Einige zusätzliche diskrete Zufallsvariablen und ihre Parameter
Die diskrete Zufallsvariable mit ihrer Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion kombiniert die Verteilung der Wahrscheinlichkeit und abhängig von der Art der diskreten Zufallsvariablen kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung unterschiedliche Namen wie Binomialverteilung, Poisson-Verteilung usw. haben, wie wir bereits die Arten der diskreten gesehen haben Zufallsvariable, binomiale Zufallsvariable und Poisson-Zufallsvariable mit den statistischen Parametern für diese Zufallsvariablen. Die meisten Zufallsvariablen sind abhängig von der Art der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion charakterisiert. Jetzt werden wir einige weitere Arten von diskreten Zufallsvariablen und ihre statistischen Parameter sehen.
Geometrische Zufallsvariable und ihre Verteilung
Eine geometrische Zufallsvariable ist die Zufallsvariable, die für die unabhängigen Versuche zugewiesen wird, die bis zum Auftreten eines Erfolgs nach einem kontinuierlichen Versagen durchgeführt werden, dh wenn wir ein Experiment n-mal durchführen und anfänglich alle Fehler n-1-mal erhalten und dann zuletzt Erfolg haben. Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für eine solche diskrete Zufallsvariable ist
In dieser Zufallsvariablen ist die notwendige Bedingung für das Ergebnis des unabhängigen Versuchs die Initiale. Alle Ergebnisse müssen vor dem Erfolg fehlschlagen.
Kurz gesagt ist die Zufallsvariable, die über der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion folgt, als geometrische Zufallsvariable bekannt.
Es ist leicht zu beobachten, dass die Summe solcher Wahrscheinlichkeiten 1 für die Wahrscheinlichkeit ist.
Somit ist die geometrische Zufallsvariable mit einer solchen Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion geometrische Verteilung.
Erfahren Sie mehr über Kontinuierliche Zufallsvariable
Erwartung einer geometrischen Zufallsvariablen
Da die Erwartung einer der wichtigen Parameter für die Zufallsvariable ist, ist die Erwartung für die geometrische Zufallsvariable gleich
E[X]=1/p
Dabei ist p die Erfolgswahrscheinlichkeit.
da
Die Ausfallwahrscheinlichkeit sei q = 1-p
so
E[X]=qE[X]+1
(1-q)E[X]=1
pE[X]=1
so bekommen wir
Dem erwarteten Wert oder Mittelwert der gegebenen Information können wir also durch einen nur inversen Wert der Erfolgswahrscheinlichkeit in einer geometrischen Zufallsvariablen folgen.
Um Details zu erhalten Normale Zufallsvariable
Varianz und Standardabweichung der geometrischen Zufallsvariablen
Auf ähnliche Weise können wir das andere erhalten wichtige statistische Parametervarianz und Standardabweichung für die geometrische Zufallsvariable und es wäre
und
Um diese Werte zu erhalten, verwenden wir die Beziehung
Berechnen wir also zuerst
EX2]
setze q=1-p
so
also haben wir
Negative binomiale Zufallsvariable
Dieser Zufall fällt aufgrund der Art seiner Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion in eine andere diskrete Zufallsvariable, in die negative binomiale Zufallsvariable und in ihre Verteilung aus n Versuch eines unabhängigen Experiments r müssen zunächst Erfolge erzielt werden
Mit anderen Worten, eine Zufallsvariable mit der obigen Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist eine negative Binomial-Zufallsvariable mit Parametern (r, p). Wenn wir r = 1 einschränken, wird die negative Binomialverteilung zu einer geometrischen Verteilung
Erwartung, Varianz und Standardabweichung der negativen binomialen Zufallsvariablen
Die Erwartung und Varianz für die negative binomiale Zufallsvariable wird sein
mit der Hilfe von Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von negativer binomialer Zufallsvariable und Definition der Erwartung können wir schreiben
hier ist Y nichts anderes als die negative binomische Zufallsvariable, die jetzt k = 1 setzt, die wir erhalten werden
Also zur Varianz
Beispiel: Wenn ein Würfel geworfen wird, um 5 auf der Vorderseite des Würfels zu erhalten, bis wir das 4-fache dieses Wertes erhalten, finden Sie die Erwartung und Varianz. Die Zufallsvariable, die diesem unabhängigen Experiment zugeordnet ist, ist eine negative binomiale Zufallsvariable für r = 4 und die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6, um 5 in einem Wurf zu bekommen
wie wir für negative binomiale Zufallsvariable wissen
Hypergeometrische Zufallsvariable
Wenn wir insbesondere eine Stichprobe der Größe n aus einer Gesamtzahl von N mit zwei Typen m und Nm auswählen, dann hat die Zufallsvariable für zuerst die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion als
Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben einen Sack, aus dem eine Stichprobe von Büchern der Größe n ohne Ersatz zufällig entnommen wird und N Bücher enthält, von denen m Mathematik und Nm Physik sind. Wenn wir die Zufallsvariable zuweisen, um die Anzahl der ausgewählten Mathematikbücher zu bezeichnen, dann die Wahrscheinlichkeitsmasse Die Funktion für eine solche Auswahl entspricht der obigen Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion.
Mit anderen Worten ist bekannt, dass die Zufallsvariable mit der obigen Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion die hypergeometrische Zufallsvariable ist.
Erfahren Sie mehr über Gemeinsam verteilte Zufallsvariablen
Beispiel: Aus vielen elektronischen Bauteilen, wenn 30% der Lose vier defekte Komponenten und 70% eine defekte haben, wird bei einer Losgröße von 10 und der Annahme des Loses drei zufällige Komponenten ausgewählt und geprüft, wenn alle nicht defekt sind Los wird ausgewählt. Berechnen Sie aus dem Gesamtlos, wie viel Prozent des Loses abgelehnt werden.
Hier ist A das Ereignis, um das Los anzunehmen
N = 10, m = 4, n = 3
für N = 10 ist m = 1, n = 3
Somit wird das 46% Los abgelehnt.
Erwartung, Varianz und Standardabweichung der hypergeometrischen Zufallsvariablen
Die Erwartung, Varianz und Standardabweichung für die hypergeometrische Zufallsvariable mit den Parametern n, m und N wäre
oder für den großen Wert von N.
und die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz.
Unter Berücksichtigung der Definition der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der hypergeormetrischen Funktion und der Erwartung können wir sie als schreiben
hier unter Verwendung der Beziehungen und Identitäten der Kombinationen Wir haben
hier spielt Y die Rolle einer hypergeometrischen Zufallsvariablen mit entsprechenden Parametern, wenn wir k = 1 setzen, erhalten wir
E[X] = nm/N
und für k = 2
so wäre Varianz
für p = m / N und
erhalten wir
für einen sehr großen Wert von N wäre es offensichtlich
Zufallsvariable Zeta (Zipf)
A diskrete Zufallsvariable heißt Zeta, wenn seine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion gegeben ist durch
für die positiven Werte von Alpha.
In ähnlicher Weise können wir die Werte der Erwartung, Varianz und Standardabweichung finden.
In ähnlicher Weise können wir, indem wir nur die Definition der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion und die mathematische Erwartung verwenden, die Anzahl der Eigenschaften für jede einzelne diskrete Zufallsvariable zusammenfassen, zum Beispiel erwartete Werte von Summen von Zufallsvariablen als
Für Zufallsvariablen
$X1,X2, X3…$
Fazit:
In diesem Artikel konzentrierten wir uns hauptsächlich auf einige zusätzliche diskrete Zufallsvariablen, ihre Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen, Verteilung und die statistischen Parameter Mittelwert oder Erwartung, Standardabweichung und Varianz, die kurze Einführung und einfach Beispiel, das wir besprochen haben, um nur der Idee das Detail zu geben Studie bleibt zu diskutieren. In den nächsten Artikeln werden wir uns mit kontinuierlichen Zufallsvariablen und Konzepten im Zusammenhang mit kontinuierlichen Zufallsvariablen befassen. Wenn Sie weiterlesen möchten, gehen Sie durch den unten vorgeschlagenen Link. Weitere Themen zur Mathematik finden Sie hier Link.
Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik
