13 Fakten zur Chebyshev-Ungleichung und zum zentralen Grenzwertsatz


In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Tschebyschews Ungleichung & zentrale Grenzwertsätze behandeln die Situationen, in denen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Summe einer großen Anzahl von Zufallsvariablen in näherungsweise normaler Bedingung finden wollen. Bevor wir die Grenzwertsätze betrachten, sehen wir einige der Ungleichungen, die die Schranken für die Wahrscheinlichkeiten liefern, wenn Mittelwert und Varianz sind bekannt.

Markovs Ungleichung

Die Markov-Ungleichung für die Zufallsvariable X, die für a>0 nur positive Werte annimmt, ist

um dies für a>0 zu beweisen betrachte

Da

In Erwartung dieser Ungleichung erhalten wir nun

der Grund ist

was die Markov-Ungleichung für a>0 as . ergibt

Tschebyschews Ungleichung

 Für das Endliche Mittelwert und Varianz der Zufallsvariablen X die Tschebyscheff-Ungleichung für k>0 ist

wobei sigma und mu die Varianz und den Mittelwert der Zufallsvariablen darstellen, um dies zu beweisen verwenden wir die Markovs Ungleichung als nicht negative Zufallsvariable

für den Wert von a als konstantes Quadrat, also

diese Gleichung ist äquivalent zu

so klar

Beispiele für die Ungleichungen von Markov und Chebyshev:

  1. Wenn die Produktion eines bestimmten Artikels als Zufallsvariable für die Woche mit einem Mittelwert von 50 verwendet wird, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Produktion in einer Woche 75 überschreitet, und wie hoch wäre die Wahrscheinlichkeit, wenn die Produktion einer Woche zwischen 40 und 60 liegt, vorausgesetzt, die Varianz dafür? Woche ist 25?

Lösung: Betrachten Sie die Zufallsvariable X für die Produktion des Artikels für eine Woche und verwenden Sie dann, um die Wahrscheinlichkeit einer Produktion von über 75 zu ermitteln Markovs Ungleichung as

Nun werden wir die Wahrscheinlichkeit für die Produktion zwischen 40 und 60 mit der Varianz 25 verwenden Tschebyschews Ungleichung as

so

Dies zeigt die Wahrscheinlichkeit für die Woche, wenn die Produktion zwischen 40 und 60 liegt, ist 3/4.

2. Zeigen Sie, dass die Tschebyschews Ungleichung die eine obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit liefert, ist dem tatsächlichen Wert der Wahrscheinlichkeit nicht besonders näher.

Lösung:

Betrachten Sie die Zufallsvariable X ist gleichmäßig verteilt mit Mittelwert 5 und Varianz 25/3 über das Intervall (0,1) dann um Tschebyschews Ungleichung wir können schreiben

aber die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ist

was ebenfalls weit von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit entfernt ist, wenn wir die Zufallsvariable X als normalverteilt mit Mittelwert und Varianz nehmen dann Tschebyschews Ungleichung wird sein

aber die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ist

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Dem schwachen Gesetz für die Folge von Zufallsvariablen folgt das Ergebnis, dass Tschebyschews Ungleichung kann als Werkzeug für Beweise verwendet werden, um zum Beispiel zu beweisen

Wenn die Varianz null ist, sind die einzigen Zufallsvariablen mit Varianzen gleich 0 diejenigen, die mit Wahrscheinlichkeit 1 konstant sind, also um Tschebyschews Ungleichung für n größer oder gleich 1

as

durch die Stetigkeit der Wahrscheinlichkeit

was das Ergebnis beweist.

Schwaches Gesetz der großen Zahlen: Für die Folge gleichverteilter und unabhängiger Zufallsvariablen X1,X2,……. von denen jeder den endlichen Mittelwert E[Xi]=μ, dann für jedes ε>0

Um dies zu beweisen, nehmen wir an, dass die Varianz auch für jede Zufallsvariable in der Folge endlich ist, sodass Erwartung und Varianz

jetzt von der Tschebyschews Ungleichung die obere Grenze der Wahrscheinlichkeit als

was für n gegen unendlich ist

Zentraler Grenzwertsatz

Das zentraler Grenzwertsatz ist eines der wichtigsten Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie, da es die Verteilung auf die Summe großer Zahlen angibt, die ungefähr normal ist Verteilung Neben der Methode zur Ermittlung der Näherungswahrscheinlichkeiten für Summen unabhängiger Zufallsvariablen zeigt der zentrale Grenzwertsatz auch die empirischen Häufigkeiten so vieler natürlicher Populationen weisen glockenförmige Mittelwertnormalkurven auf. Bevor wir die detaillierte Erklärung dieses Satzes geben, verwenden wir das Ergebnis

„Wenn die Folge der Zufallsvariablen Z1,Z2,…. haben die Verteilungsfunktion und die momenterzeugende Funktion als FZn und Mzn dann

Zentraler Grenzwertsatz: Für die Folge gleichverteilter und unabhängiger Zufallsvariablen X1,X2,……. die jeweils den Mittelwert μ und haben Varianz σ2 dann die Verteilung der Summe

tendiert zur Standardnormalen, da n gegen unendlich tendiert, damit a reelle Werte sind

Beweis: Um das Ergebnis zu beweisen, betrachten Sie den Mittelwert als Null und die Varianz als Eins, dh μ=0 & σ2=1 und die Momenterzeugungsfunktion für X.i existiert und endlich, so dass die momenterzeugende Funktion für die Zufallsvariable Xi/√n wird

hen die momenterzeugende Funktion für die Summe ΣXi/√n wird

Nehmen wir nun L(t)=logM(t)

so

um den Beweis zu zeigen, zeigen wir zuerst

indem man seine äquivalente Form zeigt

da

daher zeigt dies das Ergebnis für den Mittelwert Null und die Varianz 1, und dasselbe Ergebnis folgt für den allgemeinen Fall auch aus

und für jedes a haben wir

Beispiel für den zentralen Grenzwertsatz

Um die Entfernung eines Sterns in Lichtjahren aus dem Labor eines Astronomen zu berechnen, verwendet er einige Messtechniken, aber aufgrund der Änderung der Atmosphäre ist die gemessene Entfernung jedes Mal nicht genau, aber mit einem gewissen Fehler, um die genaue Entfernung zu finden, die er plant Beobachte kontinuierlich in einer Folge und den Durchschnitt dieser Entfernungen als geschätzte Entfernung. Wenn er die Messwerte als identisch verteilte und unabhängige Zufallsvariable mit Mittelwert d und Varianz 4 Lichtjahre betrachtet, bestimme die Anzahl der durchzuführenden Messungen, um den Fehler von 0.5 zu erhalten im geschätzten und tatsächlichen Wert?

Lösung: Betrachten wir die Messungen als unabhängige Zufallsvariablen in Folge X1,X2,…….Xn also von der Zentraler Grenzwertsatz wir können schreiben

das ist die Annäherung an den Standard Normalverteilung so wird die Wahrscheinlichkeit sein

Um eine Genauigkeit der Messung von 95 Prozent zu erhalten, sollte der Astronom also n* Entfernungen messen, wobei

aus der Normalverteilungstabelle können wir es also schreiben als

die besagt, dass die Messung 62 Mal durchgeführt werden sollte, dies kann auch mit Hilfe von beobachtet werden Tschebyschews Ungleichung indem

die Ungleichung ergibt sich also zu

daher für n=16/0.05=320, was die Gewissheit gibt, dass die Messung der Entfernung des Sterns vom Beobachtungslabor nur einen Fehler von 5% aufweist.

2. Die Anzahl der zugelassenen Studenten im Ingenieurstudium ist Poisson-verteilt mit einem Mittelwert von 100. Es wurde entschieden, dass bei zugelassenen Studenten mit 120 oder mehr der Unterricht in zwei Abschnitten stattfindet, ansonsten nur in einem Abschnitt, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies zwei Abschnitte für den Kurs sein?

Lösung: Nach der Poisson-Verteilung ist die exakte Lösung exact

was offensichtlich nicht den jeweiligen Zahlenwert angibt. Betrachten wir die Zufallsvariable X als die zugelassenen Schüler dann durch die zentraler Grenzwertsatz

welches sein kann

das ist der Zahlenwert.

3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe von zehn Würfeln beim Würfeln zwischen 30 und 40 liegt, einschließlich 30 und 40?

Lösung: Betrachten Sie hier den Würfel als Xi für zehn Werte von i. der Mittelwert und die Varianz sind

also nach dem zentraler Grenzwertsatz wir können schreiben

das ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit.

4. Für die gleichverteilten unabhängigen Zufallsvariablen Xi auf dem Intervall (0,1) was ist die Approximation der Wahrscheinlichkeit

Lösung: Aus der Unifrom-Verteilung wissen wir, dass Mittelwert und Varianz

Jetzt mit dem zentraler Grenzwertsatz wir können

somit beträgt die Summation der Zufallsvariablen 14 Prozent.

5. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Bewerter der Prüfung eine Note vergibt, beträgt 25 Prüfungen in beginnenden 450 min, wenn es 50 Prüfungen gibt, deren Benotungszeit unabhängig ist, mit einem Mittelwert von 20 min und einer Standardabweichung von 4 min.

Lösung: Berücksichtigen Sie den Zeitaufwand für die Benotung der Prüfung anhand der Zufallsvariablen Xi also ist die Zufallsvariable X

da diese Aufgabe für die 25-Prüfung 450 Minuten dauert, also

hier mit dem zentraler Grenzwertsatz

das ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit.

Zentraler Grenzwertsatz für unabhängige Zufallsvariablen

Für die nicht gleichverteilte Folge mit unabhängigen Zufallsvariablen X1,X2,……. jeweils mit dem Mittelwert μ und der Varianz σ2 sofern es erfüllt

  1. jedes Xi ist einheitlich beschränkt
  2. Summe der Varianzen ist unendlich, dann

Starkes Gesetz der großen Zahlen

Strong Law of Large numbers is very crucial concept of the Wahrscheinlichkeitstheorie which says that the average of sequence of commonly distributed random variable with probability one will converge to the mean of that same distribution

Erklärung: Für die Reihenfolge identisch verteilt und unabhängigen Zufallsvariablen X1,X2,……. von denen jeder den endlichen Mittelwert mit Wahrscheinlichkeit eins hat dann

Beweis: Um dies zu beweisen, betrachten wir den Mittelwert jeder Zufallsvariablen als Null und die Reihe

jetzt für diese betrachte die Macht davon als

nach der Erweiterung der Terme auf der rechten Seite haben wir die Terme der Form

da diese unabhängig sind, wird der Mittelwert davon sein

mit Hilfe der Kombination des Paares wird die Erweiterung der Serie jetzt

da

so

erhalten wir

das deutet auf die Ungleichheit hin

daher

Durch die Konvergenz der Reihe, da die Wahrscheinlichkeit jeder Zufallsvariablen gleich eins ist, so

da

Wenn der Mittelwert jeder Zufallsvariablen ungleich Null ist, können wir ihn mit Abweichung und Wahrscheinlichkeit eins schreiben als

or

welches Ergebnis erforderlich ist.

Einseitige Tschebyschew-Ungleichheit

Die einseitige Chebysheve-Ungleichung für die Zufallsvariable X mit Mittelwert Null und endlicher Varianz, wenn a>0 ist

Tschebyschews Ungleichung
Tschebyschew-Ungleichheit

um dies zu beweisen betrachte für b>0 die Zufallsvariable X as

was gibt

also mit dem Markovs Ungleichung

Tschebyschews Ungleichung
einseitig chebyshev

was die erforderliche Ungleichung ergibt. für den Mittelwert und die Varianz können wir es schreiben als

Dies kann weiter geschrieben werden als

Beispiel:

Finden Sie die obere Grenze der Wahrscheinlichkeit, dass die Produktion des zufällig verteilten Unternehmens mindestens 120 beträgt, wenn die Produktion dieses bestimmten Unternehmens einen Mittelwert von 100 und eine Varianz von 400 hat.

Lösung:

Die einseitige verwenden Tschebyschew-Ungleichheit

dies ergibt also die Wahrscheinlichkeit der Produktion innerhalb einer Woche mindestens 120 ist 1/2, nun erhält man die Schranke für diese Wahrscheinlichkeit mit Markovs Ungleichung

die die obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit zeigt.

Beispiel:

Hundert Paare werden von zweihundert Personen mit hundert Männern und hundert Frauen genommen. Finden Sie die obere Grenze der Wahrscheinlichkeit, dass höchstens dreißig Paare aus einem Mann und einer Frau bestehen.

Lösung:

Sei die Zufallsvariable Xi as

so kann das Paar ausgedrückt werden als

Da kann jeder Mann mit gleicher Wahrscheinlichkeit mit verbleibenden Menschen gepaart werden, in denen hundert Frauen sind, also der Mittelwert

auf die gleiche Weise, wenn i und j ungleich sind, dann

as

daher haben wir

Verwendung der Tschebyschew-Ungleichheit

was besagt, dass die Möglichkeit, 30 Männer mit Frauen zu paaren, weniger als sechs beträgt, daher können wir die Bindung verbessern, indem wir verwenden einseitige Tschebyschew-Ungleichheit

Chernoff gebunden Bo

Wenn die momenterzeugende Funktion bereits bekannt ist, dann

as

auf die gleiche Weise können wir für t<0 schreiben als

Somit kann die Chernoff-Schranke definiert werden als

diese Ungleichung steht für alle positiven oder negativen Werte von t.

Chernoff-Grenzen für die normale normale Zufallsvariable

Die Chernoff-Grenzen für den Standard normale Zufallsvariable dessen momenterzeugende Funktion

is

Die Minimierung dieser Ungleichung und der rechtsseitigen Potenzterme ergibt also a>0

und für a<0 ist es

Chernoff-Grenzen für die Poisson-Zufallsvariable

Die Chernoff-Schranken für die Poisson-Zufallsvariable, deren momenterzeugende Funktion

is

Die Minimierung dieser Ungleichung und der rechtsseitigen Potenzterme ergibt also a>0

und es wäre

Beispiel für Chernoff-Grenzen

In einem Spiel, in dem ein Spieler unabhängig von einem früheren Spielstand mit gleicher Wahrscheinlichkeit das Spiel entweder gewinnt oder verliert, ermitteln Sie die Chernoff-Grenze für die Wahrscheinlichkeit

Lösung: Sei Xi den Gewinn des Spielers bezeichnen, dann ist die Wahrscheinlichkeit

für die Folge von n Spielen sei

die momenterzeugende Funktion ist also

hier mit den Erweiterungen von Exponentialtermen

also haben wir

jetzt die Eigenschaft der momenterzeugenden Funktion anwenden

Dies ergibt die Ungleichung

daher

Fazit:

Die Ungleichungen und der Grenzwertsatz für die großen Zahlen wurden diskutiert und auch die begründbaren Beispiele für die Grenzen der Wahrscheinlichkeiten wurden herangezogen, um einen Einblick in die Idee zu bekommen das Konzept einfach, wenn Sie weitere Lektüre benötigen, lesen Sie die folgenden Bücher oder folgen Sie für weitere Artikel über Wahrscheinlichkeit bitte unseren Mathematikseiten.

Ein erster Wahrscheinlichkeitskurs von Sheldon Ross

Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik

Eine Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik von ROHATGI und SALEH

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ich bin Dr. Mohammed Mazhar ul Haque. Ich habe meinen Ph.D. in Mathematik und arbeitet als Assistenzprofessor für Mathematik. Mit 12 Jahren Erfahrung im Unterrichten. Umfangreiches Wissen in reiner Mathematik, insbesondere in Algebra. Mit der immensen Fähigkeit, Probleme zu entwerfen und zu lösen. Kann Kandidaten motivieren, ihre Leistung zu verbessern. Ich liebe es, zu Lambdageeks beizutragen, um Mathematik sowohl für Anfänger als auch für Experten einfach, interessant und selbsterklärend zu machen. Verbinden wir uns über LinkedIn – https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

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