Gamma-Verteilung: 7 wichtige Eigenschaften, die Sie kennen sollten

Gammaverteilung

Eine der kontinuierlichen Zufallsvariablen und kontinuierlichen Verteilungen ist die Gamma-Verteilung. Wie wir wissen, befasst sich die kontinuierliche Zufallsvariable mit den kontinuierlichen Werten oder Intervallen, ebenso wie die Gamma-Verteilung mit spezifischer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion in der nachfolgenden Diskussion, die wir in diskutieren Detaillieren Sie das Konzept, die Eigenschaften und die Ergebnisse anhand von Beispielen für Gamma-Zufallsvariablen und Gamma-Verteilung.

Gamma-Zufallsvariable oder Gamma-Verteilung | Was ist Gammaverteilung? Gammaverteilung definieren | Gammaverteilungsdichtefunktion | Gammaverteilungswahrscheinlichkeitsdichtefunktion | Gammaverteilungsnachweis

Eine kontinuierliche Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Es ist bekannt, dass es sich um eine Gamma-Zufallsvariable oder eine Gamma-Verteilung handelt, bei der α> 0, λ> 0 und die Gamma-Funktion sind

Wir haben die sehr häufige Eigenschaft der Gammafunktion durch Integration von Teilen als

Wenn wir den Prozess ab n fortsetzen, dann

und schließlich wird der Wert von Gamma von eins sein

somit wird der Wert sein

cdf der Gammaverteilung | kumulative Gammaverteilung Integration der Gammaverteilung

Das kumulative Verteilung Die Funktion (cdf) der Gamma-Zufallsvariablen oder einfach die Verteilungsfunktion der Gamma-Zufallsvariablen ist dieselbe wie die der kontinuierlichen Zufallsvariablen, vorausgesetzt, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist unterschiedlich, dh

hier ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wie oben für die Gammaverteilung definiert, die kumulative Verteilungsfunktion, die wir auch schreiben können

In beiden oben genannten Formaten ist der Wert von pdf wie folgt

wobei α> 0, λ> 0 reelle Zahlen sind.

Gammaverteilungsformel | Formel für die Gammaverteilung Gammaverteilungsgleichung | Ableitung der Gammaverteilung

Um die Wahrscheinlichkeit für die Gamma-Zufallsvariable zu finden, muss die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die wir für verschiedene gegebene α> 0, λ> 0 verwenden, wie folgt sein


und unter Verwendung des obigen PDFs die Verteilung für die Gamma-Zufallsvariable, die wir durch erhalten können

Daher erfordert die Gammaverteilungsformel den PDF-Wert und die Grenzwerte für die Gamma-Zufallsvariable gemäß der Anforderung.

Beispiel für eine Gammaverteilung


Zeigen Sie, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit für die Gammaverteilung ist eins mit der gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, dh

für λ> 0 ist α> 0.
Lösung:
unter Verwendung der Formel für die Gammaverteilung

da die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Gammaverteilung ist


Dies ist Null für alle Werte kleiner als Null, daher ist die Wahrscheinlichkeit jetzt

unter Verwendung der Definition der Gammafunktion

und Substitution bekommen wir

so

Mittelwert und Varianz der Gammaverteilung | Erwartung und Varianz der Gammaverteilung erwarteter Wert und Varianz der Gammaverteilung Mittelwert der Gammaverteilung erwarteter Wert der Gammaverteilung | Erwartung der Gammaverteilung


In der folgenden Diskussion werden wir den Mittelwert und die Varianz für die Gammaverteilung mit Hilfe von Standarddefinitionen der Erwartung und Varianz kontinuierlicher Zufallsvariablen finden.

Der erwartete Wert oder Mittelwert der kontinuierlichen Zufallsvariablen X mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

oder Gamma Zufallsvariable X wird sein

Mittelwert des Gammaverteilungsnachweises erwarteter Wert des Gammaverteilungsnachweises

Um den erwarteten Wert oder Mittelwert der Gammaverteilung zu erhalten, folgen wir der Definition und Eigenschaft der Gammafunktion.
Erstens durch die Definition der Erwartung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen und der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gamma-Zufallsvariablen, die wir haben

durch Aufheben des gemeinsamen Faktors und Verwendung der Definition der Gammafunktion

Jetzt haben wir die Eigenschaft der Gammafunktion

der Wert der Erwartung wird sein

Somit ist der Mittelwert oder der erwartete Wert der Gamma-Zufallsvariablen oder der Gamma-Verteilung, die wir erhalten,

Varianz der Gammaverteilung Varianz einer Gammaverteilung

Die Varianz für die Gamma-Zufallsvariable mit der gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

oder Varianz der Gammaverteilung wird sein

Varianz des Gammaverteilungsnachweises


Wie wir wissen, ist die Varianz die Differenz der erwarteten Werte als

Für die Gammaverteilung haben wir bereits den Wert des Mittelwerts

Berechnen wir nun zunächst den Wert von E [X.2], also per Definition der Erwartung für die kontinuierliche Zufallsvariable, die wir haben
da die Funktion f (x) die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Gammaverteilung als ist

Das Integral ist also nur von Null bis unendlich

also können wir per Definition der Gammafunktion schreiben

Mit der Eigenschaft der Gammafunktion haben wir also den Wert as erhalten


Setzen Sie nun den Wert dieser Erwartung ein

somit ist der Wert der Varianz der Gammaverteilung oder der Gammazufallsvariablen

Gammaverteilungsparameter | Gammaverteilung mit zwei Parametern | 2 variable Gammaverteilung


Die Gammaverteilung mit den Parametern λ> 0, α> 0 und der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

hat statistische Parameter Mittelwert und Varianz als

und

Da λ eine positive reelle Zahl ist, besteht eine andere Möglichkeit zur Vereinfachung und einfachen Handhabung darin, λ = 1 / β zu setzen, so dass sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in der Form ergibt

kurz die Verteilungsfunktion oder kumulative Verteilungsfunktion für diese Dichte können wir als ausdrücken

Diese Gammadichtefunktion gibt den Mittelwert und die Varianz als an

und


was durch die Substitution offensichtlich ist.
In beiden Fällen wird üblicherweise entweder die Gammaverteilung mit den mit bezeichneten Parametern α und λ verwendet Gamma (α, λ) oder die Gammaverteilung mit den durch bezeichneten Parametern β und λ Gamma (β, λ) mit den jeweiligen statistischen Parametern Mittelwert und Varianz in jeder Form.
Beide sind nichts als dasselbe.

Gammaverteilungsdiagramm | Gammaverteilungsgraph | Gammaverteilungshistogramm

Die Art der Gammaverteilung können wir mit Hilfe eines Diagramms für einige spezifische Werte der Parameter leicht visualisieren. Hier zeichnen wir die Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Dichtefunktion für einige Parameterwerte
Nehmen wir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion als

dann wird die kumulative Verteilungsfunktion sein

Gammaverteilung

Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Alpha-Werts auf 1 und Variieren des Beta-Werts.

Gammaverteilung

Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Alpha-Werts als 2 und Variieren des Beta-Werts

Gammaverteilung

Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Alpha-Werts als 3 und Variieren des Beta-Werts

Gammaverteilung

Beschreibung: Graphen für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und kumulative Verteilungsfunktion, indem der Wert von Beta auf 1 festgelegt und der Wert von Alpha variiert wird

Gammaverteilung

Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Beta-Werts auf 2 und Variieren des Alpha-Werts

Gammaverteilung

Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Beta-Werts auf 3 und Variieren des Alpha-Werts.

Im Allgemeinen sind unterschiedliche Kurven wie für Alpha variierend

Gammaverteilung
Gamma-Verteilungsdiagramm

Gamma-Verteilungstabelle | Standard-Gamma-Verteilungstabelle


Der numerische Wert der Gammafunktion


bekannt als unvollständige numerische Werte der Gammafunktion wie folgt

Gammaverteilung



Der numerische Wert der Gammaverteilung zum Skizzieren des Diagramms für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion für einige Anfangswerte sind wie folgt

1xf (x), α = 1, β = 1f (x), α = 2, β = 2f (x), α = 3, β = 3P (x), α = 1, β = 1P (x), α = 2, β = 2P (x), α = 3, β = 3
0100000
0.10.9048374180.023780735611.791140927E-40.095162581960.0012091042746.020557215E-6
0.20.81873075310.04524187096.929681371E-40.18126924690.004678840164.697822176E-5
0.30.74081822070.064553098230.0015080623630.25918177930.010185827111.546530703E-4
0.40.6703200460.081873075310.002593106130.3296799540.017523096313.575866931E-4
0.50.60653065970.097350097880.0039188968750.39346934030.026499021166.812970042E-4
0.60.54881163610.11112273310.0054582050210.45118836390.036936313110.001148481245
0.70.49658530380.12332041570.0071856645830.50341469620.048671078880.001779207768
0.80.44932896410.13406400920.0090776691950.55067103590.061551935550.002591097152
0.90.40656965970.14346633410.011112273310.59343034030.075439180150.003599493183
10.36787944120.15163266490.013269098340.63212055880.090204010430.004817624203
1.10.33287108370.15866119790.015529243520.66712891630.10572779390.006256755309
1.20.30119421190.16464349080.017875201230.69880578810.12190138220.007926331867
1.30.2725317930.16966487750.02029077660.7274682070.13862446830.00983411477
1.40.24659696390.17380485630.022761011240.75340303610.15580498360.01198630787
1.50.22313016010.17713745730.025272110820.77686983990.17335853270.01438767797
1.60.2018965180.17973158570.027811376330.7981034820.19120786460.01704166775
1.70.18268352410.18165134610.030367138940.81731647590.20928237590.01995050206
1.80.16529888820.18295634690.032928698170.83470111180.22751764650.02311528775
1.90.14956861920.18370198610.035486263270.85043138080.24585500430.02653610761
20.13533528320.18393972060.038030897710.86466471680.26424111770.03021210849
2.10.12245642830.18371731830.040554466480.87754357170.28262761430.03414158413
2.20.11080315840.1830790960.043049586250.88919684160.30097072420.03832205271
2.30.10025884370.18206614240.045509578110.89974115630.31923094580.04275032971
2.40.090717953290.18071652720.047928422840.90928204670.33737273380.04742259607
2.50.082084998620.1790654980.050300718580.91791500140.35536420710.052334462
2.60.074273578210.17714566550.052621640730.92572642180.3731768760.05748102674
2.70.067205512740.17498717590.054886904070.93279448730.39078538750.0628569343
2.80.060810062630.17261787480.057092726880.93918993740.40816728650.06845642568
2.90.055023220060.17006345890.059235797090.94497677990.42530279420.07427338744
30.049787068370.16734762010.06131324020.95021293160.44217459960.08030139707
Gamma-Verteilungsdiagramm

Finden von Alpha und Beta für die Gammaverteilung Wie berechnet man Alpha und Beta für die Gammaverteilung? Schätzung der Gammaverteilungsparameter


Für eine Gammaverteilung, die Alpha und Beta findet, nehmen wir den Mittelwert und die Varianz der Gammaverteilung

und


Jetzt erhalten wir den Wert von Beta als


so


und

so

Wenn wir nur einige Brüche aus der Gammaverteilung nehmen, erhalten wir den Wert von Alpha und Beta.

Probleme und Lösungen der Gammaverteilung Gammaverteilungsbeispiele Probleme | Tutorial zur Gammaverteilung | Gammaverteilungsfrage

1. Betrachten Sie die Zeit, die erforderlich ist, um das Problem für einen Kunden zu lösen, ist Gamma-verteilt in Stunden mit einem Mittelwert von 1.5 und einer Varianz von 0.75, was das wäre Wahrscheinlichkeit, dass das Problem wenn die Lösungszeit 2 Stunden überschreitet, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Problem in mindestens 2 Stunden gelöst wird, wenn die Zeit 5 Stunden überschreitet.

Lösung: Da die Zufallsvariable mit einem Mittelwert von 1.5 und einer Varianz von 0.75 gammaverteilt ist, können wir die Werte von Alpha und Beta finden und mit Hilfe dieser Werte wird die Wahrscheinlichkeit sein

P (X> 2) = 13e-4= 0.2381

und

P (X> 5 | X> 2) = (61/13) e-6= 0.011631

2. Wenn das negative Feedback der Benutzer in der Woche in Gammaverteilung mit den Parametern Alpha 2 und Beta als 4 modelliert wird, nachdem das 12-wöchige negative Feedback nach der Umstrukturierung der Qualität eingetreten ist, kann eine Umstrukturierung aus diesen Informationen die Leistung verbessern?

Lösung: Da dies in Gammaverteilung mit α = 2 modelliert ist, ist β = 4

Wir finden den Mittelwert und die Standardabweichung als μ = E (x) = α * β = 4 * 2 = 8

Da der Wert X = 12 innerhalb der Standardabweichung vom Mittelwert liegt, können wir nicht sagen, dass dies eine Verbesserung oder keine Verbesserung durch die Umstrukturierung der Qualität ist, um zu beweisen, dass die durch die angegebenen Umstrukturierungsinformationen verursachte Verbesserung unzureichend ist.

3. Sei X der Gammaverteilung Finden Sie mit den Parametern α=1/2, λ=1/2 die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Funktion Y=Quadratwurzel von X

Lösung: Berechnen wir die kumulative Verteilungsfunktion für Y als

Wenn man dies nun in Bezug auf y differenziert, erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für Y als

und der Bereich für y wird von 0 bis unendlich sein


Fazit:

Das Konzept der Gammaverteilung in Wahrscheinlichkeit und Statistik ist eines der wichtigsten alltäglich anwendbaren Verteilungen der Exponentialfamilie, mit denen bisher alle grundlegenden bis übergeordneten Konzepte diskutiert wurden GammaverteilungWenn Sie weitere Informationen benötigen, lesen Sie bitte die genannten Bücher durch. Sie können auch besuchen Mathematik Seite für mehr Thema

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Ein erster Wahrscheinlichkeitskurs von Sheldon Ross
Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik
Eine Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik von ROHATGI und SALEH

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