Bedingte Verteilung: 7 interessante Fakten, die Sie wissen sollten


Bedingte Verteilung

   Es ist sehr interessant, den bedingten Fall der Verteilung zu diskutieren, wenn zwei Zufallsvariablen der Verteilung folgen, die einander erfüllt. Wir sehen zuerst kurz die bedingte Verteilung sowohl bei diskreten als auch kontinuierlichen Zufallsvariablen, nachdem wir einige Voraussetzungen untersucht haben, auf die wir uns konzentrieren bedingte Erwartungen.

Diskrete bedingte Verteilung

     Mit Hilfe der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion in der gemeinsamen Verteilung definieren wir die bedingte Verteilung für die diskreten Zufallsvariablen X und Y unter Verwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit für X bei gegebenem Y als Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion

vorausgesetzt, die Nennerwahrscheinlichkeit ist größer als Null, in ähnlicher Weise können wir dies als schreiben

Wenn in der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit X und Y unabhängige Zufallsvariablen sind, wird dies zu

Die diskrete bedingte Verteilung oder bedingte Verteilung für die diskreten Zufallsvariablen X bei Y ist also die Zufallsvariable mit der obigen Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion in ähnlicher Weise für Y bei X, die wir definieren können.

Beispiel zur diskreten bedingten Verteilung

  1. Finden Sie die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion einer Zufallsvariablen X gegeben Y=1, wenn die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für die Zufallsvariablen X und Y einige Werte wie hat

p (0,0) = 0.4, p (0,1) = 0.2, p (1,0) = 0.1, p (1,1) = 0.3

Nun haben wir zunächst den Wert Y = 1

also unter Verwendung der Definition der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion

Wir haben

und

  • Erhalten Sie die bedingte Verteilung von X bei X + Y = n, wobei X und Y Poisson-Verteilungen mit den Parametern λ sind1 und λ2 und X und Y sind unabhängige Zufallsvariablen

Da die Zufallsvariablen X und Y unabhängig sind, hat die bedingte Verteilung die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion als

da die Summe der Poisson-Zufallsvariablen wieder so poisson ist

somit ist die bedingte Verteilung mit der obigen Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion eine bedingte Verteilung für solche Poisson-Verteilungen. Der obige Fall kann für mehr als zwei Zufallsvariablen verallgemeinert werden.

Kontinuierliche bedingte Verteilung

   Die bereits definierte kontinuierliche bedingte Verteilung der Zufallsvariablen X bei y ist die kontinuierliche Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Die Nennerdichte ist größer als Null, was für die kontinuierliche Dichtefunktion gilt

somit ist die Wahrscheinlichkeit für eine solche bedingte Dichtefunktion

In ähnlicher Weise wie in diskret, wenn X und Y in stetig unabhängig sind, dann auch

und daher

so können wir es schreiben als

Beispiel für eine kontinuierliche bedingte Verteilung

  1. Berechnen Sie die bedingte Dichtefunktion der Zufallsvariablen X bei Y, wenn die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit dem offenen Intervall (0,1) gegeben ist durch

Wenn für die Zufallsvariable X Y innerhalb von (0,1) gegeben ist, dann haben wir unter Verwendung der obigen Dichtefunktion

  • Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit

wenn die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gegeben ist durch

Um zuerst die bedingte Wahrscheinlichkeit zu finden, benötigen wir die bedingte Dichtefunktion, so wie es per Definition wäre

Verwenden Sie nun diese Dichtefunktion in der Wahrscheinlichkeit, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit is

Bedingte Verteilung der bivariaten Normalverteilung

  Wir wissen, dass die bivariate Normalverteilung der normalen Zufallsvariablen X und Y mit den jeweiligen Mitteln und Varianzen als Parameter die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion hat

Um die bedingte Verteilung für eine solche bivariate Normalverteilung für X bei gegebenem Y zu finden, wird definiert, indem man der bedingten Dichtefunktion der kontinuierlichen Zufallsvariablen und der obigen Gelenkdichtefunktion folgt, die wir haben

Bedingte Verteilung
Bedingte Verteilung der bivariaten Normalverteilung

Wenn wir dies beobachten, können wir sagen, dass dies normalerweise mit dem Mittelwert verteilt ist

und Varianz

In ähnlicher Weise vertauscht die bedingte Dichtefunktion für Y bei bereits definiertem X nur die Positionen der Parameter von X mit Y,

Die Grenzdichtefunktion für X können wir aus der obigen bedingten Dichtefunktion unter Verwendung des Wertes der Konstante erhalten

Bedingte Verteilung
Bedingte Verteilung der bivariaten Normalverteilung

Lassen Sie uns im Integral ersetzen

Die Dichtefunktion wird jetzt sein

da der Gesamtwert von

durch die Definition der Wahrscheinlichkeit wird also die Dichtefunktion nun sein

Das ist nichts anderes als die Dichtefunktion der Zufallsvariablen X mit dem üblichen Mittelwert und der Varianz als Parameter.

Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Funktion von Zufallsvariablen

  Bisher kennen wir die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung zweier Zufallsvariablen. Wenn wir nun Funktionen solcher Zufallsvariablen haben, wie lautet dann die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Funktionen, wie berechnet man die Dichte- und Verteilungsfunktion, weil wir reale Situationen haben, in denen wir Funktionen der Zufallsvariablen haben,

Wenn Y.1 Andy2 sind die Funktionen der Zufallsvariablen X.1 und X2 jeweils gemeinsam kontinuierlich sind dann die gemeinsame kontinuierliche Dichtefunktion dieser beiden Funktionen

woher Jakobiner

Andy1 =g1 (X1, X2) Andy2 =g2 (X1, X2) für einige Funktionen g1 und G2 . Hier g1 und G2 erfüllt die Bedingungen des Jacobian als stetig und hat kontinuierliche partielle Ableitungen.

Nun ist die Wahrscheinlichkeit für solche Funktionen von Zufallsvariablen

Beispiele zur gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Funktion von Zufallsvariablen

  1. Finden Sie die Gelenkdichtefunktion der Zufallsvariablen Y.1 =X1 +X2 Andy2=X1 -X2 , wo X.1 und X2 sind die gemeinsam stetig mit der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. diskutieren auch für die unterschiedliche Art der Verteilung.

Hier werden wir zuerst Jacobian überprüfen

seit g1(x1, X2) = x1 +x2  und G2(x1, X2) = x1 - x2 so

Vereinfachung Y.1 =X1 +X2 Andy2=X1 -X2 für den Wert von X.1 = 1/2 (Y.1 +Y2 ) und X.2 = Y1 -Y2 ,

wenn diese Zufallsvariablen unabhängige einheitliche Zufallsvariablen sind

oder wenn diese Zufallsvariablen unabhängige exponentielle Zufallsvariablen mit üblichen Parametern sind

oder wenn diese Zufallsvariablen unabhängige normale Zufallsvariablen sind, dann

  • Wenn X und Y die unabhängigen Standardnormalvariablen sind, wie angegeben
Bedingte Verteilung

Berechnen Sie die Gelenkverteilung für die jeweiligen Polarkoordinaten.

Wir werden durch übliche Umwandlung X und Y in r und θ als umwandeln

so werden die partiellen Ableitungen dieser Funktion sein

so ist der Jacobianer, der diese Funktionen verwendet,

Wenn beide Zufallsvariablen X und Y größer als Null sind, ist die bedingte Gelenkdichtefunktion

nun die Umwandlung der kartesischen Koordinate in die Polarkoordinate mit

also die Wahrscheinlichkeitsdichte Funktion für die positiven Werte werden

für die anderen Kombinationen von X und Y sind die Dichtefunktionen in ähnlicher Weise

Aus dem Durchschnitt der obigen Dichten können wir nun die Dichtefunktion als angeben

und die Grenzdichtefunktion aus dieser Gelenkdichte der Polarkoordinaten über das Intervall (0, 2π)

  • Finden Sie die Gelenkdichtefunktion für die Funktion von Zufallsvariablen

U = X + Y und V = X / (X + Y)

wobei X und Y die sind Gammaverteilung mit den Parametern (α + λ) bzw. (β + λ).

Mit der Definition von Gammaverteilung und gemeinsame Verteilungsfunktion wird die Dichtefunktion für die Zufallsvariablen X und Y sein

Betrachten Sie die angegebenen Funktionen als

g1 (x, y) = x + y, g2 (x, y) = x / (x + y),

so ist die Differenzierung dieser Funktion

jetzt ist der Jacobianer

Nach Vereinfachung der gegebenen Gleichungen sind die Variablen x = uv und y = u (1-v) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

wir können die Beziehung verwenden

  • Berechnen Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für

Y1 =X1 +X2+ X3 , Y2 =X1- X.2 , Y3 =X1 - X.3

wobei die Zufallsvariablen X1 , X2, X3 der Standard sind normale Zufallsvariablen.

Berechnen wir nun den Jacobi unter Verwendung partieller Ableitungen von

Y1 =X1 +X2+ X3 , Y2 =X1- X.2 , Y3 =X1 - X.3

as

Vereinfachung für Variablen X.1 , X2 und X3

X1 = (Y.1 + Y.2 + Y.3) / 3, X.2 = (Y.1 - 2J2 + Y.3) / 3, X.3 = (Y.1 + Y.2 -2 Y.3) / 3

Wir können die Gelenkdichtefunktion als verallgemeinern

also haben wir

für die normale Variable ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

daher

wo der Index ist

Berechnen Sie die Gelenkdichtefunktion von Y.1 …… Y.n und Grenzdichtefunktion für Y.n woher

und Xi sind unabhängige identisch verteilte exponentielle Zufallsvariablen mit dem Parameter λ.

für die Zufallsvariablen des Formulars

Y1 =X1 , Y2 =X1 + X2 , ……, Y.n =X1 + …… + X.n

Der Jakobianer wird von der Form sein

und daher ist sein Wert eins und die Gelenkdichtefunktion für die exponentielle Zufallsvariable

und die Werte der Variablen X.i wird sein

so ist die Gelenkdichtefunktion

Finden Sie nun die Grenzdichtefunktion von Y.n wir werden eins nach dem anderen integrieren als

und

gleichfalls

Wenn wir diesen Prozess fortsetzen, werden wir bekommen

Das ist die Grenzdichtefunktion.

Fazit:

Die bedingte Verteilung für die diskrete und kontinuierliche Zufallsvariable mit verschiedenen Beispielen unter Berücksichtigung einiger der Typen dieser diskutierten Zufallsvariablen, bei denen die unabhängige Zufallsvariable eine wichtige Rolle spielt. Dazu das Gelenk Verteilung für die Funktion gemeinsamer kontinuierlicher Zufallsvariablen auch mit geeigneten Beispielen erklärt, wenn Sie weitere Lektüre benötigen, gehen Sie durch die folgenden Links.

Weitere Beiträge zu Mathematik finden Sie in unserem Mathematik Seite

Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

Ein erster Wahrscheinlichkeitskurs von Sheldon Ross

Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik

Eine Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik von ROHATGI und SALEH

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ich bin Dr. Mohammed Mazhar ul Haque. Ich habe meinen Ph.D. in Mathematik und arbeitet als Assistenzprofessor für Mathematik. Mit 12 Jahren Erfahrung im Unterrichten. Umfangreiches Wissen in reiner Mathematik, insbesondere in Algebra. Mit der immensen Fähigkeit, Probleme zu entwerfen und zu lösen. Kann Kandidaten motivieren, ihre Leistung zu verbessern. Ich liebe es, zu Lambdageeks beizutragen, um Mathematik sowohl für Anfänger als auch für Experten einfach, interessant und selbsterklärend zu machen. Verbinden wir uns über LinkedIn – https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

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