Da für die voneinander abhängigen Zufallsvariablen die bereits besprochene Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten erforderlich ist, werden nun einige weitere Parameter für solche Zufallsvariablen oder Experimente wie bedingter Erwartungswert und bedingte Varianz für verschiedene Arten von Zufallsvariablen diskutiert.
Bedingte Erwartung
Die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion der diskreten Zufallsvariablen X bei gegebenem Y ist
hier pY(y)>0 , also die Bedingung Erwartung für die diskrete Zufallsvariable X gegeben Y wenn pY(y)>0 ist
in der oben genannten Erwartung Wahrscheinlichkeit ist die Bedingung Wahrscheinlichkeit.
In ähnlicher Weise, wenn X und Y stetig sind, dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsvariablen X gegeben Y
wobei f(x,y) die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist und für alle yfY(y)>0 , also ist der bedingte Erwartungswert für die Zufallsvariable X bei gegebenem y
für alle yfY(y) > 0.
Wie wir wissen, dass alle Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit gelten für bedingte Wahrscheinlichkeit Gleiches gilt für die bedingte Erwartung, alle Eigenschaften der mathematischen Erwartung werden durch die bedingte Erwartung erfüllt, zum Beispiel wird die bedingte Erwartung der Funktion einer Zufallsvariablen sein
und die Summe der Zufallsvariablen im bedingten Erwartungswert ist
Bedingter Erwartungswert für die Summe binomialer Zufallsvariablen
Bedingt zu finden Erwartung der Summe binomialer Zufallsvariablen X und Y mit unabhängigen Parametern n und p, wissen wir, dass X+Y auch eine binomiale Zufallsvariable mit den Parametern 2n und p sein wird, also wird für die Zufallsvariable X bei X+Y=m der bedingte Erwartungswert durch Berechnung erhalten Die Wahrscheinlichkeit
seit wir das wissen
also ist der bedingte Erwartungswert von X gegeben X+Y=m
Beispiel:
Finden Sie die bedingte Erwartung
wenn das Gelenk Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion kontinuierlicher Zufallsvariablen X und Y sind gegeben als
Lösung:
Um den bedingten Erwartungswert zu berechnen, benötigen wir eine bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, also
da für die kontinuierliche Zufallsvariable die bedingt Erwartung ist
daher wäre für die gegebene Dichtefunktion der bedingte Erwartungswert
Erwartung durch Konditionierung||Erwartung durch bedingte Erwartung
Wir können das berechnen mathematische Erwartung mit Hilfe der bedingten Erwartung von X gegeben Y als
für die diskreten Zufallsvariablen ist dies
die erhältlich als
und für den stetigen Zufall können wir analog zeigen
Beispiel:
Eine Person ist in seinem Gebäude unter der Erde gefangen, da der Eingang wegen schwerer Last blockiert ist zum Glück gibt es drei Rohrleitungen, aus denen sie herauskommen kann die erste Rohrleitung bringt ihn nach 3 Stunden sicher heraus, die zweite nach 5 Stunden und die dritte Rohrleitung danach 7 Stunden, Wenn eine dieser Pipelines von ihm gleich wahrscheinlich gewählt wird, was wäre dann die voraussichtliche Zeit, in der er sicher nach draußen kommt.
Lösung:
Sei X die Zufallsvariable, die die Zeit in Stunden angibt, bis die Person sicher herausgekommen ist, und Y die Pfeife, die sie anfangs wählt, also
da
Wenn die Person die zweite Pfeife wählt, verbringt sie 5 Stunden darin, kommt aber mit der erwarteten Zeit nach draußen
also wird die erwartung sein
Erwartung der Summe einer Zufallszahl von Zufallsvariablen mit bedingter Erwartung
Sei N die Zufallszahl der Zufallsvariablen und die Summe der Zufallsvariablen ist dann die erwartung
da
as
so
Korrelation der bivariaten Verteilung
Ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der bivariaten Zufallsvariablen X und Y
woher
dann ist die Korrelation zwischen Zufallsvariablen X und Y für die bivariate Verteilung mit Dichtefunktion function
da Korrelation definiert ist als
da der Erwartungswert mit bedingtem Erwartungswert ist
für die Normalverteilung hat die bedingte Verteilung X gegeben Y einen Mittelwert
nun ist der Erwartungswert von XY bei gegebenem Y
das gibt
daher
Varianz der geometrischen Verteilung
In der geometrischen Verteilung führen wir sukzessive unabhängige Versuche durch, die mit der Wahrscheinlichkeit p zum Erfolg führen. Wenn N den Zeitpunkt des ersten Erfolgs in dieser Folge darstellt, dann ist die Varianz von N definitionsgemäß
Sei die Zufallsvariable Y=1, wenn der erste Versuch erfolgreich ist und Y=0, wenn der erste Versuch fehlschlägt. Um nun den mathematischen Erwartungswert hier zu finden, wenden wir den bedingten Erwartungswert an als
da
wenn der Erfolg im ersten Versuch ist, dann N=1 und N2=1 Wenn im ersten Versuch ein Fehler auftritt, dann wird die Gesamtzahl der Versuche, um den ersten Erfolg zu erzielen, die gleiche Verteilung wie 1 haben, dh der erste Versuch, der zu einem Fehlschlag führt, plus der erforderlichen Anzahl zusätzlicher Versuche, d
Somit wird die Erwartung sein
da der Erwartungswert der geometrischen Verteilung so
daher
und
E
die Varianz der geometrischen Verteilung ist also
Erwartung des Minimums der Folge gleichförmiger Zufallsvariablen
Die Folge gleichförmiger Zufallsvariablen U1, SIE IST2 … .. über das Intervall (0, 1) und N ist definiert als
dann für den Erwartungswert von N für jedes x ∈ [0, 1] der Wert von N
wir setzen den Erwartungswert von N als
um den Erwartungswert zu finden, verwenden wir die Definition des bedingten Erwartungswerts auf stetige Zufallsvariable
nun Konditionierung für den ersten Term der Folge Wir haben
hier bekommen wir
die verbleibende Anzahl gleichförmiger Zufallsvariablen ist an dem Punkt gleich, an dem der erste gleichförmige Wert y ist, und dann würden gleichförmige Zufallsvariablen hinzugefügt, bis ihre Summe x − y überschreitet.
Bei Verwendung dieses Erwartungswerts ist der Wert des Integrals
wenn wir diese Gleichung differenzieren
und
jetzt integrieren das gibt
daher
der Wert von k=1 wenn x=0 , also
m
und m(1) =e, die erwartete Anzahl gleichförmiger Zufallsvariablen über das Intervall (0, 1), die addiert werden müssen, bis ihre Summe 1 überschreitet, ist gleich e
Wahrscheinlichkeit mit bedingter Erwartung || Wahrscheinlichkeiten mit Konditionierung
Wir können die Wahrscheinlichkeit auch finden, indem wir bedingte Erwartungen verwenden, wie die Erwartung, die wir mit bedingter Erwartung gefunden haben, um dies zu erhalten, betrachten Sie ein Ereignis und eine Zufallsvariable X als
aus der Definition dieser Zufallsvariablen und Erwartung eindeutig
jetzt durch bedingte Erwartung in irgendeiner Weise, die wir haben
Beispiel:
berechne die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der Zufallsvariablen X , wenn U die einheitliche Zufallsvariable auf dem Intervall (0,1) ist, und betrachte die bedingte Verteilung von X bei U=p als binomial mit den Parametern n und p.
Lösung:
Für den Wert von U ist die Wahrscheinlichkeit durch Konditionierung
wir haben das ergebnis
also werden wir bekommen
Beispiel:
was ist die Wahrscheinlichkeit von X < Y, wenn X und Y die stetigen Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen f . sindX und fY beziehungsweise.
Lösung:
Mit bedingter Erwartung und bedingter Wahrscheinlichkeit
as
Beispiel:
Berechnen Sie die Verteilung der Summe der stetigen unabhängigen Zufallsvariablen X und Y.
Lösung:
Um die Verteilung von X+Y zu finden, müssen wir die Wahrscheinlichkeit der Summe ermitteln, indem wir die Konditionierung wie folgt anwenden
Fazit:
Die bedingte Erwartung für die diskrete und kontinuierliche Zufallsvariable mit verschiedenen Beispielen unter Berücksichtigung einiger der Arten dieser Zufallsvariablen, die unter Verwendung der unabhängigen Zufallsvariablen und der gemeinsamen Verteilung unter verschiedenen Bedingungen diskutiert werden Beispiele, wenn Sie weitere Lektüre benötigen, lesen Sie die folgenden Bücher oder für weitere Artikel über Wahrscheinlichkeit, folgen Sie bitte unseren Mathematikseiten.
https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution
Ein erster Wahrscheinlichkeitskurs von Sheldon Ross
Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik
Eine Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik von ROHATGI und SALEH
