Diskrete Zufallsvariable und mathematische Erwartung

Normalerweise sind wir nicht an allen möglichen Ergebnissen eines zufälligen oder nicht zufälligen Experiments interessiert, sondern an einer Wahrscheinlichkeit oder einem numerischen Wert für die günstigen Ereignisse. Nehmen wir zum Beispiel an, wir werfen zwei Würfel für die Summe als 8, dann sind wir es nicht interessiert am Ergebnis als erster Würfel mit 2 zweiten Würfeln als 6 oder (3,5), (5,3), (4,4), (6,2) usw. Ebenso sind wir für das zufällige Experimentieren des Reservoirs im täglichen Leben nicht an der täglichen Zunahme oder Abnahme des Wasserspiegels interessiert, sondern nur an der Regenzeit des Wasserspiegels nach Fertigstellung.

Solche numerischen Größen, an denen wir interessiert sind, werden als Zufallsvariable des jeweiligen Zufallsexperiments betrachtet. Zu diesem Zweck ordnen wir den Ergebnissen des Zufallsexperiments die möglichen reellen Werte numerisch zu. Zur Veranschaulichung der Zuweisung eines numerischen Werts zum Ergebnis betrachten wir das Experiment des Werfens einer Münze. Wir weisen den numerischen Wert 0 und 1 für Kopf und Spur im Probenraum des zufälligen Experiments zu. 

Diskrete Zufallsvariable

Diskrete Zufallsvariable kann als Zufallsvariable definiert werden, deren Anzahl endlich oder zählbar unendlich ist, und diejenigen, die nicht endlich oder zählbar unendlich sind, sind nicht diskrete Zufallsvariablen. Für jedes Element des Probenraums, dem wir eine reelle Zahl zuweisen, kann dies als reelle Wertfunktion interpretiert werden, die mit X bezeichnet ist, dh X: S → R. Wir nennen diese Funktion eine Zufallsvariable oder eine stochastische Funktion, die eine physikalische, geometrische oder andere Bedeutung hat.

Beispiel: Betrachten Sie ein Experiment mit zwei Würfeln und nehmen Sie dann eine Zufallsvariable oder an stochastische Funktion stellen die Summe der auf den Würfeln erscheinenden Punkte dar, dann die möglichen Werte für den Probenraum

S={(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5) , (1,6) ,

          (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

          (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

        (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

        (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

        (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

wird X = 2 sein, für (1,1)

X = 3 für (1,2), (2,1) usw. aus dem Folgenden können wir leicht verstehen

In der obigen Tabelle geben die diagonalen Elemente von rechts nach links die Summe an, die durch die Zufallsvariable oder die stochastische Funktion ausgedrückt wird.

Die Wahrscheinlichkeit für die jeweilige Zufallsvariable kann wie folgt ausgedrückt werden

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Wahrscheinlichkeit der Zufallsvariablen, die diskreter Natur sind, insbesondere wenn x₁, X₂, X₃, X₄, ………., X._k sind die Werte von diskrete Zufallsvariable X dann P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄), ……… .P (x_k) sind die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Wahrscheinlichkeitsfunktion / Wahrscheinlichkeitsverteilung können wir als bezeichnen 

P (X = x) = f (x)

und nach der Definition der Wahrscheinlichkeit erfüllt diese Funktion die folgenden Bedingungen.

1. f (x) ≥0
2. Σ f (x) = 1, wobei diese Summe die Gesamtsumme für x ist.

Beispiel: Wenn eine Münze zweimal geworfen wird und die Anzahl der Spuren als Zufallsvariable X angegeben wird, ist dies der Fall 

Wenn wir die faire Münze nehmen, ist das Obige das Ergebnis für zweimaliges Werfen und die Wahrscheinlichkeit für eine solche Zufallsvariable ist

P (X = 0) = P (H, H) = 1/4

P (X=1) = P (TH oder HT) = P (TH ∪ HT) = P ( TH) + P ( HT)=1/4+1/4=1/2

und P ( X=2) = P (TT) =1/4

Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung können wir wie folgt tabellieren

Kumulative Verteilungsfunktion (cdf) / Verteilungsfunktion

Wir werden definieren Verteilungsfunktion or Verteilungsfunktion (cdf) für die mit F (x) bezeichnete diskrete Zufallsvariable X für-∞≤x≤∞ as

F (x) = P (X ≤ x)

Vorausgesetzt, es folgt

1. Für jedes x,y, x≤y, F(x) ≤ F(y), dh die kumulative Verteilungsfunktion F(x) ist nicht abnehmend.
2. F (x) = 0 und F (x) = 1
3. F (x + h) = F (x), ∀ x dh. Die kumulative Verteilungsfunktion F (x) ist rechts stetig.

Da für die diskrete Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit für X = x ist P (X = x) für x₁<X<x₂ wird P sein (x₁<X<x₂) und für X ≤ x ist P (X ≤ x).

Wir können die Verteilungsfunktion für die diskrete Verteilungsfunktion wie folgt schreiben

Wir können die Wahrscheinlichkeitsfunktion aus der Verteilungsfunktion als erhalten

P (X = x) = f (x) = F (x) -F (u)

Beispiel: Das Wahrscheinlichkeit für die diskrete Zufallsvariable ist wie folgt gegeben

Finden Sie F2, F5, F (7)?

Lösung:

Mathematische Erwartung 

   Mathematische Erwartung ist sehr wichtiges Konzept für die Wahrscheinlichkeitstheorie Aus statistischer Sicht wird er auch als Erwartungswert oder Erwartungswert bezeichnet. Er kann als Summe von Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeiten bei der Multiplikation definiert werden, z. B. wenn x₁, X₂, X₃, X₄, ……… .x_n sind die Werte der diskreten Zufallsvariablen X dann P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄),……….P(xn) sind dann die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten mathematische Erwartung der Zufallsvariablen X bezeichnet durch E(x) als

Beispiel: Ermitteln Sie aus einem Pack von 72 Karten mit den Nummern 1 bis 72 zu einem Zeitpunkt, an dem 8 Karten gezogen werden, den erwarteten Wert der Summe der Zahlen auf den gezogenen Tickets.

Lösung:. Betrachten Sie die Zufallsvariablen x₁, X₂, X₃, X₄, ……… .x_n Darstellen der Karten mit den Nummern 1, 2, 3, 4, ………, 72

Die Wahrscheinlichkeit eines x von 72 Karten ist also 

P (x_i) = 1 / n = 1/72

seitdem wird die Erwartung sein

E (x) = x₁(1 / n) + x₂(1 / n) + x₃(1 / n) + …………… + x_n(1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

Nun wird der erwartete Wert für 8 solcher Karten sein 

E (x) = x₁(1 / n) + x₂(1 / n) + x₃(1 / n) + …………… + x₈(1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

Unterschied, Standardabweichung und Mittlere Abweichung durch mathematische Erwartung

Das wichtige Begriffe der Statistik Standardabweichung und Unterschied wir können in mathematischen Erwartungen ausdrücken, wenn also die Zufallsvariablen x₁, X₂, X₃, X₄, ……… .x_n mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄), ……… .P (x_n) dann wird die Varianz sein

Beispiel: In einem Spiel, wenn ein fairer Würfel verwendet wird und der Spieler gewinnt, wenn ein ungerader Wert auf Würfel kommt und das Preisgeld Rs 20 erhält, wenn 1 kommt, Rs 40 für 3 und Rs 60 für 5 und wenn irgendein anderes Gesicht des Würfels kam Rs 10 Verlust für den Spieler. Finden Sie das erwartete Geld, das mit Varianz und Standardabweichung gewonnen werden kann.

Lösung:

Für die fairen Würfel kennen wir die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten,

Sei X die Zufallsvariable für die Würfelumwandlung gemäß der Spielanforderung Geld gewonnen oder verloren, wenn das Gesicht wie folgt kam:

Der erwartete Betrag, den ein Spieler gewinnt, ist also

  E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

Der erwartete Gewinn eines Spielers wäre also μ = 15

Das Ergebnis der mathematischen Erwartung sowie der Varianz kann je nach Anforderung für mehr als zwei Variablen verallgemeinert werden.

Fazit:

   In diesem Artikel haben wir hauptsächlich die diskrete Zufallsvariable, die Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Verteilungsfunktion besprochen, die als cdf-kumulative Verteilungsfunktion bekannt ist, auch das Konzept von Mathematische Erwartung für diskrete Zufallsvariable und was die mittlere Abweichung, Varianz und Standardabweichung für eine solche diskrete Zufallsvariable wäre, wird anhand geeigneter Beispiele im nächsten Artikel erläutert. Wir werden dasselbe für kontinuierliche Zufallsvariablen diskutieren. Wenn Sie weiterlesen möchten, gehen Sie durch:

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Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ich bin Dr. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ich habe meinen Ph.D. abgeschlossen. in Mathematik und arbeitet als Assistenzprofessor für Mathematik. Verfügt über 12 Jahre Erfahrung im Unterrichten. Verfügt über umfangreiche Kenntnisse in reiner Mathematik, insbesondere in Algebra. Sie verfügen über die immense Fähigkeit, Probleme zu entwerfen und zu lösen. Kann Kandidaten motivieren, ihre Leistung zu steigern.
Ich liebe es, zu Lambdageeks beizutragen, um Mathematik sowohl für Anfänger als auch für Experten einfach, interessant und selbsterklärend zu machen.