes, an dem die Linie auf die Y-Achse trifft. Nennen wir diesen Parameter C. Wir haben also zwei Parameter, α und C. Nun versuchen wir, die Gleichung der Linie abzuleiten.

Aus der Abbildung sollte aus dem rechten Dreieck ersichtlich sein, dass für jeden Punkt (x, y) auf der Linie die maßgebliche Bedingung sein muss                      

(yc) / x = tanα.

y = xtanα + c

⟹y = mx + c wobei m = tanα

Daher muss jede Gleichung der Form y = ax + b eine gerade Linie darstellen. Mit anderen Worten ist f (x) = ax + b die gewünschte Form einer Funktion, um linear zu sein.

Dasselbe kann auch aus der herkömmlichen Definition einer geraden Linie abgeleitet werden, die besagt, dass eine Linie der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten auf einer ebenen Fläche ist. Sei also (x1, y1) und (x2, y2) zwei Punkte auf einer geraden Linie.

Für jeden anderen Punkt auf der Linie kann eine Bedingung abgeleitet werden, indem die Steigungen der beiden durch die drei Punkte gebildeten Liniensegmente gleichgesetzt werden, da die Linie ihre Steigung in allen Segmenten beibehalten muss. Daher die Gleichung                                 

                                                                   (JJ₁) / (xx₁) = (y₂-y₁) / (x₂-x₁)

                                                            ⟹y (x₂-x₁) + x (y₁-y₂) + (x₁y₂-y₁x₂) = 0

Diese Gleichung hat die Form Ax + By + C = 0, die in der Form y = ax + b geschrieben werden kann, die wir als Form einer linearen Funktion kennen.

Welches Diagramm wird verwendet, um die Änderung einer bereitgestellten Variablen anzuzeigen, wenn eine zweite Variable geändert wird?

Um einen idealen Graphen einer Funktion zu zeichnen, benötigen wir entweder einen bestimmten algebraischen Ausdruck oder eine unendliche Anzahl von Datenpunkten. Im wirklichen Leben sind beide meistens nicht verfügbar. Die Daten, die wir haben, sind verstreut. Mit anderen Worten, wir haben möglicherweise eine Liste von (x, y) Punkten, die in der Grafik dargestellt werden können, aber die Punkte sind möglicherweise nicht sehr dicht angeordnet. Aber wir müssen diese Punkte trotzdem verbinden, da es keine andere Möglichkeit gibt, das Muster oder den Trend der Variablen zu betrachten. Ein so erhaltener Graph ist als Liniendiagramm bekannt.

Es wird so genannt, weil benachbarte Punkte mit geraden Linien verbunden sind. Dieses Diagramm eignet sich am besten zur Veranschaulichung einer Verbindung zwischen zwei Variablen, wobei eine von der anderen abhängt und sich beide ändern. Zeitreihendiagramme sind Beispiele für Liniendiagramme, bei denen die X-Achse die Zeit in Einheiten von Stunden / Tagen / Monaten / Jahren und die Y-Achse die Variable darstellt, deren Wert sich im Laufe der Zeit ändert.

Periodische Funktion

Wenn die abhängige Variable ihren Wert in einem bestimmten Zeitraum oder Intervall der unabhängigen Variablen wiederholt, wird die Funktion als periodisch bezeichnet. Das Intervall wird als Periode oder Grundperiode bezeichnet, manchmal auch als Grundperiode oder Hauptperiode. Das Kriterium für eine periodische Funktion ist für eine reelle Konstante T, f (x + T) = f (x). Was bedeutet, dass f (x) seinen Wert nach jeder T-Einheit von x wiederholt. Wir können den Wert der Funktion an jedem Punkt notieren, und wir werden den gleichen Wert bei T Einheiten rechts und links bis zu diesem Punkt finden. Das ist das Merkmal einer periodischen Funktion.

Die obige Abbildung zeigt das periodische Verhalten von Sinx. Wir nehmen zwei zufällige Werte von x als x1 und x2 und zeichnen Linien parallel zur x-Achse von sin (x1) und sin (x2). Wir stellen fest, dass beide Linien in einem Abstand von genau 2π wieder auf den Graphen treffen. Daher beträgt die Periode von Sinx 2π. Wir können also für jedes x sin (x + 2 π) = sinx schreiben. Die anderen trigonometrischen Funktionen sind ebenfalls periodisch. Cosine hat die gleiche Zeit wie Sin und Cosec und Sec auch. Tan hat eine Periode π und Cot auch.

Welcher Begriff gibt die Anzahl der Zyklen einer periodischen Funktion an, die in einer horizontalen Einheit auftreten?

Eine volle Periode wird als Zyklus bezeichnet. Es gibt also genau einen Zyklus in T Einheiten von x. Daher gibt es 1 / T-Zyklen in einer Einheit von x. Die Zahl 1 / T ist für die Untersuchung periodischer Funktionen von besonderer Bedeutung, da sie angibt, wie häufig die Funktion ihre Werte wiederholt. Daher wird der Nummer 1 / T der Begriff "Frequenz" zugeordnet. Die Frequenz wird mit 'f' bezeichnet, was nicht mit dem 'f' der Funktion zu verwechseln ist. Je höher die Frequenz, desto mehr Zyklen gibt es pro Einheit. Frequenz und Periode sind umgekehrt proportional zueinander, bezogen auf f = 1 / T oder T = 1 / f. Für Sin (X) beträgt die Periode 2π, sodass die Frequenz 1 / 2π betragen würde.

Beispiele:

1. Berechnen Sie die Periode und Häufigkeit von Sin (3x)

Da Sin (x) einen Zyklus in 2π hat, hat Sin (3x) 3 Zyklen in 2π, während x in Sin (3x) dreimal schneller fortschreitet. Die Frequenz wäre also dreimal so hoch wie die von Sin (x), dh 3/3π. Das macht die Periode 3 / (2 / 1π) = 3π / 2

2. Berechnen Sie die Periode von Sin2x + sin3x

Beachten Sie, dass jedes ganzzahlige Vielfache der Grundperiode auch eine Periode ist. In diesem Problem gibt es zwei Komponenten der Funktion. Der erste hat eine Periode von π und der zweite eine Periode von 2π / 3. Diese beiden sind jedoch unterschiedlich, sodass auch nicht die Periode der zusammengesetzten Funktion angegeben werden kann. Aber was auch immer die Periode der Komposition ist, es muss auch eine Periode der Komponenten sein. Es muss also ein gemeinsames ganzzahliges Vielfaches für beide sein. Aber es könnte unendlich viele davon geben. Daher wäre die Grundperiode das am wenigsten verbreitete Vielfache der Perioden der Komponenten. In diesem Problem ist das Lcm (π, 2π / 3) = 2π 

3. Berechnen Sie die Periode von (Sin2x + Sin5x) / (Sin3x + Sin4x)

Es ist trivial, aber sehr interessant zu beobachten, dass die Regel, die wir im vorherigen Problem erfunden haben, tatsächlich für jede Zusammensetzung periodischer Funktionen gilt. In diesem Fall wäre also auch die effektive Periode die LCM der Perioden der Komponenten. Das heißt LCM (π, 2π / 5,2π / 3, π / 2) = 2π

4. Berechnen Sie die Periode von Sinx + sin πx

Zuerst scheint es offensichtlich, dass die Periode LCM (2π, 2) sein sollte, aber dann erkennen wir, dass eine solche Zahl nicht existiert, da 2π irrational ist, ebenso wie seine Vielfachen und 2 rational ist und ebenso seine Vielfachen. Es könnte also kein gemeinsames ganzzahliges Vielfaches dieser beiden Zahlen geben. Daher ist diese Funktion nicht periodisch.

Die Bruchteilfunktion {x} ist periodisch.

f (x) = {x}

Dies ist als Bruchteilfunktion bekannt. Es bleibt der größte ganzzahlige Teil einer reellen Zahl und nur der Bruchteil. Sein Wert liegt also immer zwischen 0 und 1, aber niemals gleich 1. Dieser Graph sollte klarstellen, dass er eine Periode 1 hat.

FAZIT

Bisher haben wir die Eigenschaften von Funktionsgraphen diskutiert. Wir sollten uns jetzt über die Merkmale und die verschiedenen Arten von Graphen im Klaren sein. Wir hatten auch eine Idee der grafischen Interpretation von Funktionen. Der nächste Artikel wird viel detaillierter auf Konzepte wie Bereich und Domäne, inverse Funktionen, verschiedene Funktionen und deren Diagramme sowie viele ausgearbeitete Probleme eingehen. Um tiefer in die Studie einzusteigen, sollten Sie unten lesen

Kalkül von Michael Spivak.

Algebra von Michael Artin.

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