Hermite-Polynom: 9 vollständige schnelle Fakten

  Das Hermite-Polynom kommt in Anwendungen häufig als orthogonale Funktion vor. Das Hermite-Polynom ist die Reihenlösung der Hermite-Differentialgleichung.

Einsiedlergleichung

    Die Differentialgleichung zweiter Ordnung mit spezifischen Koeffizienten wie

d²j/dx² – 2x dy/dx + 2xy = 0

ist als Hermite-Gleichung bekannt, durch Lösen dieser Differentialgleichung erhalten wir das Polynom, das ist Einsiedlerpolynom.

Finden wir die Lösung der Gleichung

d²j/dx² – 2x dy/dx + 2ny = 0

mit Hilfe der Reihenlösung der Differentialgleichung

Wenn wir nun all diese Werte in die Hermite-Gleichung einsetzen, haben wir

Diese Gleichung erfüllt für den Wert von k=0 und da wir angenommen haben, dass der Wert von k nicht negativ ist, gilt nun für den niedrigsten Grad Term x^m-2 Nehmen Sie in der ersten Gleichung k=0 an, da die zweite einen negativen Wert ergibt, also den Koeffizienten x^m-2 is

a₀m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1

als ein₀ 0

Jetzt wird auf die gleiche Weise der Koeffizient von x gleichgesetzt^m-1 aus der zweiten Summation

und Gleichsetzen der Koeffizienten von x^m+k bis Null,

a_{k + 2}(m+k+2)(m+k+1)-2a_k(m+kn) = 0

wir können es schreiben als

a_{k + 2} = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) ein_k

wenn m=0

a_{k + 2} = 2(kn)/(k+2)(k+1) a_k

wenn m=1

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) ein_k

für diese beiden Fälle diskutieren wir nun die Fälle für k

Wenn $m=0, a_{k + 2}= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} a_k$

Wenn $k=0 a₂ =-2 n/2 a₀=-na₀$

$k=1, a₃=2(1-n)/6a₁ =-2(n-1)/3 ! A₁$

Wenn $k=2, a₄ =2(2-n)/12a₂ =2 (2-n)/12 (-na₀) = 2² n(n-2)/4 ! A₀$

Bisher haben wir m=0 zwei Bedingungen, wenn a₁=0, dann a₃=a₅=a₇=….=a_2r+1=0 und wenn a₁ ist dann nicht null

indem Sie dies befolgen, setzen Sie die Werte von a₀,a₁,a₂,a₃,a₄ und einem₅ Wir haben

und für m=1 a₁=0 indem wir k=0,1,2,3,….. setzen, erhalten wir

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)a_k

also wird die lösung sein

Die vollständige Lösung lautet also

wobei A und B die willkürlichen Konstanten sind

Einsiedlerpolynom

   Die Lösung der Hermite-Gleichung hat die Form y(x)=Ay₁(x)+Von₂(x) wo y₁(x) und y₂(x) sind die Reihenterme wie oben diskutiert,

eine dieser Reihen endet, wenn n eine nicht negative ganze Zahl ist, wenn n gerade y . ist₁ endet sonst y₂ wenn n ungerade ist, und wir können leicht überprüfen, dass diese Polynome für n=0,1,2,3,4…….. sind

1,x,1-2x², x-2/3 x³, 1-4x²+4/3x⁴, x-4/3x³+ 4/15x⁵

Daher können wir hier sagen, dass die Lösung der Hermite-Gleichung ein konstantes Vielfaches dieser Polynome ist und die Terme mit der höchsten Potenz von x die Form 2 habenⁿxⁿ bezeichnet mit H_n(x) ist bekannt als Einsiedlerpolynom

Erzeugungsfunktion des Hermite-Polynoms

Hermites-Polynom, das normalerweise mit Hilfe einer Relation unter Verwendung einer erzeugenden Funktion definiert wird

[n/2] ist die größte ganze Zahl kleiner oder gleich n/2, also folgt sie dem Wert von H_n(X) as

Dies zeigt, dass H_n(X) ist ein Polynom vom Grad n in x und

H_n(x) = 2ⁿxⁿ +_n-2 (X)

woher π_n-2 (x) ist das Polynom vom Grad n-2 in x, und es wird eine gerade Funktion von x für einen geraden Wert von n und eine ungerade Funktion von x für einen ungeraden Wert von n sein, also

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(X)

einige der Ausgangs-Hermite-Polynome sind

H₀(x) = 1

H₁(x) = 2x

H₂(x) = 4x² - 2

H₃(x) = 8x³-12

H₄(x) = 16x⁴ - 48x²+12

H₅(x) = 32x² - 160x³+ 120x

Erzeugungsfunktion des Hermite-Polynoms nach der Rodrigue-Formel

Das Hermite-Polynom kann auch mit Hilfe der Rodrigue-Formel unter Verwendung der erzeugenden Funktion definiert werden

da die Beziehung der erzeugenden Funktion

  Mit dem Satz von Maclaurin haben wir

or

indem man z=xt und setzt

für t=0, also z=x ergibt

das können wir auch anders zeigen als

differenzieren

in Bezug auf t gibt

Das Annehmen der Grenze t geht gegen Null

jetzt differenzieren nach x

Das Annehmen der Grenze t geht gegen Null

aus diesen beiden Ausdrücken können wir schreiben

genauso können wir schreiben

 n mal differenzieren und t=0 setzen, erhalten wir

aus diesen Werten können wir schreiben

daraus können wir die Werte bekommen

Beispiel für das Hermite-Polynom           

1. Finden Sie das gewöhnliche Polynom von

Lösung: unter Verwendung der Hermite-Polynomdefinition und der Beziehungen, die wir haben

2. Finden Sie das Hermite-Polynom des gewöhnlichen Polynoms

Lösung: Die gegebene Gleichung können wir in Hermite umwandeln als

und aus dieser Gleichung den gleichen Potenzkoeffizienten

daher ist das Hermite-Polynom

Orthogonalität des Hermite-Polynoms | Orthogonale Eigenschaft des Hermite-Polynoms

Die wichtige Eigenschaft des Hermite-Polynoms ist seine Orthogonalität, die besagt, dass

Um diese Orthogonalität zu beweisen, erinnern wir uns daran, dass

das ist die erzeugende Funktion für das Hermite-Polynom und wir wissen

Wenn wir diese beiden Gleichungen multiplizieren, erhalten wir

Multiplizieren und Integrieren in unendlichen Grenzen

und seit

so

Mit diesem Wert im obigen Ausdruck haben wir

was gibt

jetzt die Koeffizienten auf beiden Seiten gleichsetzen

was die orthogonale Eigenschaft des Hermite-Polynoms zeigt.

  Das Ergebnis der orthogonalen Eigenschaft des Hermite-Polynoms kann auf andere Weise gezeigt werden, indem man die Rekursionsbeziehung betrachtet

Beispiel zur Orthogonalität des Hermite-Polynoms

1. Bewerten Sie das Integral

Lösung: Unter Verwendung der Orthogonalitätseigenschaft des hermitischen Polynoms

da die Werte hier m=3 und n=2 sind, also

2. Bewerten Sie das Integral

Lösung: Unter Verwendung der Orthogonalitätseigenschaft des Hermite-Polynoms können wir schreiben

Rekursionsbeziehungen des Hermite-Polynoms

Der Wert des Hermite-Polynoms kann leicht durch die Rekursionsbeziehungen ermittelt werden

Diese Beziehungen können leicht mit Hilfe von Definitionen und Eigenschaften erhalten werden.

Beweise: 1. Wir kennen die Hermite-Gleichung

y”-2xy'+2ny = 0

und die Beziehung

indem wir teilweise nach x differenzieren, können wir es schreiben als

aus diesen beiden Gleichungen

ersetze jetzt n durch n-1

durch Gleichsetzen des Koeffizienten von tⁿ

das erforderliche Ergebnis ist also

2. In ähnlicher Weise teilweise nach t differenzieren die Gleichung

erhalten wir

n=0 wird verschwinden, indem dieser Wert von e

Gleichsetzen der Koeffizienten von tⁿ

so

3. Um dieses Ergebnis zu beweisen, eliminieren wir H_n-1 für

und

also bekommen wir

damit können wir das Ergebnis schreiben

4. Um dieses Ergebnis zu beweisen, differenzieren wir

wir bekommen die beziehung

den Wert ersetzen

und Ersetzen von n durch n+1

was gibt

Beispiele zu Rekursionsbeziehungen des Hermite-Polynoms

1.Zeig das

H_2n(0) = (-1)ⁿ. 2²ⁿ (1 / 2)ⁿ

Lösung:

Um das Ergebnis zu zeigen haben wir

H2n(x) =

Nehmen wir x=0 hier erhalten wir

2. Zeigen Sie das

H'_{2n + 1}(0) = (-1)ⁿ 2^{2n + 1} (3 / 2)²

Lösung:

Da aus der Wiederholungsbeziehung

H'_n(x) = 2nH_n-1(X)

hier ersetze n durch 2n+1 so

H'_2n-1(x) = 2(2n+1)H_2n(X)

nehmen x=0

3. Finden Sie den Wert von

H_{2n + 1}(0)

Lösung

Da wissen wir

verwende hier x=0

H_2n-1(0) = 0

4. Finden Sie den Wert von H'_2n(0).

Lösung :

Wir haben die Wiederholungsbeziehung

H'_n(x) = 2nH_n-1(X)

hier ersetze n durch 2n

H'_2n(x) = =2(2n)H_2n-1(X)

setze x=0

H'_2n(0) = (4n)H_2n-1(0) = 4n*0=0

5. Zeigen Sie das folgende Ergebnis

Lösung :

Verwendung der Wiederholungsbeziehung

H'_n(x) = 2nH_n-1 (X)

so

und

d³/dx³ {H_n(x)} = 2³n(n-1)(n-2)H_n-3(X)

differenziere das m mal

was gibt

6. Zeigen Sie das

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(X)

Lösung :

wir können schreiben

aus dem Koeffizienten von tⁿ Wir haben

und für -x

7. Werten Sie das Integral aus und zeigen Sie

Lösung : Zur Lösung dieses Integrals verwenden Sie Integrationsteile as

Nun differenzieren unter dem Integralzeichen differenzieren mit

Bezug auf x

Verwendung von

H'_n(x) = 2_nH_n-1 (X)

und

H'_m(x) = 2mH_m-1 (X)

Wir haben

und seit

???? _{n, m-1} = ????_{n+1, m}

der Wert des Integrals ist also

Fazit:

Das spezifische Polynom, das in der Anwendung häufig vorkommt, ist das Hermite-Polynom. Daher wurden die grundlegende Definition, die Erzeugungsfunktion, Wiederholungsbeziehungen und Beispiele im Zusammenhang mit dem Hermite-Polynom hier kurz besprochen. Wenn Sie weitere Lektüre benötigen, lesen Sie weiter

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

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DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ich bin Dr. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ich habe meinen Ph.D. abgeschlossen. in Mathematik und arbeitet als Assistenzprofessor für Mathematik. Verfügt über 12 Jahre Erfahrung im Unterrichten. Verfügt über umfangreiche Kenntnisse in reiner Mathematik, insbesondere in Algebra. Sie verfügen über die immense Fähigkeit, Probleme zu entwerfen und zu lösen. Kann Kandidaten motivieren, ihre Leistung zu steigern.
Ich liebe es, zu Lambdageeks beizutragen, um Mathematik sowohl für Anfänger als auch für Experten einfach, interessant und selbsterklärend zu machen.