EINFÜHRUNG
Was ist Mathematik? Ist es Berechnung? Ist es logisch? Sind es Symbole? Bilder? Grafiken? Es stellt sich heraus, es ist all dies und noch viel mehr. ES IST ABER EINE SPRACHE. Die universelle Sprache mit ihren Symbolen, Zeichen, Ausdrücken, ihrem Wortschatz, ihrer Grammatik und allem, was eine Sprache ausmacht, alles perfekt begründet, einzigartig und in ihrer Bedeutung eindeutig. Es ist die Sprache, in der die Gesetze des Universums geschrieben sind. Daher ist es die Sprache, die wir lernen und erforschen müssen, um die Geheimnisse der Natur zu enträtseln. Mit dieser Philosophie müssen wir unsere Diskussion über eines der schönsten und grundlegendsten mathematischen Themen, die FUNKTIONSTHEORIE, beginnen.
WAS SIND AUSDRÜCKE, GLEICHUNGEN UND IDENTITÄTEN?
Wie alle genau definierten Sprachen verfügt auch die Mathematik über eigene Symbole und Zeichen, numerisch und alphabetisch. Ein Ausdruck in der Mathematik ist eine Kombination solcher Symbole und Zeichen. Dies alles wird hier erklärt Funktionstheorie Diskussion.
5 + 2 / (9-3)
7a + 2b-3c
2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α – β)
Dies sind alles mathematische Ausdrücke. Egal, ob sie ausgewertet werden könnten oder nicht, ob sie aussagekräftig sind und der richtigen Syntax folgen, sie sind Ausdrücke.
Wenn wir nun zwei Ausdrücke mit einem '=' - Zeichen vergleichen, haben wir so etwas wie…
(1+x)2 = 1+2x+x2
Dies ist ein Ausdruck für die Gleichheit zweier Ausdrücke, die auf beiden Seiten eines = -Zeichens geschrieben sind. Beachten Sie, dass diese Gleichheit für alle Werte von x gilt. Diese Art von Gleichheit wird als IDENTITÄTEN bezeichnet.
(1+x)2 = 2+3x+2x2…………..(1)
Oder wie
(1+x)2 = 7-3x+2x2…………(2)
Dann gelten sie nicht für alle Werte von x, sondern für einige Werte von x wie (2) oder für NO-Werte von x wie (1). Diese werden GLEICHUNGEN genannt.
Zusammenfassend sind Gleichungen, die für alle Werte der Variablen gelten, IDENTITÄTEN. Und Gleichungen, die für einige oder keine Werte der Variablen gelten, sind GLEICHUNGEN.
WARUM BRAUCHEN WIR DAS FUNKTIONSKONZEPT?
Ist es nicht erstaunlich, dass das Universum so perfekt ausbalanciert ist? Ein System von solch enormer Größe, das aus so vielen kleineren Systemen besteht, von denen jedes so viele Variablen hat, die miteinander interagieren, sich aber so gut verhält. Scheint es nicht, dass alles von einer Reihe von Regeln regiert wird, die unsichtbar sind, aber überall existieren? Nehmen Sie das Beispiel der Gravitationskraft. Es ist umgekehrt proportional zur Entfernung zwischen Körpern, und diese Regel wird von allen Dingen überall im Universum befolgt. Wir müssen also eine Möglichkeit haben, solche Regeln auszudrücken, beispielsweise Verbindungen zwischen Variablen.
Wir sind von solchen Variablen umgeben, die von anderen Variablen abhängen. Die Länge des Schattens eines Gebäudes hängt von seiner Höhe und der Tageszeit ab. Die vom Auto zurückgelegte Strecke hängt vom vom Motor erzeugten Drehmoment ab. Es ist das Konzept der Funktionstheorie, das es uns ermöglicht, solche Beziehungen mathematisch auszudrücken.
WAS IST EINE FUNKTION IN MATH?
Funktionsregel oder FUNKTION als Regel
Einfach ausgedrückt ist eine Funktion eine Regel, die zwei oder mehr Variablen bindet. Wenn die Variablen nur reelle Werte annehmen dürfen, ist es einfach ein Ausdruck, der eine Regel oder einen Regelsatz definiert, der jeder bestimmten reellen Zahl eine reelle Zahl zuweist.
Nun erfordert diese Definition sicherlich einige Klarstellungen, die durch die Beispiele wie gegeben werden
1. Die Regel, die jeder Zahl die Potenz dieser Zahl zuordnet.
f(x) = x3
2. Die Regel, die (x2-x-1)/x3 zu jedem x
f(x) = (x2-x-1)/x3
3. Die zuweisende Regel (x2-x-1)/(x2+x+1) auf alle x, die ungleich 1 sind und die Zahl 0 bis 1
f(x) = (x2-x-1)/(x2+x+1) für x ≠ 1
= 0 für x = 1
- f(x) = x2
für -1 <x <π / 3
- Die zuweisende Regel
2 bis Nummer 5
3 bis Nummer 8/3
π / 2 bis Nummer 1
und zum Rest
- Die Regel, die einer Zahl x zuweist, die Anzahl der Einsen in ihrer Dezimalerweiterung, wenn die Anzahl endlich ist, und 1, wenn die Erweiterung unendlich viele Einsen enthält.
Diese Beispiele sollten eines sehr deutlich machen, dass eine Funktion jede Regel ist, die Zahlen bestimmten anderen Zahlen zuweist. Diese Regeln sind möglicherweise nicht immer durch algebraische Formulierung ausdrückbar. Diese weisen möglicherweise nicht einmal auf eine eindeutige Bedingung hin, die für alle Nummern gilt. Und es muss keine Regel sein, die man in der Praxis oder in der realen Welt finden kann, wie die in Regel 6. Niemand kann sagen, welche Zahl diese Regel der Zahl π oder √2 zuordnet. Die Regel gilt möglicherweise auch nicht für einige Zahlen. Beispielsweise gilt Regel 2 nicht für x=0. Die Menge der Zahlen, für die die Regel gilt, wird DOMÄNE der Funktion genannt.
WAS BEDEUTET y = f (x)?
Beachten Sie, dass wir den Ausdruck y=f(x) verwenden, um eine Funktion zu schreiben. Immer wenn wir einen Ausdruck mit 'f(x) = y' beginnen, meinen wir, dass wir dabei sind, eine Funktion zu definieren, die eine Menge von Zahlen mit einer Menge von Werten der Variablen x in Beziehung setzt.
AUFGABE als eine Beziehung
Mit anderen Worten, und vielleicht allgemeiner ausgedrückt, ist eine Funktion eine Beziehung zwischen zwei Mengen A und B, wobei allen Elementen in der Menge A ein Element aus der Menge B zugewiesen ist. Die Elemente aus Menge B. werden die genannt IMAGES und die Elemente der Menge A heißen die VORBILDER.
Der Prozess der Zuordnung der Elemente wird aufgerufen KORR. Natürlich gibt es viele Möglichkeiten, wie diese Zuordnungen vorgenommen werden können, aber wir würden nicht alle als Funktionen aufrufen. Nur die Zuordnungen, die die Elemente so in Beziehung setzen, dass jedes Element in Satz A genau ein Bild in Satz B hat, sind als Funktionen zu bezeichnen. Es wird manchmal geschrieben als f: A–> B. Dies ist zu lesen als 'f ist eine Funktion von A nach B'.
Die Menge A heißt die DOMAIN der Funktion und der Menge B heißt die CO-DOMÄNE der Funktion. Wenn f so ist, dass das Bild eines Elements a von Menge A das Element b von Menge B ist, dann schreiben wir f (a) = b, lesen als 'f von a ist gleich b' oder 'b ist der Wert von f bei a 'oder' b ist das Bild von a unter f '.
ARTEN VON FUNKTIONEN
Funktionen können so klassifiziert werden, wie sie die beiden Sätze in Beziehung setzen.
Eins - Eins oder Injektionsfunktion
Die Figur sagt alles. Wenn eine Funktion jedes Element einer Menge mit einem eindeutigen Element einer anderen Menge in Beziehung setzt, handelt es sich um eine Eins-zu-Eins- oder eine injektive Funktion.
Viele - eine Funktion
Auch hier ist die Figur ziemlich selbsterklärend. Offensichtlich gibt es mehr als ein Vorbild zu einem bestimmten Bild. Daher ist die Zuordnung viele zu eins. Beachten Sie, dass dies nicht gegen die Definition einer Funktion verstößt, da kein Element aus Satz A mehr als ein Bild in Satz B enthält.
ONTO-Funktion oder SURJECTIVE-Funktion
Wenn alle Elemente der Menge B mindestens ein Vorbild haben, heißt die Funktion Auf oder Surjektiv. Die Zuordnung kann eins zu eins oder viele zu eins sein. Die oben abgebildete ist offensichtlich viele zu eins auf Mapping. Beachten Sie, dass sich das Bild, das zuvor für die Darstellung einer Eins-zu-Eins-Zuordnung verwendet wurde, auch auf der Zuordnung befindet. Diese Art von Eins-zu-Eins-Zuordnung wird auch als bezeichnet BIJEKTIV Kartierung.
In die Funktion
Wenn mindestens ein Bild ohne Vorbild vorhanden ist, handelt es sich um eine INTO-Funktion. In Funktion kann eins zu eins oder viele zu eins sein. Der oben abgebildete ist offensichtlich eins zu eins in.
GRAFIK EINER FUNKTION
Wie bereits erwähnt, weist eine Funktion bestimmten reellen Zahlen reelle Zahlen zu. Es ist durchaus möglich und bequem, das Zahlenpaar auf der kartesischen XY-Ebene zu zeichnen. Die durch Verbinden der Punkte erhaltene Spur ist der Graph der Funktion.
Betrachten wir eine Funktion f(x) = x + 3. Dann könnten wir f(x) bei x=1,2,3 auswerten, um drei Paare von x und f(x) als (1,4) zu erhalten, ( 3,6) und (5,8). Das Zeichnen dieser Punkte und ihre Verbindung zeigt, dass die Funktion eine gerade Linie in der xy-Ebene verfolgt. Diese Linie ist der Graph der Funktion.
Offensichtlich variiert die Art der Spur entsprechend dem Ausdruck für die Funktion. So erhalten wir eine Reihe von Graphen für verschiedene Arten von Ausdrücken. Einige sind gegeben.
Die Graphen von f(x) = sin x, f(x) = x2 und f(x) = ex von links nach rechts
An dieser Stelle sieht man, dass der Ausdruck für eine Funktion eigentlich wie der einer Gleichung aussieht. Und es ist wahr, zum Beispiel y = x + 3 ist in der Tat sowohl eine Gleichung als auch eine Funktionsdefinition. Das bringt uns zu der Frage, sind alle Gleichungen Funktionen? Wenn nicht, dann
Wie kann man feststellen, ob eine Gleichung eine Funktion ist?
Alle zuvor in den Diagrammen dargestellten Gleichungen sind eigentlich Funktionen, da es für alle genau einen Wert von f(x) oder y für einen Wert von x gibt. Das bedeutet, dass der Ausdruck für f(x) nur einen Wert ergeben sollte, wenn er für einen beliebigen Wert von x ausgewertet wird. Dies gilt für jede lineare Gleichung. Betrachten wir aber die Gleichung y2 = 1-x2Wir finden, dass es immer zwei Lösungen für alle x innerhalb von 0 bis 1 gibt, mit anderen Worten, jedem Wert von x innerhalb seines Bereichs werden zwei Bilder zugewiesen. Dies verstößt gegen die Definition einer Funktion und kann daher nicht als Funktion bezeichnet werden.
Aus dem Diagramm sollte klarer hervorgehen, dass es genau zwei Bilder von jedem x gibt, da eine vertikale Linie, die an einem beliebigen Punkt auf der x-Achse gezeichnet wird, das Diagramm an genau zwei Punkten schneidet.
Dies bringt uns zu einer wichtigen Schlussfolgerung: Nicht alle Gleichungen sind Funktionen. Und ob eine Gleichung eine Funktion ist, kann durch die überprüft werden vertikaler LinientestDies stellt sich einfach eine variable vertikale Linie an jedem Punkt auf der x-Achse vor und prüft, ob sie an einem einzelnen Punkt auf den Graphen trifft.
Dies beantwortet auch eine andere wichtige Frage, nämlich Wie kann man feststellen, ob eine Funktion eins zu eins ist? Diese Antwort befindet sich sicherlich auch in der Grafik und kann durch den vertikalen Linientest überprüft werden.
Nun könnte man fragen, ob es eine Möglichkeit gibt, dasselbe zu sagen, ohne den Graphen zu erhalten, oder ob es algebraisch erzählt werden könnte, da es nicht immer einfach ist, Graphen von Funktionen zu zeichnen. Nun, die Antwort lautet: Ja, dies kann einfach dadurch erfolgen, dass f(a)=f(b) impliziert, dass a=b. Das heißt, selbst wenn f(x) für zwei Werte von x den gleichen Wert annimmt, können die beiden Werte von x nicht unterschiedlich sein. Nehmen wir ein Beispiel der Funktion
y = (x-1) / (x-2)
Wie man bemerken würde, ist es schwierig, den Graphen dieser Funktion zu zeichnen, da er nicht linearer Natur ist und nicht zur Beschreibung einer bekannten Kurve passt und außerdem nicht bei x = 2 definiert ist. Dieses Problem erfordert also definitiv einen anderen Ansatz als der vertikale Linientest.
Also beginnen wir mit dem Vermieten
f (a) = f (b)
=> (a-1) / (a-2) = (b-1) / (b-2)
=> (a-1) (b-2) = (b-1) (a-2)
=> ab-2a-b + 2 = ab-2b-a + 2
=> 2a + b = 2b + a
=> 2 (ab) = (ab)
Dies ist nur für a-b=0 oder a=b möglich
Die Funktion ist also in der Tat eins zu eins, und wir haben sie ohne grafische Darstellung bewiesen.
Jetzt möchten wir sehen, wann eine Funktion diesen Test nicht besteht. Vielleicht möchten wir die Gleichung des Kreises testen, den wir zuvor getestet haben. Wir beginnen mit dem Schreiben
f (a) = f (b)
f(x) = x2
=> a2=b2
a2 =b2
=> a = b oder a = -b
Was einfach bedeutet, dass es andere Lösungen als a = b gibt, daher ist f (x) keine Funktion.
Ist es so schwierig zu planen y = (x-1) / (x-2)?
Wir werden die grafische Darstellung einer Funktion in den kommenden Artikeln ausführlicher behandeln, aber hier ist es notwendig, sich mit den Grundlagen der grafischen Darstellung vertraut zu machen, da dies bei der Problemlösung immens hilfreich ist. Eine visuelle Interpretation eines Kalkülproblems macht das Problem oft sehr einfach und das Wissen, wie eine Funktion grafisch dargestellt wird, ist der Schlüssel zu einer guten visuellen Interpretation.
Um also den Graphen von (x-1)/(x-2) zu zeichnen, Wir beginnen mit einigen kritischen Beobachtungen wie
1. Die Funktion wird bei x = 0 zu 1.
2. Die Funktion wird bei x = 2 undefiniert.
3. Die Funktion ist bis auf 1 überall positiv
Da in diesem Intervall (x-1) positiv und (x-2) negativ ist, wird das Verhältnis dadurch negativ.
4. Wenn x auf -∞ geht, nähert sich die Funktion der Einheit von der unteren Seite, was bedeutet, dass sie nahe an 1 geht, aber immer kleiner als 1 ist.
Denn für x <0 ist (x-1) / (x-2) = (| x | +1) / (| x | +2) <1 als | x | +2> | x | +1
5. Wenn x auf + ∞ geht, nähert sich die Funktion von oben der Einheit, was bedeutet, dass sie nahe an 1 geht, aber immer größer als 1 ist.
6. Wenn x von links auf 2 geht, geht die Funktion auf -∞.
7. Wenn x von rechts auf 2 geht, geht die Funktion auf + ∞.
8. Die Funktion nimmt für x> 2 immer ab.
BEWEIS:
Wir nehmen zwei nahe Werte von x als (a, b), so dass (a, b)> 2 und b> a
jetzt f (b) - f (a)
= (b-1) / (b-2) - (a-1) / (a-2)
={(b-1)(a-2)-(a-1)(b-2)}/(a-2)(b-2)
= (ab) / {(a-2) (b-2)}
<0 als (ab) <0 für b> a
und (a-2) (b-2)> 0 als (a, b)> 2
Dies impliziert f (b) 2, mit anderen Worten, f (x) nimmt für x> 2 streng ab
- 9. Die Funktion nimmt für x <2 immer ab
- Beweis: wie zuvor. Wir überlassen es Ihnen, es zu versuchen.
Die Kombination dieser Beobachtungen macht die grafische Darstellung recht einfach. Wenn wir 4,9 und 6 kombinieren, können wir sagen, dass wenn x von -∞ nach 2 geht, die Spur von eins beginnt und allmählich auf 0 bei x = 1 fällt und bei x = 2 weiter auf -∞ fällt. Bei erneuter Kombination von 7,5 und 8 ist leicht zu erkennen, dass bei einem Anstieg von x von 2 auf + ∞ die Spur von + ∞ abfällt und sich der Einheit nähert, ohne sie wirklich zu berühren.
Dadurch sieht das gesamte Diagramm so aus
Nun wird deutlich, dass die Funktion tatsächlich eins zu eins ist.
FAZIT
Bisher haben wir die Grundlagen der Funktionstheorie diskutiert. Wir sollten uns jetzt über die Definitionen und Arten von Funktionen im Klaren sein. Wir hatten auch eine kleine Vorstellung von der grafischen Interpretation von Funktionen. Der nächste Artikel wird viel detaillierter auf Konzepte wie Bereich und Domäne, inverse Funktionen, verschiedene Funktionen und ihre Diagramme sowie viele ausgearbeitete Probleme eingehen. Um tiefer in die Studie einzusteigen, sollten Sie lesen
Kalkül von Michael Spivak.
Algebra von Michael Artin.
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