Exponentialfamilie der Gammaverteilung: 21 wichtige Fakten


Inhalt

  1. Spezielle Form von Gammaverteilungen und Beziehungen der Gammaverteilung
  2. Exponentialfamilie der Gammaverteilung
  3. Beziehung zwischen Gamma und Normalverteilung
  4. Poisson-Gammaverteilung | Poisson-Gamma-Verteilung negatives Binomial
  5. Weibull-Gammaverteilung
  6. Anwendung der Gammaverteilung im wirklichen Leben Gammaverteilung verwendet | Anwendung der Gammaverteilung in der Statistik 
  7. Beta-Gamma-Verteilung | Beziehung zwischen Gamma- und Beta-Verteilung
  8. Bivariate Gammaverteilung
  9. Doppelte Gammaverteilung
  10. Beziehung zwischen Gamma und Exponentialverteilung Exponential- und Gammaverteilung Gamma-Exponentialverteilung
  11. Passen Sie die Gammaverteilung an
  12. Verschobene Gammaverteilung
  13. Verkürzte Gammaverteilung
  14. Überlebensfunktion der Gammaverteilung
  15. MLE der Gammaverteilung maximale Wahrscheinlichkeit Gammaverteilung | Wahrscheinlichkeitsfunktion der Gammaverteilung
  16. Schätzmethode für Gammaverteilungsparameter von Momenten | Methode der Momentenschätzung Gammaverteilung
  17. Konfidenzintervall für die Gammaverteilung
  18. Gammaverteilungskonjugat vor für Exponentialverteilung | Gamma-Vorverteilung | posteriore Verteilung Poisson Gamma
  19. Quantilfunktion der Gammaverteilung
  20. Verallgemeinerte Gammaverteilung
  21. Beta generalisierte Gammaverteilung

Spezielle Form von Gammaverteilungen und Beziehungen der Gammaverteilung

  In diesem Artikel werden wir die speziellen Formen der Gammaverteilung und die Beziehungen der Gammaverteilung mit verschiedenen kontinuierlichen und diskreten Zufallsvariablen diskutieren. Außerdem werden einige Schätzmethoden bei der Stichprobe von Populationen unter Verwendung der Gammaverteilung kurz diskutiert.

Exponentialfamilie der Gammaverteilung

  Die Exponentialfamilie der Gammaverteilung und die Exponentialfamilie mit zwei Parametern sind weitgehend und anwendbar, da die meisten Probleme des realen Lebens in der Exponentialfamilie der Gammaverteilung modelliert werden können und die schnelle und nützliche Berechnung innerhalb der Exponentialfamilie einfach durchgeführt werden kann. in den beiden Parametern, wenn wir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion als nehmen

[latex]\frac{e^{-\lambda /x}x^{\alpha -1}}{\lambda ^{\alpha }\Gamma (\alpha )}I_{x}> 0[/latex]

Wenn wir den bekannten Wert von α (alpha) einschränken, wird diese Familie mit zwei Parametern auf eine Exponentialfamilie mit Parametern reduziert

[latex]f(x/\lambda )=e^{-\lambda /x}-a \ \ log\lambda \frac{x^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha) }I_{x }> 0[/latex]

und für λ (Lambda)

[latex]f(x|\alpha )=e^{\alpha logx -a(log\lambda)}- log{\Gamma(\alpha) } e^{-\frac{x}{\lambda }}I_ {x}> 0[/latex]

Beziehung zwischen Gamma und Normalverteilung

  Wenn wir in der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gammaverteilung Alpha näher an 50 bringen, erhalten wir die Art der Dichtefunktion als

Exponentialfamilie der Gammaverteilung
Exponentialfamilie der Gammaverteilung

Selbst der Formparameter in der Gammaverteilung nimmt zu, was zu einer Ähnlichkeit der Normalkurve der Normalverteilung führt. Wenn wir den Formparameter Alpha gegen unendlich tendieren, ist die Gammaverteilung symmetrischer und normaler, aber da Alpha gegen den Unendlichkeitswert von x in Gamma tendiert Die Verteilung tendiert dazu, unendlich zu minus, was zu einer semi-unendlichen Unterstützung der unendlichen Gammaverteilung führt, daher wird sogar die Gammaverteilung symmetrisch, aber nicht gleich mit der Normalverteilung.

Poisson-Gamma-Verteilung Poisson-Gamma-Verteilung negatives Binomial

   Die Poisson-Gamma-Verteilung und die Binomialverteilung sind die diskrete Zufallsvariable, deren Zufallsvariable sich mit den diskreten Werten befasst, insbesondere Erfolg und Misserfolg in Form von Bernoulli-Versuchen, die nur als Ergebnis zufälligen Erfolg oder Misserfolg ergeben, jetzt auch die Mischung aus Poisson- und Gamma-Verteilung bekannt als negative Binomialverteilung ist das Ergebnis des wiederholten Versuchs von Bernoullis Versuch, dieser kann auf unterschiedliche Weise parametrisiert werden, als ob der r-te Erfolg in der Anzahl von Versuchen auftritt, dann kann er als parametrisiert werden

[latex]P(X_{1}=x|p,r)=\binom{x-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{xr}[/latex]

und wenn die Anzahl der Fehler vor dem r-ten Erfolg ist, kann sie als parametrisiert werden

[latex]P(X_{2}=x|p,r)=\binom{x+r-1}{x}p^{r}(1-p)^{x}[/latex]

und unter Berücksichtigung der Werte von r und p

[latex]r=\frac{\mu^{2}}{\sigma ^{2}-\mu}[/latex]

[latex]p=\frac{r}{r+\mu}[/latex]

Die allgemeine Form der Parametrisierung für die negative Binomial- oder Poisson-Gammaverteilung ist

[latex]P(X=x)=\binom{x+r-1}{x}p^{r}(1-p)^{x} \ \ x=0,1,2,…[/latex ]

und alternativ ist

[latex]P(X=x)=\binom{x+r-1}{x} \left ( \frac{\alpha }{\alpha +1} \right )^{r} \left ( \frac{ 1}{\alpha +1} \right )^{x} \ \ x=0,1,2,…[/latex]

Diese Binomialverteilung wird aufgrund des Koeffizienten als negativ bezeichnet

[latex]\binom{x+r-1}{x} =\frac{(x+r-1)(x+r-2)….r}{x!} \ = (-1)^{x }\frac{(-r-(x-1))(-r-(x-2))…..(-r)}{x!} \ = (-1)^{x}\frac{( -r)(-r-1)…. -r-(x-1))}{x!} \ =(-1)^{x}\binom{-r}{x}[/latex]

und diese negative Binomial- oder Poisson-Gamma-Verteilung ist gut definiert als die Gesamtwahrscheinlichkeit, die wir als eine für diese Verteilung erhalten werden

[latex]1=p^{r}p^{-r} \ =p^{r}(1-q)^{-r} \ =p^{r} \sum_{0}^{\infty} \binom{-r}{x}(-q)^{x} \ =p^{r} \sum_{0}^{\infty} (-1)^{x} \binom{-r}{x }(q)^{x} \ =\sum_{0}^{\infty} \binom{x+r-1}{x}p^{r}q^{x} \[/latex]

Der Mittelwert und die Varianz für diese negative Binomial- oder Poisson-Gammaverteilung sind

[latex]E(X)=\frac{r(1-p)}{p}[/latex]

[latex]var(X)=\frac{r(1-p)}{p^{2}}[/latex]

Die Poisson- und Gamma-Beziehung können wir durch die folgende Berechnung erhalten

[latex]P(X=x)=\frac{1}{\Gamma (\alpha) \beta ^{\alpha }}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda } \lambda ^{x}}{x!}\lambda ^{\alpha -1}e^{-\lambda /\beta } d\lambda[/latex]

[latex]=\frac{1}{x!\Gamma (\alpha)\beta ^{\alpha }}\int_{0}^{\infty}\lambda ^{\alpha +x-1}e^{ -\lambda (1+1/\beta )}d\lambda[/latex]

[latex]=\frac{1}{\Gamma (x+1)\Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }} \Gamma (\alpha +x)\left ( \frac{\beta }{\ beta +1} \right )^{\alpha +x}[/latex]

[latex]=\binom{\alpha +x-1}{x}\left ( \frac{1}{\beta +1} \right )^{\alpha } \left ( 1-\frac{1}{ \beta +1} \right )^{x}[/latex]

Somit ist ein negatives Binom die Mischung aus Poisson- und Gammaverteilung, und diese Verteilung wird bei alltäglichen Modellierungsproblemen verwendet, bei denen eine diskrete und kontinuierliche Mischung erforderlich ist.

Exponentialfamilie der Gammaverteilung
Exponentialfamilie der Gammaverteilung

Weibull-Gammaverteilung

   Es gibt eine Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, die sowohl die Weibull- als auch die Gammaverteilung umfasst, da die Weibull-Verteilung die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion als hat

[latex]f(x) = \begin{cases} \ 0 & x \leq v \ \\ \frac{\beta }{\alpha}\left ( \frac{xv}{\alpha } \right )^{ \beta -1} exp{{ -\left ( \frac{xv}{\alpha } \right )^{\beta }}} &\ x > v \end{cases}[/latex]

und kumulative Verteilungsfunktion als

[latex]F(x) = \begin{cases} \ 0 &\ x \leq v \\ \ 1- exp { -\left ( \frac{xv}{\alpha } \right )^{\beta } } & \ x > v \end{cases}[/latex]

Wo, wie oben bereits erwähnt, PDF und cdf der Gammaverteilung sind, besteht die Hauptverbindung zwischen Weibull und Gammaverteilung darin, dass beide die Verallgemeinerung der Exponentialverteilung sind. Der Unterschied zwischen ihnen besteht darin, dass die Potenz der Variablen größer als eins ist und die Weibull-Verteilung ein schnelles Ergebnis liefert, während für weniger als 1 Gamma ergibt ein schnelles Ergebnis.

     Wir werden hier nicht auf die verallgemeinerte Weibull-Gammaverteilung eingehen, die eine separate Diskussion erfordert.

Anwendung der Gammaverteilung im wirklichen Leben Gammaverteilung verwendet | Anwendung der Gammaverteilung in der Statistik 

  Es gibt eine Reihe von Anwendungen, bei denen die Gammaverteilung verwendet wird, um die Situation zu modellieren, wie z. B. Versicherungsansprüche auf Aggregation, Regenmengenakkumulation, für jedes Produkt, dessen Herstellung und Vertrieb, die Menge auf bestimmten Websites und in Telekommunikationsbörsen usw. Tatsächlich gibt die Gammaverteilung an die Wartezeit Prognose bis zum nächsten Ereignis für das n-te Ereignis. Es gibt eine Reihe von Anwendungen der Gammaverteilung im wirklichen Leben.

Beta-Gamma-Verteilung | Beziehung zwischen Gamma- und Beta-Verteilung

    Die Beta-Verteilung ist die Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

[latex]f(x) = \begin{cases} \ \frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1} &\ 0< x < 1 \\ \ 0 &\ sonst \end{cases}[/latex]

woher

[latex]B(a,b)= \int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1} dx[/latex]

welches die Beziehung zur Gammafunktion hat als

[latex]B(a,b)= \frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}[/latex]

und Beta-Verteilung bezogen auf Gamma-Verteilung, als ob X Gamma-Verteilung mit Parameter Alpha und Beta als Eins und Y die Gamma-Verteilung mit Parameter Alpha als Eins und Beta ist, dann ist die Zufallsvariable X / (X + Y) Beta-Verteilung.

oder Wenn X Gamma (α, 1) und Y Gamma (1, β) ist, dann ist die Zufallsvariable X / (X + Y) Beta (α, β) 

und

[latex]\mathbf{\lim_{n \to \infty} nB(k,n) =\Gamma (k,1)}[/latex]

bivariate Gammaverteilung

     Eine zweidimensionale oder bivariate Zufallsvariable ist stetig, wenn eine Funktion f (x, y) existiert, so dass die gemeinsame Verteilungsfunktion

[latex]F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\left [ \int_{-\infty}^{y}f(u,v) dv \right ]du[/latex]

woher

[latex]F(+\infty,+\infty)=\lim_{x \to +\infty, y \to +\infty } \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^ {y} f(u,v)dvdu[/latex]

[latex]= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(u,v)dvdu =1[/latex]

und die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, erhalten durch

[latex]\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y }= f(x,y)[/latex]

Es gibt eine Anzahl von bivariaten Gammaverteilungen. Eine davon ist die bivariate Gammaverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion als

[latex]f(x,y)=\frac{\beta ^{\alpha +\gamma }}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\gamma )}x^{\alpha -1}(yx)^ {\gamma -1}e^{-\beta y}, \ \ 0< x 0[/latex]

doppelte Gammaverteilung

  Die doppelte Gammaverteilung ist eine der bivariaten Verteilungen mit Gamma-Zufallsvariablen mit dem Parameter Alpha und eine mit der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion als

[latex]f_{Y_{1}{Y_{2}}}(y_{1},y_{2})=\frac{1}{\Gamma (\alpha {1})\Gamma (\alpha {2})}y_{1}^{\alpha_{1} -1}y_{2}^{\alpha_{2} -1} exp(-y_{1} -y_{2}), y_{1 }> 0, y_{2}> 0[/latex]

Diese Dichte bildet die Doppel-Gamma-Verteilung mit entsprechenden Zufallsvariablen und die Momenterzeugungsfunktion für die Doppel-Gamma-Verteilung ist

[Latex]\mathbf{M_{Y_{1}Y_{2}(t,s)}=\left ( \frac{1}{1-t} \right )^{\alpha {1}} \left (\frac{1}{1-s} \right )^{\alpha {2}} }[/latex]

Beziehung zwischen Gamma und Exponentialverteilung Exponential- und Gammaverteilung Gamma-Exponentialverteilung

   da die Exponentialverteilung die Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist

[latex]f(x) = \begin{cases} \ \lambda e^{-\lambda x} &\ if \ \ x\geq 0 \ \ 0 &\ \ \ if x< 0 \end{cases}[ /Latex]

und die Gammaverteilung hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

[latex]f(x) = \begin{cases} \frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha -1}}{\tau (\alpha )} &\ x \geq 0 \ \ 0 &\ x < 0 \end{cases}[/latex]

Wenn wir als eins setzen, erhalten wir eindeutig die Exponentialverteilung, dh die Gammaverteilung ist nichts anderes als die Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, die die Wartezeit bis zum Auftreten des nächsten n-ten Ereignisses vorhersagt, während die Exponentialverteilung das Warten vorhersagt Zeit bis zum Eintreten des nächsten Ereignisses.

Gammaverteilung anpassen

   Soweit die gegebenen Daten in Form einer Gammaverteilung angepasst werden müssen, muss die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit zwei Parametern gefunden werden, die Form-, Orts- und Skalenparameter umfasst, um diese Parameter mit unterschiedlichen Anwendungen zu finden und den Mittelwert, die Varianz, die Standardabweichung und zu berechnen momenterzeugende Funktion ist die Anpassung der Gammaverteilung, da verschiedene reale Probleme in Gammaverteilung modelliert werden, so dass die Informationen je nach Situation in Gammaverteilungen angepasst werden müssen, zu diesem Zweck sind verschiedene Techniken in verschiedenen Umgebungen bereits vorhanden, z. B. in R, Matlab, Excel usw.

verschobene Gammaverteilung

     Es gibt je nach Anwendung und Bedarf immer dann, wenn die Anforderung der Verschiebung der Verteilung, die von der Zwei-Parameter-Gamma-Verteilung erforderlich ist, die neuen verallgemeinerten drei Parameter oder eine andere verallgemeinerte Gamma-Verteilung die Formposition und den Maßstab verschiebt, eine solche Gamma-Verteilung als verschobene Gamma-Verteilung bekannt

abgeschnittene Gammaverteilung

     Wenn wir den Bereich oder die Domäne der Gammaverteilung für die Formskala und die Ortsparameter einschränken, wird die eingeschränkte Gammaverteilung basierend auf den Bedingungen als abgeschnittene Gammaverteilung bezeichnet.

Überlebensfunktion der Gammaverteilung

                Die Überlebensfunktion für die Gammaverteilung definiert die Funktion s (x) wie folgt

[latex]S(x)=1-\frac{\Gamma_{x} (\gamma)}{\Gamma (\gamma)} \ \ x\geq 0 ; \gamma > 0 \ wobei \ \ \Gamma_{x}(a) =\int_{0}^{x} t^{a-1}e^{-t} dt[/latex]

mle der Gammaverteilung maximale Wahrscheinlichkeit Gammaverteilung | Wahrscheinlichkeitsfunktion der Gammaverteilung

Wir wissen, dass die maximale Wahrscheinlichkeit die Stichprobe aus der Population als repräsentativ nimmt und diese Stichprobe als Schätzer für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion betrachtet, um die Parameter der Dichtefunktion zu maximieren, bevor zur Gammaverteilung übergegangen wird. Erinnern Sie sich an einige Grundlagen wie für die Zufallsvariable X. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit Theta als Parameter hat die Wahrscheinlichkeitsfunktion als

[latex]L(\theta ; x_{1},x_{2},…….x_{n}) =f_{\theta }(x_{1}, x_{2},……x_{n} ) ,[/Latex]

das können wir ausdrücken als

[latex]L(\theta ; x_{1},x_{2},…….x_{n}) =\prod_{i=1}^{n}f\theta (x_{i})[/latex ]

und ein Verfahren zum Maximieren dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion kann sein

[latex]L(\theta ; x_{1},x_{2},…….x_{n}) =sup_{(\theta \in \theta )} L(\theta ; x_{1},x_{ 2},…….x_{n})[/latex]

Wenn ein solches Theta diese Gleichung erfüllt und log eine monotone Funktion ist, können wir in log schreiben

[latex]logL(\theta ; x_{1},x_{2},…….x_{n}) =sup_{(\theta \in \theta )} log L(\theta ; x_{1},x_ {2},…….x_{n})[/latex]

und solch ein Supremum existiert, wenn

[latex]{\frac{\partial logL(\hat{\theta; x_{1}…..x_{n} }) }{\partial \theta_{j} }}=0, \ \ j=1,2, XNUMX,…k, \ \ \theta =(\theta {1}, …..\theta {k})[/latex]

Jetzt wenden wir die maximale Wahrscheinlichkeit für die Gammaverteilungsfunktion als an

[latex]f(x | \alpha ,\beta )=\prod_{i=1}^{n}f(x_{i} | \alpha ,\beta )=\left ( \frac{\beta ^{\ alpha }}{\Gamma (\alpha )} \right )^{n}\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha -1} exp(-\beta x_{i}) \propto \beta ^{n\alpha } exp\left ( -\beta \sum_{i=1}^{n}x_{i} \right )[/latex]

Die Protokollwahrscheinlichkeit der Funktion ist

[latex]\imath (\beta | \alpha ,x) \propto n\alpha log\beta -\beta n \bar{x} \propto \alpha log\beta – \bar{x} \beta[/latex]

so ist es

[latex]0=\frac{\partial l}{\partial \beta } =\frac{\alpha }{\beta } -\bar{x},[/latex]

und daher

[latex]\hat{\beta }= \frac{\alpha }{\bar{x}}[/latex]

Dies kann auch als erreicht werden

[latex]\textbf{L}(\alpha ,\beta | x)=\left ( \frac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )} x_{1}^{\alpha -1 } e^{-\beta x_{1}} \right )……..\left ( \frac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )} x_{n}^{\alpha - 1} e^{-\beta x_{n}} \right ) =\left ( \frac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )} \right)^{n} (x_{1 } (x_{2}……(x_{n})^{\alpha -1} e^{-\beta }(x_{1}+x_{2}+……x_{n})[/latex]

by

[latex]In\textbf{L}(\alpha ,\beta | x)=n(\alpha In\beta -In\Gamma (\alpha ))+(\alpha -1)\sum_{i=1}^ {n} Inx_{i} -\beta \sum_{i=1}^{n}x_{i}[/latex]

und der Parameter kann durch Differenzieren erhalten werden

[latex]\frac{\partial }{\partial \alpha }In\textbf{L}(\hat{\alpha }, \hat{\beta } |x)=n(In\hat{\beta }-\ frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \alpha } In\Gamma (\hat{\alpha }))+\sum_{i=1}^{n} x_{i}=0[/latex ]

[latex]\frac{\partial }{\partial \beta }In\textbf{L}(\hat{\alpha }, \hat{\beta } |x)=n \frac{\hat{\alpha }} {\hat{\beta }} -\sum_{i=1}^{n}x_{i}=0 \ \ oder \ \ \bar{x}=\frac{\hat{\alpha }}{\hat {\beta}}[/latex]

[latex]n(In \hat{\alpha } -In\hat{x} -\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \alpha } In\Gamma (\hat{\alpha }) ) +\sum_{i=1}^{n} Inx_{i}=0[/latex]

Schätzmethode für Gammaverteilungsparameter von Momenten | Methode des Momentenschätzers Gammaverteilung

   Wir können die Momente der Population und der Stichprobe mit Hilfe der Erwartung der n-ten Ordnung berechnen. Die Methode des Moments setzt diese Verteilungsmomente und die Stichprobe zur Schätzung der Parameter gleich. Nehmen wir an, wir haben eine Stichprobe einer Gamma-Zufallsvariablen mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion als

[latex]f(x|\alpha ,\lambda )=\frac{\lambda ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}x^{\alpha -1}e^{-\lambda x} , \ \ x\geq 0[/latex]

Wir wissen, dass die ersten zwei Momente für diese Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sind

[Latex]\mu {1}=\frac{\alpha }{\lambda } \ \ \ \mu {2}=\frac{\alpha (\alpha +1) }{\lambda ^{2}}[/latex]

so

[latex]{\lambda} =\frac{\alpha}{\mu _{1}}[/latex]

Wir werden vom zweiten Moment an bekommen, wenn wir Lambda ersetzen

[Latex]\frac{\mu {2}}{\mu {1}^{2}}=\frac{\alpha +1}{\alpha }[/latex]

und von diesem Wert von Alpha ist

[latex]\alpha=\frac{\mu {1}^{2}}{\mu {2}-\mu _{1}^{2}}[/latex]

und jetzt wird Lambda sein

[latex]\lambda =\frac{\mu {1}^{2}}{\mu {2}-\mu {1}^{2}} \frac{1}{\mu {1}} \ \ \ \ \ =\frac{\mu {1}^{2}}{\mu {2}-\mu _{1}^{2}}[/latex]

und Momentschätzer unter Verwendung der Probe wird sein

[latex]\hat{\lambda }=\frac{\bar{X}}{\hat{\sigma }^{2}}[/latex]

Konfidenzintervall für die Gammaverteilung

   Das Konfidenzintervall für die Gammaverteilung ist der Weg, um die Informationen und ihre Unsicherheit zu schätzen, die besagt, dass das Intervall den wahren Wert des Parameters haben soll, bei welchem ​​Prozentsatz dieses Konfidenzintervall aus den Beobachtungen von Zufallsvariablen erhalten wird, da es aus erhalten wird zufällig Es ist zufällig, das Konfidenzintervall für die Gammaverteilung zu erhalten. Es gibt verschiedene Techniken in verschiedenen Anwendungen, denen wir folgen müssen.

Gammaverteilungskonjugat vor für Exponentialverteilung | Gamma-Vorverteilung | posteriore Verteilung Poisson Gamma

     Die Posterior- und Prior-Verteilung sind die Terminologien von Bayesian Wahrscheinlichkeitstheorie und sie sind zueinander konjugiert, zwei beliebige Verteilungen sind konjugiert, wenn die spätere einer Verteilung eine andere Verteilung ist. In Bezug auf Theta lassen Sie uns zeigen, dass die Gamma-Verteilung vor der Exponentialverteilung konjugiert ist

wenn die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von Gammaverteilung in Bezug auf Theta ist wie

[latex]f_{\Theta }(\theta )=\frac{\beta ^{\alpha }\theta ^{\alpha -1}e^{-\beta \theta }}{\Gamma (\alpha )} [/Latex]

Angenommen, die Verteilungsfunktion für Theta ist aus gegebenen Daten exponentiell

[latex]f_{X_{i}|\Theta }(x_{i}|\theta )=\theta e^{-\theta x_{i}}[/latex]

so wird die gemeinsame Verteilung sein

[latex]f(X|\Theta )=\theta^{n} e^{-\theta \sum x_{i}}[/latex]

und unter Verwendung der Beziehung

[latex]\textbf{Posterior} \propto \textbf{Wahrscheinlichkeit} \ \ X \ \ \textbf{Prior}[/latex]

Wir haben

[latex]f_{\Theta |X}(\theta |x) \propto \theta ^{n}e^{-\theta \sum x_{i}} x \theta ^{\alpha -1}e^{ -\beta \theta }[/latex]

[latex]=\theta ^{n +\alpha -1} e^{-\theta (\sum x_{i} + \beta )}[/latex]

[latex]\daher \theta| X \sim \textbf{Gamma}(n+\alpha , \sum x_{i} +\beta )[/latex]

welches ist

[latex]f\Lambda | X (\lambda |x) \propto \lambda ^{\sum x_{i}+\alpha -1} e^{-(n+\beta )\lambda }[/latex]

Daher ist die Gammaverteilung vor der Exponentialverteilung konjugiert, während die Gammaverteilung posterior ist.

Gammaverteilungsquantilfunktion

   Die Qauntile-Funktion der Gammaverteilung ist die Funktion, die die Punkte in der Gammaverteilung angibt, die die Rangfolge der Werte in der Gammaverteilung in Beziehung setzen. Dies erfordert eine kumulative Verteilungsfunktion und für verschiedene Sprachen unterschiedliche Algorithmen und Funktionen für das Quantil der Gammaverteilung.

verallgemeinerte Gammaverteilung

    Da die Gammaverteilung selbst die Verallgemeinerung der exponentiellen Verteilungsfamilie ist, indem wir dieser Verteilung weitere Parameter hinzufügen, erhalten wir eine verallgemeinerte Gammaverteilung, die die weitere Verallgemeinerung dieser Verteilungsfamilie darstellt. Die physikalischen Anforderungen ergeben eine unterschiedliche Verallgemeinerung, wobei eine der häufigsten die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion verwendet wie

[latex]f(x)=\frac{(\frac{x-\mu }{\beta })^{\gamma -1} exp (-\frac{x-\mu }{\beta })}{ \beta \Gamma (\gamma )} \ \ x\geq \mu ;\gamma ,\beta > 0[/latex]

Die kumulative Verteilungsfunktion für eine solche verallgemeinerte Gammaverteilung kann erhalten werden durch

[latex]F(x)=\frac{\Gamma _{x}(\gamma )}{\Gamma (\gamma )} \ \ x\geq 0, \gamma > 0[/latex]

wobei der Zähler die unvollständige Gammafunktion als darstellt

[latex]\Gamma {x}(a)=\int{0}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt[/latex]

unter Verwendung dieser unvollständigen Gammafunktion kann die Überlebensfunktion für die verallgemeinerte Gammaverteilung erhalten werden als

[latex]S(x)=1-\frac{\Gamma _{x}(\gamma )}{\Gamma (\gamma )} \ \ x\geq 0, \gamma > 0[/latex]

Eine andere Version dieser verallgemeinerten Gammaverteilung mit drei Parametern und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist

[latex]f(t)=\frac{\beta }{\Gamma (k)\theta } \left ( \frac{t}{\theta } \right )^{k\beta -1} e^{- \left ( \frac{t}{\theta } \right )^{\beta }}[/latex]

Wenn k, β, θ die Parameter sind, die größer als Null sind, weist diese Verallgemeinerung Konvergenzprobleme auf, um die Weibull-Parameter zu überwinden, die ersetzt werden

[latex]\mu =In(\theta )+\frac{1}{\beta } . In\left ( \frac{1}{\lambda ^{2}} \right ) \ \ \ \sigma =\frac{1}{\beta \sqrt{k}} \ \ \ \lambda =\frac{1 }{\sqrt{k}} \ \ \ Wo \ \ -\infty< \mu 0 , 0< \lambda[/latex]

unter Verwendung dieser Parametrisierung wird die Konvergenz der erhaltenen Dichtefunktion erhalten, so dass die Verallgemeinerung für die Gammaverteilung mit Konvergenz die Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion als ist

[latex]F(x) = \begin{Fälle}
\frac{|\lambda |}{\sigma .t}.\frac{1}{\Gamma \left ( \frac{1}{\lambda ^{2}} \right )}.e\left [ \frac {\lambda .\frac{In(t)-\mu }{\sigma }+In\left ( \frac{1}{\lambda ^{2}} \right )-e^{\lambda.\frac{ In.(t)-\mu }{\sigma }} }{\lambda ^{2}} \right ] &\text{if } \lambda \neq 0
\\
\frac{1}{t.\sigma \sqrt{2 \pi }}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{In(t)-\mu }{\sigma } \right )^{2}} &\text{wenn} \lambda=0
\end{cases}[/latex]

Beta generalisierte Gammaverteilung

   Die Gammaverteilung, die den Parameter Beta in die Dichtefunktion einbezieht, aufgrund derer manchmal die Gammaverteilung als die generalisierte Beta-Gammaverteilung mit der Dichtefunktion bekannt ist

[latex]g_{\beta ,\gamma ,c}(x)=\frac{c\lambda ^{c\beta }}{\Gamma (\beta )}x^{c\beta -1}exp\left { -(\lambda x)^{c} \right }, \ \ x> 0[/latex]

mit kumulativer Verteilungsfunktion als

[latex]G_{\beta ,\gamma ,c}(x)=\frac{\gamma (\beta ,(\lambda x)^{c})}{\Gamma (\beta )},[/latex]

was bereits in der Diskussion der Gammaverteilung ausführlich besprochen wird, wird die weitere Beta-verallgemeinerte Gammaverteilung mit dem cdf als definiert

[latex]F(x)=I_{G}(x)(a,b)=\frac{1}{B(a,b)}\int_{0}^{G(x)}\omega ^{ a-1}(1-\omega )^{b-1}d\omega ,[/latex]

wobei B (a, b) die Beta-Funktion ist und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion hierfür durch Differenzierung erhalten werden kann und die Dichtefunktion sein wird

[latex]f(x)=\frac{g(x)}{B(a,b)}G(x)^{a-1}\left { 1-G(x) \right }^{b- 1}[/latex]

hier ist G(x) die oben definierte kumulative Verteilung Funktion der Gammaverteilung, wenn wir diesen Wert setzen, dann ist die kumulative Verteilungsfunktion der verallgemeinerten Beta-Gammaverteilung

[latex]F(x)=I_{\gamma(\beta ,(\lambda x)^{c})/\Gamma (\beta )}(a,b)=\frac{1}{B(a, b)}\int_{0}^{{\gamma(\beta ,(\lambda x)^{c})/\Gamma(\beta )}}\omega ^{a-1}(1-\omega ) ^{b-1} d\omega[/latex]

und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

[latex]f(x)=\frac{c\lambda ^{c\beta }x^{c\beta -1}exp\left { -(\lambda x)^{c} \right }\gamma (\ beta ,(\lambda x)^{c})^{a-1}\left { \Gamma (\beta )-\gamma (\beta ,(\lambda x)^{c}) \right }^{b -1}}{B(a,b)\Gamma (\beta )^{a+b-1}}[/latex]

Der Rest Eigenschaften können für diese verallgemeinerte Beta-Gammaverteilung erweitert werden mit üblichen Definitionen.

Fazit:

Es gibt verschiedene Formen und Verallgemeinerungen von Gammaverteilung und Exponentialfamilie der Gammaverteilung gemäß den realen Situationen, so dass solche Formen und Verallgemeinerungen zusätzlich zu den Schätzmethoden der Gammaverteilung bei der Stichprobenerfassung von Informationen behandelt wurden. Wenn Sie weitere Informationen zur Exponentialfamilie der Gammaverteilung benötigen, gehen Sie bitte den folgenden Link durch und Bücher. Weitere Themen zur Mathematik finden Sie unter unsere Seite.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

Ein erster Wahrscheinlichkeitskurs von Sheldon Ross

Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik

Eine Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik von ROHATGI und SALEH

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ich bin Dr. Mohammed Mazhar Ul Haque, Assistenzprofessor für Mathematik. Mit 12 Jahren Erfahrung im Unterrichten. Mit umfassenden Kenntnissen in Reiner Mathematik, insbesondere in der Algebra. Mit der immensen Fähigkeit, Probleme zu entwerfen und zu lösen. In der Lage, Kandidaten zu motivieren, ihre Leistung zu verbessern. Ich liebe es, zu Lambdageeks beizutragen, um Mathematik sowohl für Anfänger als auch für Experten einfach, interessant und selbsterklärend zu machen. Verbinden wir uns über LinkedIn – https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

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