Durchbiegung des Strahls Vollständige Übersicht und wichtige Beziehungen

Inhalt: Durchbiegung des Strahls

• Definition der Ablenkungskurve
• Ablenkwinkeldefinition
• Ablenkungsdefinition
• Randbedingungen für die Strahlablenkung
• Beziehung zwischen Belastungskräften, Scherkraft, Biegemoment, Neigung und Durchbiegung
• Balkenbiegegleichungen und -beziehungen
• Balkenablenkungstabelle und Formeln für Standardlastfälle
• Strahlablenkung und Neigung mit Beispielen Fall I: Überhängender Balken
• Fall II: Bestimmen Sie die maximale Durchbiegung des einfach abgestützten Trägers mit Punktlast in der Mitte
• Fall III: Bestimmen Sie die maximale Durchbiegung eines einfach abgestützten Trägers mit einer konzentrierten Punktlast in einem Abstand 'a' vom Träger A.
• Doppelte Integrationsmethode
• Verfahren für die doppelte Integrationsmethode
• Doppelte Integrationsmethode zum Auffinden der Strahlablenkung unter Verwendung von Beispiel a Kragträger mit gleichmäßig verteilter Last
• Doppelte Integrationsmethode für dreieckiges Laden

In Ingenieurwesen, Ablenkung ist der Grad, in dem ein Strukturelement unter einer Last verschoben wird (aufgrund seiner Verformung). Es kann sich auf einen Winkel oder eine Entfernung beziehen. Der Auslenkungsabstand eines Elements unter einer Last kann berechnet werden, indem die Funktion integriert wird, die die Steigung der ausgelenkten Form des Elements unter dieser Last mathematisch beschreibt. Es gibt Standardformeln für die Ablenkung gängiger Strahlkonfigurationen und Lastfälle an diskreten Stellen. Andernfalls werden Methoden wie virtuelle Arbeit, direkte Integration, Castiglianos Methode, Macaulays Methode oder die direkte Steifheitsmethode verwendet.

Durchbiegungskurve

Wenn Balken durch seitliche oder longitudinale Belastungen belastet werden, wird die anfängliche gerade longitudinale Achse in eine Kurve verformt, die als elastische Kurve oder Durchbiegungskurve des Balkens bekannt ist. Die Ablenkungskurve ist die deformierte Achse des ausgewählten Strahls.

Ablenkwinkel

Die Neigung kann als der Winkel zwischen der Längsachse des Trägers und der Tangente definiert werden, die an jeder gewünschten Stelle zur Verformungskurve des Trägers konstruiert wurde. Dies ist der Drehwinkel der neutralen Achse des Strahls. Es wird im Bogenmaß gemessen.

Ablenkung

Die Ablenkung ist die Verschiebung oder Verschiebung eines beliebigen Punktes auf der Achse des Strahls, gemessen in y-Richtung von der anfänglichen geraden Längsachse zum Punkt auf der Ablenkungskurve des Strahls. Es wird in mm gemessen. Die Durchbiegung repräsentiert die Abweichung der geraden Längsachse aufgrund der Querbelastung. Im Gegensatz dazu repräsentiert das Knicken des Trägers die Abweichung der anfänglichen geraden Längsachse aufgrund der axialen Druckbelastung. Es wird normalerweise dargestellt durch 'y '

Wenn sich der Balken wie ein Kreisbogen biegt, spricht man von einer Kreisbiegung. Andernfalls wird es als nicht kreisförmiges Biegen bezeichnet. Angenommen, ein prismatischer Träger ist einem variablen Biegemoment ausgesetzt. In diesem Fall führt dies zu einer nicht kreisförmigen Biegung, und wenn es einem konstanten Biegemoment ausgesetzt wird, führt dies zu einer kreisförmigen Biegung des Trägers.

Randbedingungen für die Strahlablenkung

1. y ist an einem Stift- oder Rollenträger Null.
2. y ist bei einer eingebauten oder freitragenden Unterstützung Null.
3. Angenommen, das Biegemoment und die Biegesteifigkeit sind diskontinuierliche Funktionen des x. In diesem Fall kann keine einzelne Differentialgleichung für den gesamten Strahl geschrieben werden. Die Gleichungen der Kurve für zwei benachbarte Segmente sollten die beiden angegebenen Bedingungen an der Verbindungsstelle zwischen den Segmenten erfüllen:

• 1. Das y für den linken Abschnitt muss gleich dem y für den rechten Abschnitt sein.
• 2. Die Steigung für den linken Abschnitt muss gleich der Steigung für den rechten Abschnitt sein.

Beziehung zwischen Belastungskräften, Scherkraft, Biegemoment, Neigung und Durchbiegung

Betrachten Sie einen Horizontalbalken AB im unbelasteten Zustand. Wenn AB unter der Last auslenkt, ist die neue Position A'B '. Die Steigung an jedem Punkt C wird sein

i=\\frac{dy}{dx}

Normalerweise ist die Durchbiegung minimal und für einen kleinen Krümmungsradius

ds=dx=Rdi \\\\\\frac{di}{dx}=1/R

Aber\\;i=\\frac{dy}{dx}

Somit

\\frac{d^2 y}{ dx^2}=1/R  

Nach der einfachen Biegemomenttheorie

\\frac{M}{I}=\\frac{E}{R}

\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI}

Somit

\\frac{d^2 y}{dx^2}=\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI}

Woher,

E = Elastizitätsmodul des Materials

I = Flächenträgheitsmoment

M = maximales Moment

R = Krümmungsradius des Strahls

Dies ist die grundlegende Differentialgleichung für die Ablenkung des Strahls.

Balkenbiegegleichungen und -beziehungen

Durchbiegung = y

Steigung = \\frac{dy}{dx}

Biegemoment =EI\\frac{d^2y}{dx^2}

Scheren\\; Kraft = EI\\frac{d^3y}{dx^3}

Lastverteilung =EI\\frac{d^4y}{dx^4}

Balkenablenkungstabelle und Formeln für Standardlastfälle:

• Die maximale Neigung und Durchbiegung in einem Ausleger tritt am freien Ende des Trägers auf, während am geklemmten Ende eines Auslegers keine Neigung oder Durchbiegung beobachtet wird.
•  Bei einem einfach abgestützten Träger mit symmetrischen Belastungsbedingungen liegt die maximale Durchbiegung in der Mitte der Spannweite. Die maximale Neigung kann an den Trägern des Trägers beobachtet werden. Die maximale Auslenkung tritt auf, wenn die Steigung Null ist.

Strahlablenkung und Neigung mit Beispielen

Fall I: Überhängender Balken

Man betrachte einen überhängenden Stahlträger, der am Ende C eine konzentrierte Last P = 50 kN trägt.

Für den überhängenden Balken (a) bestimmen Sie die Neigung und die maximale Auslenkung, (b) bewerten Sie die Neigung in 7 m Entfernung von A und die maximale Auslenkung anhand der angegebenen Daten I = 722 cm² E = 210 GPa.

Lösung: Das Freikörperdiagramm für den gegebenen Strahl ist

Der Wert der Reaktion bei A und B kann unter Anwendung von Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden

\\sum F_y=0\\;\\sum M_A=0

Für das vertikale Gleichgewicht gilt F_y = 0

R_A + R_B = P.

Nehmen Sie einen Moment um A, den Moment im Uhrzeigersinn positiv und den Moment gegen den Uhrzeigersinn negativ.

P(L+a)-R_B*L=0 \\\\R_B=P(1+a/L)

Somit

R_A+P(1+\\frac{a}{L})=P

R_A= \\frac{-Pa}{L}

Betrachten Sie einen Abschnitt AD in einem Abstand x von der Stütze A.

Der Moment bei Punkt D ist

M= \\frac{-Pa}{L x}

Unter Verwendung der Differentialgleichung der Kurve,

EI \\frac{d^2 y}{dx^2}= \\frac{-Pa}{L x}

Wenn wir zweimal integrieren, bekommen wir

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+C_1……………..[1]

EIy=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x^3+C_1x+C_2……………..[2]

Wir finden die Integrationskonstanten unter Verwendung der uns zur Verfügung stehenden Randbedingungen

Bei x = 0 ist y = 0; aus Gleichung [2] erhalten wir,

C_2 = 0

Bei x = L ist y = 0; aus Gleichung [2] erhalten wir,

0=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }*L^3+C_1*L+0

C_1= \\frac{PaL}{6}

Somit ergibt sich die Steigungsgleichung, die man durch Einsetzen der Werte von C erhält₁ und C₂ in 1]

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}…………….. [3]

Somit wird die so erhaltene Ablenkungsgleichung durch Ersetzen der Werte von C erhalten₁ und C₂ in 2]

EIy=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x^3+\\frac{PaL}{6}x……………..[4]

Die maximale Auslenkung erfolgt, wenn die Steigung Null ist. Der Ort des Punktes der maximalen Auslenkung ergibt sich somit aus [3]:

0= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}

 \\frac{1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2=\\frac{PaL}{6}

x_m=\\frac{L}{\\sqrt 3}

x_m = 0.577 l

Setzen Sie den Wert von x in Gleichung [4].

EIy_{max}=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x_m^3+\\frac{PaL}{6}x_m

EIy_{max}=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }*0.577 L^3+\\frac{PaL}{6}*0.577 L

y_{max}=0.064\\frac{Pal^2}{EI}

Bewerten Sie die Neigung in 7 m Entfernung von A anhand der angegebenen Daten:

 I = 722 \\;cm^4=72210^{-8}\\; m^4 , E = 210\\; GPa = 210*10^9\\; Pa

Unter Verwendung von Gleichung [3]

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2}  \\frac{50*10^3*4}{15 }*7^2+\\frac{50*10^3*4*15}{6}

\\frac{dy}{dx}=0.5452 \\;Bogenmaß

maximale Auslenkung im Strahl kann gegeben sein durch

y_{max}=0.064\\frac{Pal^2}{EI}

y_{max}=0.064\\frac{50*10^3*4*15^2}{210*10^9*722*10^{-8}}

y_{max}=1.89 \\;m

Fall II: Bestimmen Sie die maximale Durchbiegung des einfach abgestützten Trägers mit Punktlast in der Mitte.

Betrachten Sie einen einfach gehaltenen Stahlträger, der am Punkt C eine konzentrierte Last F = 50 kN trägt. Für den einfach abgestützten Träger (a) bewerten Sie die Neigung bei A und die maximale Durchbiegung anhand der angegebenen Daten: ich = 722 cm⁴ E = 210 GPa, L = 15 m

Die folgende Abbildung zeigt die FBD für einen einfach unterstützten Träger mit Punktlast.

Nach Standardrelationen und Formel

Die Neigung am Ende des Balkens kann durch gegeben sein

\\frac{dy}{dx}=\\frac{FL^2}{16EI}

\\frac{dy}{dx}=\\frac{50*10^3*15^2}{16*210*10^9*722*10^{-8}}

\\frac{dy}{dx}=0.463

Für einen einfach gehaltenen Balken mit einer in der Mitte wirkenden Punktlast kann die maximale Durchbiegung durch bestimmt werden

y_{max}=\\frac{FL^3}{48EI }

y_{max}=\\frac{50*10^3*15^3}{48*210*10^9*722*10^{-8} }

y_{max}=2.31 \\;m

Fall III: Für einfach abgestützten Träger mit konzentrierter Punktlast in einem Abstand von Träger A.

Stellen Sie sich einen einfach abgestützten Stahlträger vor, der am Punkt C eine konzentrierte Last F = 50 kN trägt. Bewerten Sie für den einfach abgestützten Träger (a) die Neigung bei A und B und die maximale Durchbiegung anhand der angegebenen Daten: ich = 722 cm⁴ E = 210 GPa, L = 15 m, a = 7 m, b = 13 m

Die folgende Abbildung zeigt die FBD für einen einfach unterstützten Träger mit Punktlast.

Nach Standardrelationen und Formel

Die Neigung am Träger A des Trägers kann durch gegeben sein

\\theta_1=\\frac{Fb(L^2-b^2)}{6LEI}

\\theta_1=\\frac{50*10^3*13*(20^2-13^2)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}

\\theta_1=0.825 \\;Bogenmaß 

Die Steigung am Träger B des Trägers kann gegeben sein durch

\\theta_2=\\frac{Fab(2L-b)}{6LEI}

\\theta_2=\\frac{50*10^3*7*13*(2*20-13)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}

\\theta_2=0.675 \\;Bogenmaß

Für einen einfach gehaltenen Balken mit einer in der Mitte wirkenden Punktlast kann die maximale Durchbiegung durch bestimmt werden

y_{max}=\\frac{50*10^3*13}{48*210*10^9*722*10^{-8} }*(3*15^2-4*13^2)

y_{max}=-8.93*10^{-3}\\; m=-8.93\\;mm

Doppelte Integrationsmethode

Wenn die Biegesteifigkeit EI konstant ist und das Moment die Funktion des Abstands x ist, Integration von EI (d² y) / (dx² ) = M ergibt Steigung

EI \\frac{dy}{dx}=\\int M dx+C_1

EIy=\\int \\int Mdxdx+C_1x+C_2

wo C₁ und C₂ sind Konstanten. Sie werden unter Verwendung der Randbedingungen oder anderer Bedingungen auf dem Strahl bestimmt. Die obige Gleichung gibt die Ablenkung y als Funktion von x an; es wird die Elastizitäts- oder Verformungskurvengleichung genannt.

Das obige Analyseverfahren der Ablenkung und Neigung des Strahls ist als Doppelintegrationsverfahren zur Berechnung der Strahlablenkung bekannt. Wenn das Biegemoment und die Biegesteifigkeit kontinuierliche Funktionen des x sind, kann eine einzelne Differentialgleichung für den gesamten Träger notiert werden. Für einen statisch bestimmten Strahl gibt es zwei Stützreaktionen; Jedes legt einen bestimmten Satz von Einschränkungen für die Steigung der elastischen Kurve fest. Diese Einschränkungen werden als Randbedingungen bezeichnet und zur Bestimmung der beiden Integrationskonstanten verwendet.

Randbedingungen der Doppelintegrationsmethode

1. y ist an einem Stift- oder Rollenträger Null.
2. y ist bei einer eingebauten oder freitragenden Unterstützung Null.
3. Angenommen, das Biegemoment und die Biegesteifigkeit sind diskontinuierliche Funktionen des x. In diesem Fall kann keine einzelne Differentialgleichung für den gesamten Strahl geschrieben werden. Die Gleichungen der Kurve für zwei benachbarte Segmente sollten die beiden angegebenen Bedingungen an der Verbindungsstelle zwischen den Segmenten erfüllen:

• 1. Das y für den linken Abschnitt muss gleich dem y für den rechten Abschnitt sein.
• 2. Die Steigung für den linken Abschnitt muss gleich der Steigung für den rechten Abschnitt sein.

Verfahren für die doppelte Integrationsmethode

• Zeichnen Sie die elastische Kurve für den Balken und berücksichtigen Sie alle erforderlichen Randbedingungen, z y ist Null an einer Stift- oder Rollenhalterung und y ist Null bei einer eingebauten oder freitragenden Unterstützung.
• Bestimmen Sie das Biegemoment M in einem beliebigen Abstand x vom Träger nach der Schnittmethode. Verwenden Sie geeignete Biegemomentregeln, während Sie Moment M für ein diskontinuierliches Moment finden. Die Gleichungen der Kurve für zwei benachbarte Segmente sollten die angegebenen zwei Bedingungen an der Verbindungsstelle zwischen den Segmenten erfüllen: 1. Die y für den linken Abschnitt muss gleich sein y für den rechten Abschnitt. 2. Die Neigung für den linken Abschnitt muss gleich der Neigung für den rechten Abschnitt sein.
• Integrieren Sie die Gleichung zweimal, um die Steigung und Durchbiegung zu erhalten, und vergessen Sie nicht, die konstante Integration für jeden Abschnitt unter Verwendung der Randbedingungen zu ermitteln.

Beispiele für ein Doppelintegrationsverfahren zum Auffinden der Strahlablenkung

Betrachten Sie den in der folgenden Abbildung gezeigten Ausleger mit der Länge L mit gleichmäßig verteilter Last. In einem Cantilever-Balken ist ein Ende fixiert, während sich ein anderes Ende frei bewegen kann. Wir werden die Gleichung für Steigung und Biegemoment für diesen Balken unter Verwendung der Doppelintegrationsmethode ableiten.

Das im Abstand x vom linken Ende wirkende Biegemoment kann erhalten werden als:

M=-wx* \\frac{x}{2}

Unter Verwendung der Differentialgleichung der Kurve,

\\frac{d^2y}{dx^2}=M = \\frac{-wx^2}{2}

Integrieren, sobald wir bekommen,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+C_1………..[1]

Integrierende Gleichung [1] erhalten wir,

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]

Die Konstanten von Integrationen können unter Verwendung der Randbedingungen erhalten werden,

Bei x = L ist dy / dx = 0; da die Unterstützung bei A Bewegungen widersteht. Aus Gleichung [1] erhalten wir also:

C_1=\\frac{wL^3}{6}

Bei x = L, y = 0, keine Auslenkung am Träger oder am festen Ende A. Aus Gleichung [2] erhalten wir also:

0= \\frac{-wL^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} *L+C_2

C_2= \\frac{-wL^4}{8}

 Wenn wir den Wert der Konstanten in [1] und [2] einsetzen, erhalten wir neue Gleichungssätze als

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}………..[3]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}……..[4]

Bewertung der Neigung bei x = 12 m und der maximalen Auslenkung anhand der angegebenen Daten: ich = 722 cm⁴ E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Aus den obigen Gleichungen: bei x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-20*12^3}{6}+\\frac{20*20^3}{6}

\\frac{dy}{dx}=0.01378 \\;Bogenmaß

Aus Gleichung [4]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}

210*10^9*722*10^{-8}*y= \\frac{-20*12^4}{24}+\\frac{20*20^3}{6} -\\frac{20*20^4}{8}

y=-0.064 \\;m

Doppelte Integrationsmethode für dreieckiges Laden

Betrachten Sie den in der folgenden Abbildung gezeigten einfach unterstützten Träger der Länge L mit dreieckiger Belastung. Wir werden die Gleichung für Steigung und Biegemoment für diesen Balken unter Verwendung der Doppelintegrationsmethode ableiten.

Da die Belastung symmetrisch ist, trägt jede Trägerreaktion die Hälfte der Gesamtbelastung. Die Reaktion bei A und B beträgt wL / 4.

Moment an einem beliebigen Punkt in einem Abstand x von R._A is

M=\\frac{wL}{4} x- \\frac{wx^2}{L}\\frac{x}{3}=\\frac{w}{12L} (3L^2 x-4x ^3 ) 

 \\frac{d^2 y}{dx^2}=M=\\frac{w}{12L} (3L^2 x-4x^3 ) 

Durch zweimaliges Integrieren erhalten wir die Gleichungen.

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+C_1...........................[1]

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2x^3}{2}-\\frac{x^5}{5})+C_1 x+C_2……..[2]

Bei x = 0 ist y = 0; aus Gleichung [2] erhalten wir,

C_2 = 0

Aufgrund der Lastsymmetrie ist die Steigung in der Mitte der Spannweite Null. Somit ist dy / dx = 0 bei x = L / 2

0=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2*L^2}{2*4}-(L^4/16))+C_1

C_1=\\frac{-5wL^3}{192}

Wenn wir den Konstantenwert in [1] und [2] einsetzen, erhalten wir:

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\\frac{-5wL^3}{192}...........................[3]

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2x^3}{2}-\\frac{x^5}{5})+\\frac{-5wL^3}{192} x……..[4]

Die maximale Ablenkung wird in der Mitte des Strahls beobachtet. dh bei L / 2

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2(L/2)^3}{2}-\\frac{(L/2)^5}{5})+\\frac{-5wL^3}{192}(L/2)

EIy_{max}=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^5}{16}-\\frac{L^5}{160})+\\frac{-5wL^4}{384}

EIy_{max}=\\frac{-wL^4}{120}

Bewerten Sie die Steigung bei x = 12 m und den Maximalwert von y anhand der angegebenen Daten: ich = 722 cm⁴ E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Aus den obigen Gleichungen: bei x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\\frac{-5wL^3}{192}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}=\\frac{20}{12*20}(\\frac{3*20^2*12^2}{2}-12^4)+\\frac{-5*20*20^3}{192}

\\frac{dy}{dx}=8.60*10^{-4 } \\;Bogenmaß

Aus Gleichung [4]

EIy_{max}=\\frac{-wL^4}{120}

210*10^9*722*10^{-8}*y=\\frac{-20*20^4}{120}

y=-0.01758\\;m

Wissen über die Festigkeit des Materials (Klicke hier)und Moment Area Methode Hier geht es weiter..

Hakimuddin Bawangaonwala

Ich bin Hakimuddin Bawangaonwala, ein Maschinenbauingenieur mit Fachkenntnissen in mechanischem Design und Entwicklung. Ich habe einen M. Tech in Design Engineering abgeschlossen und verfüge über 2.5 Jahre Forschungserfahrung. Bisher wurden zwei Forschungsarbeiten zum Thema Hartdrehen und Finite-Elemente-Analyse von Vorrichtungen zur Wärmebehandlung veröffentlicht. Mein Interessengebiet ist Maschinendesign, Materialfestigkeit, Wärmeübertragung, Wärmetechnik usw. Ich beherrsche CATIA- und ANSYS-Software für CAD und CAE. Abgesehen von der Forschung.