Kontinuierliche Zufallsvariable, Typen und ihre Verteilung
Die Zufallsvariable, die die endlichen oder zählbar unendlichen Werte annimmt, ist als diskrete Zufallsvariable bekannt, und ihr Paar mit der Wahrscheinlichkeit bildet die Verteilung für die diskrete Zufallsvariable. Was wäre nun für die Zufallsvariable, die die Werte als unzählig betrachtet, die Wahrscheinlichkeit und die verbleibenden Merkmale, die wir diskutieren werden? Kurz gesagt ist die kontinuierliche Zufallsvariable die Zufallsvariable, deren Wertemenge unzählig ist. Das reale Beispiel für die kontinuierliche Zufallsvariable ist die Lebensdauer elektrischer oder elektronischer Komponenten und das Eintreffen eines bestimmten öffentlichen Fahrzeugs an den Haltestellen usw.
Kontinuierliche Zufallsvariablen- und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Zufällige Variable wird eine kontinuierliche Zufallsvariable sein, wenn für eine nicht negative reelle Funktion f auf x gilt ∈ ℝ und B ⊆ ℝ und
Diese Funktion f ist bekannt als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der gegebenen Zufallsvariablen X.
Das Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erfüllt offensichtlich die folgenden Wahrscheinlichkeitsaxiome
Da wir aus den Axiomen der Wahrscheinlichkeit wissen, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit eins ist
Für die kontinuierliche Zufallsvariable wird die Wahrscheinlichkeit in Bezug auf eine solche Funktion f berechnet. Nehmen wir an, wir möchten die Wahrscheinlichkeit für das kontinuierliche Intervall finden, sagen wir [a, b], dann wäre es
Wie wir wissen, stellt die Integration die Fläche unter der Kurve dar, so dass diese Wahrscheinlichkeit eine solche Fläche für die Wahrscheinlichkeit wie zeigt
durch Gleichsetzen von a = b wird der Wert sein
und in ähnlicher Weise wird die Wahrscheinlichkeit für den Wert kleiner oder gleich einem bestimmten Wert sein, indem man diesem folgt
Beispiel: Die kontinuierliche Arbeitszeit der elektronischen Komponente wird in Form einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ausgedrückt und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wird als angegeben
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Komponente effektiv zwischen 50 und 150 Stunden arbeitet, und die Wahrscheinlichkeit von weniger als 100 Stunden.
Da die Zufallsvariable die kontinuierliche Zufallsvariable darstellt, ergibt die in der Frage angegebene Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion die Gesamtwahrscheinlichkeit als
Also werden wir den Wert von bekommen λ
λ = 1/100
für die Wahrscheinlichkeit von 50 Stunden bis 150 Stunden haben wir
in ähnlicher Weise wird die Wahrscheinlichkeit kleiner als 100 sein
Beispiel: Das computergestützte Gerät hat eine Anzahl von Chipsätzen mit einer Lebensdauer, die durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gegeben ist
Dann finden Sie nach 150 Stunden die Wahrscheinlichkeit, dass wir 2 Chipsätze von insgesamt 5 Chips ersetzen müssen.
lass uns in Erwägung ziehen Ei das Ereignis sein, um den i-ten Chipsatz zu ersetzen. Die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses ist also
Da alle Chips unabhängig voneinander arbeiten, ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 ersetzt werden, gleich
Verteilungsfunktion
Die kumulative Verteilungsfunktion für die kontinuierliche Zufallsvariable wird mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion als definiert
in einer anderen Form
Wir können die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit Hilfe der Verteilungsfunktion als erhalten
Mathematische Erwartung und Varianz der kontinuierlichen Zufallsvariablen
Erwartung
Das mathematischer Erwartungswert oder Mittelwert der kontinuierlichen Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion definiert werden als
- Für jede reelle Wertfunktion der kontinuierlichen Zufallsvariablen gilt die X-Erwartung
wobei g der reelle Wert ist Funktion.
- Für jede nicht negative Stetigkeit zufällige Variable Y die Erwartung wird sein
- Für alle Konstanten a und b
E [aX + b] = aE [X] + b
Unterschied
Die Varianz der kontinuierlichen Zufallsvariablen X mit dem Parameter Mittelwert oder Erwartung kann auf ähnliche Weise definiert werden wie eine diskrete Zufallsvariable
Der Beweis für alle oben genannten Eigenschaften von Erwartung und Varianz Wir können leicht erhalten, indem wir einfach die Schritte befolgen, die wir in diskreten Zufallsvariablen und den Definitionen von Erwartung, Varianz und Wahrscheinlichkeit in Bezug auf kontinuierliche Zufallsvariablen haben
Beispiel: Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der stetigen Zufallsvariablen X gegeben ist durch
Finden Sie dann die Erwartung und Varianz der kontinuierlichen Zufallsvariablen X.
Lösung: Für die gegebene Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Der erwartete Wert gemäß der Definition ist
Um nun die Varianz zu finden, benötigen wir E [X.2]
Da
so
Einheitliche Zufallsvariable
Wenn die kontinuierliche Zufallsvariable X die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion hat, die durch gegeben ist
über das Intervall (0,1) ist diese Verteilung dann als gleichmäßige Verteilung bekannt und die Zufallsvariable ist als gleichmäßige Zufallsvariable bekannt.
- Für alle Konstanten a und b, so dass 0
Erwartung und Varianz der einheitlichen Zufallsvariablen
Für die gleichmäßig kontinuierliche Zufallsvariable X im allgemeinen Intervall (α, β) ist die Erwartung durch die Definition
und Varianz erhalten wir, wenn wir zuerst E [X finden2]
so
Beispiel: An einem bestimmten Bahnhof kommen die Züge für das angegebene Ziel mit einer Häufigkeit von 15 Minuten ab 7 Uhr morgens an. Für den Fahrgast, der sich zu einem Zeitpunkt zwischen 7 und 7.30 Uhr auf dem Bahnhof befindet, wird die Wahrscheinlichkeit gleichmäßig verteilt, dass der Fahrgast innerhalb von 5 Minuten einen Zug erhält und was wird die Wahrscheinlichkeit für mehr als 10 Minuten sein.
Lösung: Da die Zeit von 7 bis 7.30 Uhr gleichmäßig verteilt ist, damit sich der Passagier am Bahnhof befindet, wird dies durch eine einheitliche Zufallsvariable X bezeichnet. Das Intervall ist also (0, 30).
Da der Passagier innerhalb von 5 Minuten zwischen 7.10 und 7.15 Uhr oder zwischen 7.25 und 7.30 Uhr am Bahnhof sein muss, ist die Wahrscheinlichkeit hoch
= 1 / 3
In ähnlicher Weise muss der Passagier von 10 bis 7 Uhr oder von 7.05 bis 7.15 Uhr am Bahnhof sein, um den Zug nach mehr als 7.20 Minuten Wartezeit zu erreichen, damit die Wahrscheinlichkeit steigt
Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für die einheitliche Zufallsvariable X, die über das Intervall verteilt ist (0,10).
für X <3, X> 6 und 3
Lösung: da die Zufallsvariable als gleichmäßig verteilt angegeben ist, sind die Wahrscheinlichkeiten
Beispiel: (Bertrands-Paradox) Für jeden zufälligen Akkord eines Kreises. Wie groß wäre die Wahrscheinlichkeit, dass die Länge dieses zufälligen Akkords größer ist als die Seite des gleichseitigen Dreiecks, das in denselben Kreis eingeschrieben ist?
Dieses Problem hat keinen Abstand über den Zufallsakkord, daher wurde dieses Problem in Bezug auf Durchmesser oder Winkel neu formuliert und dann als 1/3 beantwortet.
Fazit:
In diesem Artikel wurden das Konzept der kontinuierlichen Zufallsvariablen und ihre Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion diskutiert und der statistische Parameter Mittelwert, Varianz für die kontinuierliche Zufallsvariable angegeben. Die einheitliche Zufallsvariable und ihre Verteilung anhand eines Beispiels wird angegeben. Dies ist die Art der kontinuierlichen Zufallsvariablen. In dem nachfolgenden Artikel werden wir einige wichtige Arten der kontinuierlichen Zufallsvariablen mit geeigneten Beispielen und Eigenschaften fokussieren. Wenn Sie weiterlesen möchten, gehen Sie durch:
Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability
Wenn Sie mehr Themen über Mathematik lesen möchten, gehen Sie durch Mathematik Seite.
