Gammaverteilung
Eine der kontinuierlichen Zufallsvariablen und kontinuierlichen Verteilungen ist die Gamma-Verteilung. Wie wir wissen, befasst sich die kontinuierliche Zufallsvariable mit den kontinuierlichen Werten oder Intervallen, ebenso wie die Gamma-Verteilung mit spezifischer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion in der nachfolgenden Diskussion, die wir in diskutieren Detaillieren Sie das Konzept, die Eigenschaften und die Ergebnisse anhand von Beispielen für Gamma-Zufallsvariablen und Gamma-Verteilung.
Gamma-Zufallsvariable oder Gamma-Verteilung | Was ist Gammaverteilung? Gammaverteilung definieren | Gammaverteilungsdichtefunktion | Gammaverteilungswahrscheinlichkeitsdichtefunktion | Gammaverteilungsnachweis
Eine kontinuierliche Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Es ist bekannt, dass es sich um eine Gamma-Zufallsvariable oder eine Gamma-Verteilung handelt, bei der α> 0, λ> 0 und die Gamma-Funktion sind
Wir haben die sehr häufige Eigenschaft der Gammafunktion durch Integration von Teilen als
Wenn wir den Prozess ab n fortsetzen, dann
und schließlich wird der Wert von Gamma von eins sein
somit wird der Wert sein
cdf der Gammaverteilung | kumulative Gammaverteilung Integration der Gammaverteilung
Das kumulative Verteilung Die Funktion (cdf) der Gamma-Zufallsvariablen oder einfach die Verteilungsfunktion der Gamma-Zufallsvariablen ist dieselbe wie die der kontinuierlichen Zufallsvariablen, vorausgesetzt, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist unterschiedlich, dh
hier ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wie oben für die Gammaverteilung definiert, die kumulative Verteilungsfunktion, die wir auch schreiben können
In beiden oben genannten Formaten ist der Wert von pdf wie folgt
wobei α> 0, λ> 0 reelle Zahlen sind.
Gammaverteilungsformel | Formel für die Gammaverteilung Gammaverteilungsgleichung | Ableitung der Gammaverteilung
Um die Wahrscheinlichkeit für die Gamma-Zufallsvariable zu finden, muss die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die wir für verschiedene gegebene α> 0, λ> 0 verwenden, wie folgt sein
und unter Verwendung des obigen PDFs die Verteilung für die Gamma-Zufallsvariable, die wir durch erhalten können
Daher erfordert die Gammaverteilungsformel den PDF-Wert und die Grenzwerte für die Gamma-Zufallsvariable gemäß der Anforderung.
Beispiel für eine Gammaverteilung
Zeigen Sie, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit für die Gammaverteilung ist eins mit der gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, dh
für λ> 0 ist α> 0.
Lösung:
unter Verwendung der Formel für die Gammaverteilung
da die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Gammaverteilung ist
Dies ist Null für alle Werte kleiner als Null, daher ist die Wahrscheinlichkeit jetzt
unter Verwendung der Definition der Gammafunktion
und Substitution bekommen wir
so
Mittelwert und Varianz der Gammaverteilung | Erwartung und Varianz der Gammaverteilung erwarteter Wert und Varianz der Gammaverteilung Mittelwert der Gammaverteilung erwarteter Wert der Gammaverteilung | Erwartung der Gammaverteilung
In der folgenden Diskussion werden wir den Mittelwert und die Varianz für die Gammaverteilung mit Hilfe von Standarddefinitionen der Erwartung und Varianz kontinuierlicher Zufallsvariablen finden.
Der erwartete Wert oder Mittelwert der kontinuierlichen Zufallsvariablen X mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
oder Gamma Zufallsvariable X wird sein
Mittelwert des Gammaverteilungsnachweises erwarteter Wert des Gammaverteilungsnachweises
Um den erwarteten Wert oder Mittelwert der Gammaverteilung zu erhalten, folgen wir der Definition und Eigenschaft der Gammafunktion.
Erstens durch die Definition der Erwartung einer kontinuierlichen Zufallsvariablen und der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gamma-Zufallsvariablen, die wir haben
durch Aufheben des gemeinsamen Faktors und Verwendung der Definition der Gammafunktion
Jetzt haben wir die Eigenschaft der Gammafunktion
der Wert der Erwartung wird sein
Somit ist der Mittelwert oder der erwartete Wert der Gamma-Zufallsvariablen oder der Gamma-Verteilung, die wir erhalten,
Varianz der Gammaverteilung Varianz einer Gammaverteilung
Die Varianz für die Gamma-Zufallsvariable mit der gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
oder Varianz der Gammaverteilung wird sein
Varianz des Gammaverteilungsnachweises
Wie wir wissen, ist die Varianz die Differenz der erwarteten Werte als
Für die Gammaverteilung haben wir bereits den Wert des Mittelwerts
Berechnen wir nun zunächst den Wert von E [X.2], also per Definition der Erwartung für die kontinuierliche Zufallsvariable, die wir haben
da die Funktion f (x) die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Gammaverteilung als ist
Das Integral ist also nur von Null bis unendlich
also können wir per Definition der Gammafunktion schreiben
Mit der Eigenschaft der Gammafunktion haben wir also den Wert as erhalten
Setzen Sie nun den Wert dieser Erwartung ein
somit ist der Wert der Varianz der Gammaverteilung oder der Gammazufallsvariablen
Gammaverteilungsparameter | Gammaverteilung mit zwei Parametern | 2 variable Gammaverteilung
Die Gammaverteilung mit den Parametern λ>0, α>0 und der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
hat statistische Parameter Mittelwert und Varianz als
und
Da λ eine positive reelle Zahl ist, besteht eine andere Möglichkeit zur Vereinfachung und einfachen Handhabung darin, λ = 1 / β zu setzen, so dass sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in der Form ergibt
kurz die Verteilungsfunktion oder kumulative Verteilungsfunktion für diese Dichte können wir als ausdrücken
Diese Gammadichtefunktion gibt den Mittelwert und die Varianz als an
und
was durch die Substitution offensichtlich ist.
In beiden Fällen wird üblicherweise entweder die Gammaverteilung mit den mit bezeichneten Parametern α und λ verwendet Gamma (α, λ) oder die Gammaverteilung mit den Parametern β und λ bezeichnet mit Gamma (β, λ) mit den jeweiligen statistischen Parametern Mittelwert und Varianz in jeder Form.
Beide sind nichts als dasselbe.
Gammaverteilungsdiagramm | Gammaverteilungsgraph | Gammaverteilungshistogramm
Die Art der Gammaverteilung können wir mit Hilfe eines Diagramms für einige spezifische Werte der Parameter leicht visualisieren. Hier zeichnen wir die Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Dichtefunktion für einige Parameterwerte
Nehmen wir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion als
dann wird die kumulative Verteilungsfunktion sein
Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Alpha-Werts auf 1 und Variieren des Beta-Werts.
Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Alpha-Werts als 2 und Variieren des Beta-Werts
Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Alpha-Werts als 3 und Variieren des Beta-Werts
Beschreibung: Graphen für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und kumulative Verteilungsfunktion, indem der Wert von Beta auf 1 festgelegt und der Wert von Alpha variiert wird
Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Beta-Werts auf 2 und Variieren des Alpha-Werts
Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Beta-Werts auf 3 und Variieren des Alpha-Werts.
Im Allgemeinen sind unterschiedliche Kurven wie für Alpha variierend
Gamma-Verteilungstabelle | Standard-Gamma-Verteilungstabelle
Der numerische Wert der Gammafunktion
bekannt als unvollständige numerische Werte der Gammafunktion wie folgt
Der numerische Wert der Gammaverteilung zum Skizzieren des Diagramms für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion für einige Anfangswerte sind wie folgt
| 1x | f (x), α = 1, β = 1 | f (x), α = 2, β = 2 | f (x), α = 3, β = 3 | P (x), α = 1, β = 1 | P (x), α = 2, β = 2 | P (x), α = 3, β = 3 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0.1 | 0.904837418 | 0.02378073561 | 1.791140927E-4 | 0.09516258196 | 0.001209104274 | 6.020557215E-6 |
| 0.2 | 0.8187307531 | 0.0452418709 | 6.929681371E-4 | 0.1812692469 | 0.00467884016 | 4.697822176E-5 |
| 0.3 | 0.7408182207 | 0.06455309823 | 0.001508062363 | 0.2591817793 | 0.01018582711 | 1.546530703E-4 |
| 0.4 | 0.670320046 | 0.08187307531 | 0.00259310613 | 0.329679954 | 0.01752309631 | 3.575866931E-4 |
| 0.5 | 0.6065306597 | 0.09735009788 | 0.003918896875 | 0.3934693403 | 0.02649902116 | 6.812970042E-4 |
| 0.6 | 0.5488116361 | 0.1111227331 | 0.005458205021 | 0.4511883639 | 0.03693631311 | 0.001148481245 |
| 0.7 | 0.4965853038 | 0.1233204157 | 0.007185664583 | 0.5034146962 | 0.04867107888 | 0.001779207768 |
| 0.8 | 0.4493289641 | 0.1340640092 | 0.009077669195 | 0.5506710359 | 0.06155193555 | 0.002591097152 |
| 0.9 | 0.4065696597 | 0.1434663341 | 0.01111227331 | 0.5934303403 | 0.07543918015 | 0.003599493183 |
| 1 | 0.3678794412 | 0.1516326649 | 0.01326909834 | 0.6321205588 | 0.09020401043 | 0.004817624203 |
| 1.1 | 0.3328710837 | 0.1586611979 | 0.01552924352 | 0.6671289163 | 0.1057277939 | 0.006256755309 |
| 1.2 | 0.3011942119 | 0.1646434908 | 0.01787520123 | 0.6988057881 | 0.1219013822 | 0.007926331867 |
| 1.3 | 0.272531793 | 0.1696648775 | 0.0202907766 | 0.727468207 | 0.1386244683 | 0.00983411477 |
| 1.4 | 0.2465969639 | 0.1738048563 | 0.02276101124 | 0.7534030361 | 0.1558049836 | 0.01198630787 |
| 1.5 | 0.2231301601 | 0.1771374573 | 0.02527211082 | 0.7768698399 | 0.1733585327 | 0.01438767797 |
| 1.6 | 0.201896518 | 0.1797315857 | 0.02781137633 | 0.798103482 | 0.1912078646 | 0.01704166775 |
| 1.7 | 0.1826835241 | 0.1816513461 | 0.03036713894 | 0.8173164759 | 0.2092823759 | 0.01995050206 |
| 1.8 | 0.1652988882 | 0.1829563469 | 0.03292869817 | 0.8347011118 | 0.2275176465 | 0.02311528775 |
| 1.9 | 0.1495686192 | 0.1837019861 | 0.03548626327 | 0.8504313808 | 0.2458550043 | 0.02653610761 |
| 2 | 0.1353352832 | 0.1839397206 | 0.03803089771 | 0.8646647168 | 0.2642411177 | 0.03021210849 |
| 2.1 | 0.1224564283 | 0.1837173183 | 0.04055446648 | 0.8775435717 | 0.2826276143 | 0.03414158413 |
| 2.2 | 0.1108031584 | 0.183079096 | 0.04304958625 | 0.8891968416 | 0.3009707242 | 0.03832205271 |
| 2.3 | 0.1002588437 | 0.1820661424 | 0.04550957811 | 0.8997411563 | 0.3192309458 | 0.04275032971 |
| 2.4 | 0.09071795329 | 0.1807165272 | 0.04792842284 | 0.9092820467 | 0.3373727338 | 0.04742259607 |
| 2.5 | 0.08208499862 | 0.179065498 | 0.05030071858 | 0.9179150014 | 0.3553642071 | 0.052334462 |
| 2.6 | 0.07427357821 | 0.1771456655 | 0.05262164073 | 0.9257264218 | 0.373176876 | 0.05748102674 |
| 2.7 | 0.06720551274 | 0.1749871759 | 0.05488690407 | 0.9327944873 | 0.3907853875 | 0.0628569343 |
| 2.8 | 0.06081006263 | 0.1726178748 | 0.05709272688 | 0.9391899374 | 0.4081672865 | 0.06845642568 |
| 2.9 | 0.05502322006 | 0.1700634589 | 0.05923579709 | 0.9449767799 | 0.4253027942 | 0.07427338744 |
| 3 | 0.04978706837 | 0.1673476201 | 0.0613132402 | 0.9502129316 | 0.4421745996 | 0.08030139707 |
Finden von Alpha und Beta für die Gammaverteilung Wie berechnet man Alpha und Beta für die Gammaverteilung? Schätzung der Gammaverteilungsparameter
Für eine Gammaverteilung, die Alpha und Beta findet, nehmen wir den Mittelwert und die Varianz der Gammaverteilung
und
Jetzt erhalten wir den Wert von Beta als
so
und
so
Wenn wir nur einige Brüche aus der Gammaverteilung nehmen, erhalten wir den Wert von Alpha und Beta.
Probleme und Lösungen der Gammaverteilung Gammaverteilungsbeispiele Probleme | Tutorial zur Gammaverteilung | Gammaverteilungsfrage
1. Betrachten Sie die Zeit, die erforderlich ist, um das Problem für einen Kunden zu lösen, ist Gamma-verteilt in Stunden mit einem Mittelwert von 1.5 und einer Varianz von 0.75, was das wäre Wahrscheinlichkeit, dass das Problem wenn die Lösungszeit 2 Stunden überschreitet, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Problem in mindestens 2 Stunden gelöst wird, wenn die Zeit 5 Stunden überschreitet.
Lösung: Da die Zufallsvariable mit einem Mittelwert von 1.5 und einer Varianz von 0.75 gammaverteilt ist, können wir die Werte von Alpha und Beta finden und mit Hilfe dieser Werte wird die Wahrscheinlichkeit sein
P (X> 2) = 13e-4= 0.2381
und
P (X> 5 | X> 2) = (61/13) e-6= 0.011631
2. Wenn das negative Feedback der Benutzer in der Woche in Gammaverteilung mit den Parametern Alpha 2 und Beta als 4 modelliert wird, nachdem das 12-wöchige negative Feedback nach der Umstrukturierung der Qualität eingetreten ist, kann eine Umstrukturierung aus diesen Informationen die Leistung verbessern?
Lösung: Da dies in Gammaverteilung mit α = 2 modelliert ist, ist β = 4
Wir finden den Mittelwert und die Standardabweichung als μ = E (x) = α * β = 4 * 2 = 8
Da der Wert X = 12 innerhalb der Standardabweichung vom Mittelwert liegt, können wir nicht sagen, dass dies eine Verbesserung oder keine Verbesserung durch die Umstrukturierung der Qualität ist, um zu beweisen, dass die durch die angegebenen Umstrukturierungsinformationen verursachte Verbesserung unzureichend ist.
3. Sei X der Gammaverteilung Finden Sie mit den Parametern α=1/2, λ=1/2 die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Funktion Y=Quadratwurzel von X
Lösung: Berechnen wir die kumulative Verteilungsfunktion für Y als
Wenn man dies nun in Bezug auf y differenziert, erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für Y als
und der Bereich für y wird von 0 bis unendlich sein
Fazit:
Das Konzept der Gammaverteilung in Wahrscheinlichkeit und Statistik ist eines der wichtigsten alltäglich anwendbaren Verteilungen der Exponentialfamilie, mit denen bisher alle grundlegenden bis übergeordneten Konzepte diskutiert wurden GammaverteilungWenn Sie weitere Informationen benötigen, lesen Sie bitte die genannten Bücher durch. Sie können auch besuchen Mathematik Seite für mehr Thema
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Ein erster Wahrscheinlichkeitskurs von Sheldon Ross
Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik
Eine Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik von ROHATGI und SALEH
Ich bin Dr. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ich habe meinen Ph.D. abgeschlossen. in Mathematik und arbeitet als Assistenzprofessor für Mathematik. Verfügt über 12 Jahre Erfahrung im Unterrichten. Verfügt über umfangreiche Kenntnisse in reiner Mathematik, insbesondere in Algebra. Sie verfügen über die immense Fähigkeit, Probleme zu entwerfen und zu lösen. Kann Kandidaten motivieren, ihre Leistung zu steigern.
Ich liebe es, zu Lambdageeks beizutragen, um Mathematik sowohl für Anfänger als auch für Experten einfach, interessant und selbsterklärend zu machen.