KOVARIANZ, VARIANZ VON SUMMEN UND KORRELATIONEN VON ZUFÄLLIGEN VARIABLEN
Die statistischen Parameter der Zufallsvariablen unterschiedlicher Natur mit der Definition des Erwartungswerts der Zufallsvariablen sind leicht zu erhalten und zu verstehen, im Folgenden finden wir einige Parameter mit Hilfe der mathematischen Erwartung der Zufallsvariablen.
Momente der Anzahl der auftretenden Ereignisse
Bisher wissen wir, dass die Erwartung verschiedener Potenzen von Zufallsvariablen die Momente von Zufallsvariablen ist und wie man die Erwartung der Zufallsvariablen aus den Ereignissen findet, wenn die Anzahl der Ereignisse bereits aufgetreten ist bereits aufgetreten, wenn X nun die Anzahl der aufgetretenen Ereignisse darstellt, dann für die Ereignisse A1, Ein2, ….,EINn Definiere die Indikatorvariable Ii as
der Erwartungswert von X im diskreten Sinne ist
denn die Zufallsvariable X ist
Um nun die Erwartung zu finden, wenn die Anzahl der Ereignispaare bereits aufgetreten ist, müssen wir verwenden Kombination as
das gibt erwartungen als
daraus erhalten wir den Erwartungswert von x-Quadrat und den Varianzwert ebenfalls um
Mit dieser Diskussion konzentrieren wir uns auf verschiedene Arten von Zufallsvariablen, um solche Momente zu finden.
Momente binomialer Zufallsvariablen
Wenn p die Erfolgswahrscheinlichkeit aus n unabhängigen Versuchen ist, dann bezeichne Ai für den versuch i als erfolg so
und daher die Varianz einer binomialen Zufallsvariablen wird sein
weil
wenn wir für k Ereignisse verallgemeinern
diese Erwartung können wir sukzessive für den Wert von k größer als 3 erhalten. Finden wir für 3
Mit dieser Iteration können wir erhalten
Momente hypergeometrischer Zufallsvariablen
Die Momente dieser Zufallsvariablen werden wir anhand eines Beispiels verstehen: Angenommen, n Stifte werden zufällig aus einer Box mit N Stiften ausgewählt, von denen m blau sind. Sei Ai Bezeichnen Sie die Ereignisse, dass der i-te Stift blau ist. Jetzt ist X die Anzahl der ausgewählten blauen Stifte gleich der Anzahl der Ereignisse A1,A2,…..,EINn die auftreten, weil der ausgewählte i-te Stift mit gleicher Wahrscheinlichkeit für alle N Stifte, von denen m blau sind
und so
das gibt
die Varianz der hypergeometrischen Zufallsvariablen ist also
ähnlich für die höheren Momente
daher
Momente der negativen hypergeometrischen Zufallsvariablen
Betrachten wir das Beispiel einer Packung, die n+m Impfstoffe enthält, von denen n speziell und m gewöhnlich sind. Diese Impfstoffe werden nacheinander entfernt, wobei jede neue Entnahme mit gleicher Wahrscheinlichkeit einer der Impfstoffe ist, die in der Packung verbleiben. Lassen Sie nun die Zufallsvariable Y die Anzahl der Impfstoffe bezeichnen, die zurückgezogen werden müssen, bis insgesamt r spezielle Impfstoffe entfernt wurden, was eine negative hypergeometrische Verteilung ist, dies ist irgendwie ähnlich mit negativer Binomial zu binomialer als hypergeometrischer Verteilung. um die zu finden Wahrscheinlichkeit Massenfunktion, wenn die k-te Ziehung den speziellen Impfstoff ergibt, nachdem die k-1 Ziehung r-1 spezielle und kr normale Impfung ergibt ordinary
nun die Zufallsvariable Y
Y=r+X
für die Veranstaltungen Ai
as
Um also die Varianz von Y zu bestimmen, müssen wir die Varianz von X kennen also
daher
KOVARIANZ
Die Beziehung zwischen zwei Zufallsvariablen kann durch den statistischen Parameter Kovarianz dargestellt werden, bevor die Definition der Kovarianz zweier Zufallsvariablen X und Y daran erinnert, dass der Erwartungswert zweier Funktionen g und h der Zufallsvariablen X bzw. Y ergibt
Mit dieser Erwartungsrelation können wir die Kovarianz definieren als
“ Die Kovarianz zwischen Zufallsvariable X und Zufallsvariable Y bezeichnet mit cov(X,Y) ist definiert als
unter Verwendung der Erwartungsdefinition und Erweiterung erhalten wir
es ist klar, dass, wenn die Zufallsvariablen X und Y unabhängig sind, dann
aber das Umgekehrte gilt nicht zum Beispiel wenn
und Definieren der Zufallsvariablen Y als
so
hier sind X und Y eindeutig nicht unabhängig, aber die Kovarianz ist null.
Eigenschaften der Kovarianz
Die Kovarianz zwischen den Zufallsvariablen X und Y hat einige Eigenschaften wie folgt
unter Verwendung der Definition außerhalb der Kovarianz sind die ersten drei Eigenschaften unmittelbar und die vierte Eigenschaft folgt unter Berücksichtigung von
jetzt per definitionem
Varianz der Summen
Das wichtige Ergebnis dieser Eigenschaften ist
as
Wenn Xi sind dann paarweise unabhängig
Beispiel: Varianz einer binomialen Zufallsvariablen
Wenn X die Zufallsvariable ist
wo X.i sind die unabhängigen Bernoulli-Zufallsvariablen, so dass
Bestimmen Sie dann die Varianz einer binomialen Zufallsvariablen X mit den Parametern n und p.
Lösung:
da
für einzelne Variable haben wir also
die Varianz ist also
Beispiel
Für die unabhängigen Zufallsvariablen Xi mit dem jeweiligen Mittelwert und der Varianz und einer neuen Zufallsvariable mit Abweichung als
dann berechne
Lösung:
Unter Verwendung der obigen Eigenschaft und Definition haben wir
nun für die Zufallsvariable S
nimm die erwartung
Beispiel:
Bestimmen Sie die Kovarianz der Indikatorfunktionen für die Ereignisse A und B.
Lösung:
für die Ereignisse A und B sind die Indikatorfunktionen
also die erwartung davon ist
somit ist die Kovarianz
Beispiel:
Zeige, dass
wo X.i sind unabhängige Zufallsvariablen mit Varianz.
Lösung:
Die Kovarianz unter Verwendung der Eigenschaften und Definition ist
Beispiel:
Berechnen Sie den Mittelwert und die Varianz der Zufallsvariablen S, die die Summe von n Abtastwerten ist, wenn eine Menge von N Personen, von denen jede eine Meinung zu einem bestimmten Thema hat, das durch eine reelle Zahl gemessen wird v das repräsentiert die „Stärke des Gefühls“ der Person in Bezug auf das Thema. Lassen repräsentieren die Stärke des Gefühls einer Person
die unbekannt ist, um Informationen zu sammeln, wird eine Stichprobe von n von N zufällig gezogen, diese n Personen werden befragt und ihr Gefühl wird eingeholt, um vi . zu berechnen
Lösung
definieren wir die Indikatorfunktion als
also können wir S ausdrücken als
und seine Erwartung als
dies ergibt die Varianz als
da
Wir haben
wir kennen die identität
so
der Mittelwert und die Varianz für die besagte Zufallsvariable sind also
Fazit:
Die Korrelation zwischen zwei Zufallsvariablen wird als Kovarianz definiert und mit der Kovarianz wird die Summe der Varianz für verschiedene Zufallsvariablen erhalten, die Kovarianz und verschiedene Momente mit Hilfe der Erwartungsdefinition erhalten, falls Sie weiterlesen möchten, gehen Sie durch
https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation
Ein erster Wahrscheinlichkeitskurs von Sheldon Ross
Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik
Eine Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik von ROHATGI und SALEH.
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