In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Tschebyschews Ungleichung & zentrale Grenzwertsätze behandeln die Situationen, in denen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Summe einer großen Anzahl von Zufallsvariablen in näherungsweise normaler Bedingung finden wollen. Bevor wir die Grenzwertsätze betrachten, sehen wir einige der Ungleichungen, die die Schranken für die Wahrscheinlichkeiten liefern, wenn Mittelwert und Varianz sind bekannt.
Markovs Ungleichung
Die Markov-Ungleichung für die Zufallsvariable X, die für a>0 nur positive Werte annimmt, ist
um dies für a>0 zu beweisen betrachte
Da
In Erwartung dieser Ungleichung erhalten wir nun
der Grund ist
was die Markov-Ungleichung für a>0 as . ergibt
Tschebyschews Ungleichung
Für das Endliche Mittelwert und Varianz der Zufallsvariablen X die Tschebyscheff-Ungleichung für k>0 ist
wobei sigma und mu die Varianz und den Mittelwert der Zufallsvariablen darstellen, um dies zu beweisen verwenden wir die Markovs Ungleichung als nicht negative Zufallsvariable
für den Wert von a als konstantes Quadrat, also
diese Gleichung ist äquivalent zu
so klar
Beispiele für die Ungleichungen von Markov und Chebyshev:
- Wenn die Produktion eines bestimmten Artikels als Zufallsvariable für die Woche mit einem Mittelwert von 50 verwendet wird, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Produktion in einer Woche 75 überschreitet, und wie hoch wäre die Wahrscheinlichkeit, wenn die Produktion einer Woche zwischen 40 und 60 liegt, vorausgesetzt, die Varianz dafür? Woche ist 25?
Lösung: Betrachten Sie die Zufallsvariable X für die Produktion des Artikels für eine Woche und verwenden Sie dann, um die Wahrscheinlichkeit einer Produktion von über 75 zu ermitteln Markovs Ungleichung as
Nun werden wir die Wahrscheinlichkeit für die Produktion zwischen 40 und 60 mit der Varianz 25 verwenden Tschebyschews Ungleichung as
so
Dies zeigt die Wahrscheinlichkeit für die Woche, wenn die Produktion zwischen 40 und 60 liegt, ist 3/4.
2. Zeigen Sie, dass die Tschebyschews Ungleichung die eine obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit liefert, ist dem tatsächlichen Wert der Wahrscheinlichkeit nicht besonders näher.
Lösung:
Betrachten Sie die Zufallsvariable X ist gleichmäßig verteilt mit Mittelwert 5 und Varianz 25/3 über das Intervall (0,1) dann um Tschebyschews Ungleichung wir können schreiben
aber die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ist
was ebenfalls weit von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit entfernt ist, wenn wir die Zufallsvariable X als normalverteilt mit Mittelwert und Varianz nehmen dann Tschebyschews Ungleichung wird sein
aber die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ist
Schwaches Gesetz der großen Zahlen
Dem schwachen Gesetz für die Folge von Zufallsvariablen folgt das Ergebnis, dass Tschebyschews Ungleichung kann als Werkzeug für Beweise verwendet werden, um zum Beispiel zu beweisen
Wenn die Varianz null ist, sind die einzigen Zufallsvariablen mit Varianzen gleich 0 diejenigen, die mit Wahrscheinlichkeit 1 konstant sind, also um Tschebyschews Ungleichung für n größer oder gleich 1
as
durch die Stetigkeit der Wahrscheinlichkeit
was das Ergebnis beweist.
Um dies zu beweisen, nehmen wir an, dass die Varianz auch für jede Zufallsvariable in der Folge endlich ist, sodass Erwartung und Varianz
jetzt von der Tschebyschews Ungleichung die obere Grenze der Wahrscheinlichkeit als
was für n gegen unendlich ist
Zentraler Grenzwertsatz
Der zentraler Grenzwertsatz ist eines der wichtigsten Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie, da es die Verteilung auf die Summe großer Zahlen angibt, die ungefähr normal ist Verteilung Neben der Methode zur Ermittlung der Näherungswahrscheinlichkeiten für Summen unabhängiger Zufallsvariablen zeigt der zentrale Grenzwertsatz auch die empirischen Häufigkeiten so vieler natürlicher Populationen weisen glockenförmige Mittelwertnormalkurven auf. Bevor wir die detaillierte Erklärung dieses Satzes geben, verwenden wir das Ergebnis
„Wenn die Folge der Zufallsvariablen Z1,Z2,…. haben die Verteilungsfunktion und die momenterzeugende Funktion als FZn und Mzn dann
Zentraler Grenzwertsatz: Für die Folge gleichverteilter und unabhängiger Zufallsvariablen X1,X2,……. die jeweils den Mittelwert μ und haben Varianz σ2 dann die Verteilung der Summe
tendiert zur Standardnormalen, da n gegen unendlich tendiert, damit a reelle Werte sind
Beweis: Um das Ergebnis zu beweisen, betrachten Sie den Mittelwert als Null und die Varianz als Eins, dh μ=0 & σ2=1 und die Momenterzeugungsfunktion für X.i existiert und endlich, so dass die momenterzeugende Funktion für die Zufallsvariable Xi/√n wird
hen die momenterzeugende Funktion für die Summe ΣXi/√n wird
Nehmen wir nun L(t)=logM(t)
so
um den Beweis zu zeigen, zeigen wir zuerst
indem man seine äquivalente Form zeigt
da
daher zeigt dies das Ergebnis für den Mittelwert Null und die Varianz 1, und dasselbe Ergebnis folgt für den allgemeinen Fall auch aus
und für jedes a haben wir
Beispiel für den zentralen Grenzwertsatz
Um die Entfernung eines Sterns in Lichtjahren aus dem Labor eines Astronomen zu berechnen, verwendet er einige Messtechniken, aber aufgrund der Änderung der Atmosphäre ist die gemessene Entfernung jedes Mal nicht genau, aber mit einem gewissen Fehler, um die genaue Entfernung zu finden, die er plant Beobachte kontinuierlich in einer Folge und den Durchschnitt dieser Entfernungen als geschätzte Entfernung. Wenn er die Messwerte als identisch verteilte und unabhängige Zufallsvariable mit Mittelwert d und Varianz 4 Lichtjahre betrachtet, bestimme die Anzahl der durchzuführenden Messungen, um den Fehler von 0.5 zu erhalten im geschätzten und tatsächlichen Wert?
Lösung: Betrachten wir die Messungen als unabhängige Zufallsvariablen in Folge X1,X2,…….Xn also von der Zentraler Grenzwertsatz wir können schreiben
das ist die Annäherung an den Standard Normalverteilung so wird die Wahrscheinlichkeit sein
Um eine Genauigkeit der Messung von 95 Prozent zu erhalten, sollte der Astronom also n* Entfernungen messen, wobei
aus der Normalverteilungstabelle können wir es also schreiben als
die besagt, dass die Messung 62 Mal durchgeführt werden sollte, dies kann auch mit Hilfe von beobachtet werden Tschebyschews Ungleichung indem
die Ungleichung ergibt sich also zu
daher für n=16/0.05=320, was die Gewissheit gibt, dass die Messung der Entfernung des Sterns vom Beobachtungslabor nur einen Fehler von 5% aufweist.
2. Die Anzahl der zugelassenen Studenten im Ingenieurstudium ist Poisson-verteilt mit einem Mittelwert von 100. Es wurde entschieden, dass bei zugelassenen Studenten mit 120 oder mehr der Unterricht in zwei Abschnitten stattfindet, ansonsten nur in einem Abschnitt, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies zwei Abschnitte für den Kurs sein?
Lösung: Nach der Poisson-Verteilung ist die exakte Lösung exact
was offensichtlich nicht den jeweiligen Zahlenwert angibt. Betrachten wir die Zufallsvariable X als die zugelassenen Schüler dann durch die zentraler Grenzwertsatz
welches sein kann
das ist der Zahlenwert.
3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe von zehn Würfeln beim Würfeln zwischen 30 und 40 liegt, einschließlich 30 und 40?
Lösung: Betrachten Sie hier den Würfel als Xi für zehn Werte von i. der Mittelwert und die Varianz sind
also nach dem zentraler Grenzwertsatz wir können schreiben
das ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit.
4. Für die gleichverteilten unabhängigen Zufallsvariablen Xi auf dem Intervall (0,1) was ist die Approximation der Wahrscheinlichkeit
Lösung: Aus der Unifrom-Verteilung wissen wir, dass Mittelwert und Varianz
Jetzt mit dem zentraler Grenzwertsatz wir können
somit beträgt die Summation der Zufallsvariablen 14 Prozent.
5. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Bewerter der Prüfung eine Note vergibt, beträgt 25 Prüfungen in beginnenden 450 min, wenn es 50 Prüfungen gibt, deren Benotungszeit unabhängig ist, mit einem Mittelwert von 20 min und einer Standardabweichung von 4 min.
Lösung: Berücksichtigen Sie den Zeitaufwand für die Benotung der Prüfung anhand der Zufallsvariablen Xi also ist die Zufallsvariable X
da diese Aufgabe für die 25-Prüfung 450 Minuten dauert, also
hier mit dem zentraler Grenzwertsatz
das ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit.
Zentraler Grenzwertsatz für unabhängige Zufallsvariablen
Für die nicht gleichverteilte Folge mit unabhängigen Zufallsvariablen X1,X2,……. jeweils mit dem Mittelwert μ und der Varianz σ2 sofern es erfüllt
- jedes Xi ist einheitlich beschränkt
- Summe der Varianzen ist unendlich, dann
Starkes Gesetz der großen Zahlen
Das starke Gesetz der großen Zahlen ist ein sehr wichtiges Konzept der Wahrscheinlichkeitstheorie was besagt, dass der Durchschnitt der Folge von gemeinsam verteilten Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeit eins gegen den Mittelwert derselben Verteilung konvergiert
Erklärung: Für die Reihenfolge identisch verteilt und unabhängigen Zufallsvariablen X1,X2,……. von denen jeder den endlichen Mittelwert mit Wahrscheinlichkeit eins hat dann
Beweis: Um dies zu beweisen, betrachten wir den Mittelwert jeder Zufallsvariablen als Null und die Reihe
jetzt für diese betrachte die Macht davon als
nach der Erweiterung der Terme auf der rechten Seite haben wir die Terme der Form
da diese unabhängig sind, wird der Mittelwert davon sein
mit Hilfe der Kombination des Paares wird die Erweiterung der Serie jetzt
da
so
erhalten wir
das deutet auf die Ungleichheit hin
daher
Durch die Konvergenz der Reihe, da die Wahrscheinlichkeit jeder Zufallsvariablen gleich eins ist, so
da
Wenn der Mittelwert jeder Zufallsvariablen ungleich Null ist, können wir ihn mit Abweichung und Wahrscheinlichkeit eins schreiben als
or
welches Ergebnis erforderlich ist.
Einseitige Tschebyschew-Ungleichheit
Die einseitige Chebysheve-Ungleichung für die Zufallsvariable X mit Mittelwert Null und endlicher Varianz, wenn a>0 ist
um dies zu beweisen betrachte für b>0 die Zufallsvariable X as
was gibt
also mit dem Markovs Ungleichung
was die erforderliche Ungleichung ergibt. für den Mittelwert und die Varianz können wir es schreiben als
Dies kann weiter geschrieben werden als
Beispiel:
Finden Sie die obere Grenze der Wahrscheinlichkeit, dass die Produktion des zufällig verteilten Unternehmens mindestens 120 beträgt, wenn die Produktion dieses bestimmten Unternehmens einen Mittelwert von 100 und eine Varianz von 400 hat.
Lösung:
Die einseitige verwenden Tschebyschew-Ungleichheit
dies ergibt also die Wahrscheinlichkeit der Produktion innerhalb einer Woche mindestens 120 ist 1/2, nun erhält man die Schranke für diese Wahrscheinlichkeit mit Markovs Ungleichung
die die obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit zeigt.
Beispiel:
Hundert Paare werden von zweihundert Personen mit hundert Männern und hundert Frauen genommen. Finden Sie die obere Grenze der Wahrscheinlichkeit, dass höchstens dreißig Paare aus einem Mann und einer Frau bestehen.
Lösung:
Sei die Zufallsvariable Xi as
so kann das Paar ausgedrückt werden als
Da kann jeder Mann mit gleicher Wahrscheinlichkeit mit verbleibenden Menschen gepaart werden, in denen hundert Frauen sind, also der Mittelwert
auf die gleiche Weise, wenn i und j ungleich sind, dann
as
daher haben wir
Verwendung der Tschebyschew-Ungleichheit
was besagt, dass die Möglichkeit, 30 Männer mit Frauen zu paaren, weniger als sechs beträgt, daher können wir die Bindung verbessern, indem wir verwenden einseitige Tschebyschew-Ungleichheit
Chernoff gebunden Bo
Wenn die momenterzeugende Funktion bereits bekannt ist, dann
as
auf die gleiche Weise können wir für t<0 schreiben als
Somit kann die Chernoff-Schranke definiert werden als
diese Ungleichung steht für alle positiven oder negativen Werte von t.
Chernoff-Grenzen für die normale normale Zufallsvariable
Die Chernoff-Grenzen für den Standard normale Zufallsvariable dessen momenterzeugende Funktion
is
Die Minimierung dieser Ungleichung und der rechtsseitigen Potenzterme ergibt also a>0
und für a<0 ist es
Chernoff-Grenzen für die Poisson-Zufallsvariable
Die Chernoff-Schranken für die Poisson-Zufallsvariable, deren momenterzeugende Funktion
is
Die Minimierung dieser Ungleichung und der rechtsseitigen Potenzterme ergibt also a>0
und es wäre
Beispiel für Chernoff-Grenzen
In einem Spiel, in dem ein Spieler unabhängig von einem früheren Spielstand mit gleicher Wahrscheinlichkeit das Spiel entweder gewinnt oder verliert, ermitteln Sie die Chernoff-Grenze für die Wahrscheinlichkeit
Lösung: Sei Xi den Gewinn des Spielers bezeichnen, dann ist die Wahrscheinlichkeit
für die Folge von n Spielen sei
die momenterzeugende Funktion ist also
hier mit den Erweiterungen von Exponentialtermen
also haben wir
jetzt die Eigenschaft der momenterzeugenden Funktion anwenden
Dies ergibt die Ungleichung
daher
Fazit:
Die Ungleichungen und der Grenzwertsatz für die großen Zahlen wurden diskutiert und auch die begründbaren Beispiele für die Grenzen der Wahrscheinlichkeiten wurden herangezogen, um einen Einblick in die Idee zu bekommen das Konzept einfach, wenn Sie weitere Lektüre benötigen, lesen Sie die folgenden Bücher oder folgen Sie für weitere Artikel über Wahrscheinlichkeit bitte unseren Mathematikseiten.
Ein erster Wahrscheinlichkeitskurs von Sheldon Ross
Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik
Eine Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik von ROHATGI und SALEH
