- Inhalt
- Bedingte Verteilung
- Diskrete bedingte Verteilung
- Beispiel zur diskreten bedingten Verteilung
- Kontinuierliche bedingte Verteilung
- Beispiel für eine kontinuierliche bedingte Verteilung
- Bedingte Verteilung der bivariaten Normalverteilung
- Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Funktion von Zufallsvariablen
- Beispiele zur gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Funktion von Zufallsvariablen
Bedingte Verteilung
Es ist sehr interessant, den bedingten Fall der Verteilung zu diskutieren, wenn zwei Zufallsvariablen der Verteilung folgen, die einander erfüllt. Wir sehen zuerst kurz die bedingte Verteilung sowohl bei diskreten als auch kontinuierlichen Zufallsvariablen, nachdem wir einige Voraussetzungen untersucht haben, auf die wir uns konzentrieren bedingte Erwartungen.
Diskrete bedingte Verteilung
Mit Hilfe der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion in der gemeinsamen Verteilung definieren wir die bedingte Verteilung für die diskreten Zufallsvariablen X und Y unter Verwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit für X bei gegebenem Y als Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion
vorausgesetzt, die Nennerwahrscheinlichkeit ist größer als Null, in ähnlicher Weise können wir dies als schreiben
Wenn in der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit X und Y unabhängige Zufallsvariablen sind, wird dies zu
Die diskrete bedingte Verteilung oder bedingte Verteilung für die diskreten Zufallsvariablen X bei Y ist also die Zufallsvariable mit der obigen Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion in ähnlicher Weise für Y bei X, die wir definieren können.
Beispiel zur diskreten bedingten Verteilung
- Finden Sie die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion einer Zufallsvariablen X gegeben Y=1, wenn die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für die Zufallsvariablen X und Y einige Werte wie hat
p(0,0)=0.4, p(0,1)=0.2, p(1,0)=0.1, p(1,1)=0.3
Nun haben wir zunächst den Wert Y = 1
also unter Verwendung der Definition der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion
Wir haben
und
- Erhalten Sie die bedingte Verteilung von X bei X + Y = n, wobei X und Y Poisson-Verteilungen mit den Parametern λ sind1 und λ2 und X und Y sind unabhängige Zufallsvariablen
Da die Zufallsvariablen X und Y unabhängig sind, hat die bedingte Verteilung die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion als
da die Summe der Poisson-Zufallsvariablen wieder so poisson ist
somit ist die bedingte Verteilung mit der obigen Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion eine bedingte Verteilung für solche Poisson-Verteilungen. Der obige Fall kann für mehr als zwei Zufallsvariablen verallgemeinert werden.
Kontinuierliche bedingte Verteilung
Die bereits definierte kontinuierliche bedingte Verteilung der Zufallsvariablen X bei y ist die kontinuierliche Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Die Nennerdichte ist größer als Null, was für die kontinuierliche Dichtefunktion gilt
somit ist die Wahrscheinlichkeit für eine solche bedingte Dichtefunktion
In ähnlicher Weise wie in diskret, wenn X und Y in stetig unabhängig sind, dann auch
und daher
so können wir es schreiben als
Beispiel für eine kontinuierliche bedingte Verteilung
- Berechnen Sie die bedingte Dichtefunktion der Zufallsvariablen X bei Y, wenn die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit dem offenen Intervall (0,1) gegeben ist durch
Wenn für die Zufallsvariable X Y innerhalb von (0,1) gegeben ist, dann haben wir unter Verwendung der obigen Dichtefunktion
- Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit
wenn die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gegeben ist durch
Um zuerst die bedingte Wahrscheinlichkeit zu finden, benötigen wir die bedingte Dichtefunktion, so wie es per Definition wäre
Verwenden Sie nun diese Dichtefunktion in der Wahrscheinlichkeit, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit is
Bedingte Verteilung der bivariaten Normalverteilung
Wir wissen, dass die bivariate Normalverteilung der normalen Zufallsvariablen X und Y mit den jeweiligen Mitteln und Varianzen als Parameter die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion hat
Um die bedingte Verteilung für eine solche bivariate Normalverteilung für X bei gegebenem Y zu finden, wird definiert, indem man der bedingten Dichtefunktion der kontinuierlichen Zufallsvariablen und der obigen Gelenkdichtefunktion folgt, die wir haben
Wenn wir dies beobachten, können wir sagen, dass dies normalerweise mit dem Mittelwert verteilt ist
und Varianz
In ähnlicher Weise vertauscht die bedingte Dichtefunktion für Y bei bereits definiertem X nur die Positionen der Parameter von X mit Y,
Die Grenzdichtefunktion für X können wir aus der obigen bedingten Dichtefunktion unter Verwendung des Wertes der Konstante erhalten
Lassen Sie uns im Integral ersetzen
Die Dichtefunktion wird jetzt sein
da der Gesamtwert von
durch die Definition der Wahrscheinlichkeit wird also die Dichtefunktion nun sein
Das ist nichts anderes als die Dichtefunktion der Zufallsvariablen X mit dem üblichen Mittelwert und der Varianz als Parameter.
Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Funktion von Zufallsvariablen
Bisher kennen wir die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung zweier Zufallsvariablen. Wenn wir nun Funktionen solcher Zufallsvariablen haben, wie lautet dann die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Funktionen, wie berechnet man die Dichte- und Verteilungsfunktion, weil wir reale Situationen haben, in denen wir Funktionen der Zufallsvariablen haben,
Wenn Y.1 Andy2 sind die Funktionen der Zufallsvariablen X.1 und X2 jeweils gemeinsam kontinuierlich sind dann die gemeinsame kontinuierliche Dichtefunktion dieser beiden Funktionen
woher Jakobiner
Andy1 =g1 (X1, X2) Andy2 =g2 (X1, X2) für einige Funktionen g1 und G2 . Hier g1 und G2 erfüllt die Bedingungen des Jacobian als stetig und hat kontinuierliche partielle Ableitungen.
Nun ist die Wahrscheinlichkeit für solche Funktionen von Zufallsvariablen
Beispiele zur gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Funktion von Zufallsvariablen
- Finden Sie die Gelenkdichtefunktion der Zufallsvariablen Y.1 =X1 +X2 Andy2=X1 -X2 , wo X.1 und X2 sind die gemeinsam stetig mit der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. diskutieren auch für die unterschiedliche Art der Verteilung.
Hier werden wir zuerst Jacobian überprüfen
seit g1(x1, X2) = x1 +x2 und G2(x1, X2) = x1 - x2 so
Vereinfachung Y.1 =X1 +X2 Andy2=X1 -X2 , für den Wert von X1 = 1/2 (Y.1 +Y2 ) und X.2 = Y1 -Y2 ,
wenn diese Zufallsvariablen unabhängige einheitliche Zufallsvariablen sind
oder wenn diese Zufallsvariablen unabhängige exponentielle Zufallsvariablen mit üblichen Parametern sind
oder wenn diese Zufallsvariablen unabhängige normale Zufallsvariablen sind, dann
- Wenn X und Y die unabhängigen Standardnormalvariablen sind, wie angegeben
Berechnen Sie die Gelenkverteilung für die jeweiligen Polarkoordinaten.
Wir werden durch übliche Umwandlung X und Y in r und θ als umwandeln
so werden die partiellen Ableitungen dieser Funktion sein
so ist der Jacobianer, der diese Funktionen verwendet,
Wenn beide Zufallsvariablen X und Y größer als Null sind, ist die bedingte Gelenkdichtefunktion
nun die Umwandlung der kartesischen Koordinate in die Polarkoordinate mit
also die Wahrscheinlichkeitsdichte Funktion für die positiven Werte werden
für die anderen Kombinationen von X und Y sind die Dichtefunktionen in ähnlicher Weise
Aus dem Durchschnitt der obigen Dichten können wir nun die Dichtefunktion als angeben
und die Grenzdichtefunktion aus dieser Gelenkdichte der Polarkoordinaten über das Intervall (0, 2π)
- Finden Sie die Gelenkdichtefunktion für die Funktion von Zufallsvariablen
U = X + Y und V = X / (X + Y)
wobei X und Y die sind Gammaverteilung mit den Parametern (α + λ) bzw. (β + λ).
Mit der Definition von Gammaverteilung und gemeinsame Verteilungsfunktion wird die Dichtefunktion für die Zufallsvariablen X und Y sein
Betrachten Sie die angegebenen Funktionen als
g1 (x, y) = x + y, g2 (x, y) = x / (x + y),
so ist die Differenzierung dieser Funktion
jetzt ist der Jacobianer
Nach der Vereinfachung der gegebenen Gleichungen ergibt sich mit den Variablen x=uv und y=u(1-v) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
wir können die Beziehung verwenden
- Berechnen Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für
Y1 =X1 +X2+ X3 , Y2 =X1- X.2 , Y3 =X1 - X.3
wobei die Zufallsvariablen X1 , X2, X3 der Standard sind normale Zufallsvariablen.
Berechnen wir nun den Jacobi unter Verwendung partieller Ableitungen von
Y1 =X1 +X2+ X3 , Y2 =X1- X.2 , Y3 =X1 - X.3
as
Vereinfachung für Variablen X.1 , X2 und X3
X1 = (Y.1 + Y.2 + Y.3) / 3, X.2 = (Y.1 - 2J2 + Y.3) / 3, X.3 = (Y.1 + Y.2 -2 Y.3) / 3
Wir können die Gelenkdichtefunktion als verallgemeinern
also haben wir
für die normale Variable ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
daher
wo der Index ist
Berechnen Sie die Gelenkdichtefunktion von Y.1 …… Y.n und Grenzdichtefunktion für Y.n woher
und Xi sind unabhängige identisch verteilte exponentielle Zufallsvariablen mit dem Parameter λ.
für die Zufallsvariablen des Formulars
Y1 =X1 , Y2 =X1 + X2 , ……, Y.n =X1 + ……+ Xn
Der Jakobianer wird von der Form sein
und daher ist sein Wert eins und die Gelenkdichtefunktion für die exponentielle Zufallsvariable
und die Werte der Variablen X.i wird sein
so ist die Gelenkdichtefunktion
Finden Sie nun die Grenzdichtefunktion von Y.n wir werden eins nach dem anderen integrieren als
und
gleichfalls
Wenn wir diesen Prozess fortsetzen, werden wir bekommen
Das ist die Grenzdichtefunktion.
Fazit:
Das bedingte Verteilung für die diskrete und kontinuierliche Zufallsvariable mit verschiedenen Beispielen unter Berücksichtigung einiger der Typen dieser diskutierten Zufallsvariablen, bei denen die unabhängige Zufallsvariable eine wichtige Rolle spielt. Dazu das Gelenk Verteilung für die Funktion gemeinsamer kontinuierlicher Zufallsvariablen auch mit geeigneten Beispielen erklärt, wenn Sie weitere Lektüre benötigen, gehen Sie durch die folgenden Links.
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Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org
Ein erster Wahrscheinlichkeitskurs von Sheldon Ross
Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik
Eine Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik von ROHATGI und SALEH
Ich bin Dr. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ich habe meinen Ph.D. abgeschlossen. in Mathematik und arbeitet als Assistenzprofessor für Mathematik. Verfügt über 12 Jahre Erfahrung im Unterrichten. Verfügt über umfangreiche Kenntnisse in reiner Mathematik, insbesondere in Algebra. Sie verfügen über die immense Fähigkeit, Probleme zu entwerfen und zu lösen. Kann Kandidaten motivieren, ihre Leistung zu steigern.
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