Inverse Gammaverteilung und Momenterzeugungsfunktion der Gammaverteilung
In Fortsetzung der Gammaverteilung werden wir das Konzept der inversen Gammaverteilung und der Momenterzeugungsfunktion, das Maß für den Mittelwert der zentralen Tendenzen, den Modus und den Median der Gammaverteilung sehen, indem wir einige der grundlegenden Eigenschaften der Gammaverteilung befolgen.
Gammaverteilungseigenschaften
Einige der wichtige Eigenschaften der Gammaverteilung werden wie folgt eingetragen
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Gammaverteilung ist
or
wo die Gammafunktion ist
2. Die kumulative Verteilungsfunktion für die Gammaverteilung ist
wobei f (x) die oben angegebene Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist, insbesondere cdf
und
jeweils oder
E [X] = α * β
und
- Die Momenterzeugungsfunktion M (t) für die Gammaverteilung ist
or
- Die Kurve für pdf und cdf ist
- Die inverse Gammaverteilung kann definiert werden, indem der Kehrwert der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gammaverteilung als genommen wird
- Die Summe der unabhängigen Gammaverteilung ist wieder die Gammaverteilung mit der Summe der Parameter.
inverse Gammaverteilung normale inverse Gammaverteilung
Wenn in der Gammaverteilung in der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
or
Nehmen wir die Variable reziprok oder invers, dann ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Somit ist bekannt, dass die Zufallsvariable mit dieser Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion die inverse Gamma-Zufallsvariable oder die inverse Gammaverteilung oder die invertierte Gammaverteilung ist.
Die obige Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in jedem Parameter, den wir entweder in Form von Lambda oder Theta annehmen können, ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die der Kehrwert der Gammaverteilung ist, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der inversen Gammaverteilung.
Kumulative Verteilungsfunktion oder cdf der inversen Gammaverteilung
Die kumulative Verteilungsfunktion für die inverse Gammaverteilung ist die Verteilungsfunktion
wobei f (x) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der inversen Gammaverteilung als ist
Mittelwert und Varianz der inversen Gammaverteilung
Der Mittelwert und die Varianz der inversen Gammaverteilung unter Befolgung der üblichen Definition von Erwartung und Varianz sind
und
Mittelwert und Varianz des inversen Gammaverteilungsnachweises
Ermittlung des Mittelwerts und der Varianz der inversen Gammaverteilung mithilfe der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
und die Definition von Erwartungen finden wir zuerst die Erwartung für jede Potenz von x als
im obigen Integral haben wir die Dichtefunktion als verwendet
jetzt für den Wert von α größer als eins und n als eins
In ähnlicher Weise ist der Wert für n = 2 für Alpha größer als 2
Wenn wir diese Erwartungen verwenden, erhalten wir den Wert der Varianz als
Inverses Gammaverteilungsdiagramm | Inverses Gammaverteilungsdiagramm
Die inverse Gammaverteilung ist der Kehrwert der Gammaverteilung, so dass es während der Beobachtung der Gammaverteilung gut ist, die Natur der Kurven der inversen Gammaverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion als zu beobachten
und die kumulative Verteilungsfunktion durch Folgen
Beschreibung: Graphen für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und kumulative Verteilungsfunktion, indem der Wert von α auf 1 festgelegt und der Wert von β variiert wird.
Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Werts von α als 2 und Variieren des Werts von β
Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Werts von α als 3 und Variieren des Werts von β.
Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Werts von β als 1 und Variieren des Werts von α.
Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Werts von β als 2 und Variieren des Werts von α
Beschreibung: Diagramme für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und die kumulative Verteilungsfunktion durch Festlegen des Werts von β als 3 und Variieren des Werts von α.
Momenterzeugungsfunktion der Gammaverteilung
Bevor wir das Konzept der Momenterzeugungsfunktion für die Gammaverteilung verstehen, erinnern wir uns an ein Konzept der Momenterzeugungsfunktion
Moments
Der Augenblick des zufällige Variable wird mit Hilfe von Erwartung als definiert
Dies ist als r-tes Moment der Zufallsvariablen X bekannt. Es ist das Moment um den Ursprung und allgemein als Rohmoment bekannt.
Nehmen wir den r-ten Moment der Zufallsvariablen um den Mittelwert μ als
Dieser Moment um den Mittelwert ist als zentrales Moment bekannt und die Erwartung entspricht der Natur der Zufallsvariablen als
im zentralen Moment, wenn wir Werte von r setzen, erhalten wir einige anfängliche Momente als
Wenn wir die Binomialerweiterung in den zentralen Momenten nehmen, können wir leicht die Beziehung zwischen den zentralen und rohen Momenten als erhalten
Einige der anfänglichen Beziehungen sind wie folgt
Momenterzeugungsfunktion
Die Momente, die wir mit Hilfe einer Funktion erzeugen können, ist als Momenterzeugungsfunktion bekannt und definiert als
Diese Funktion erzeugt die Momente mit Hilfe der Erweiterung der Exponentialfunktion in einer der beiden Formen
mit Taylors Form als
Die Differenzierung dieser erweiterten Funktion in Bezug auf t ergibt die verschiedenen Momente als
auf eine andere Weise, wenn wir die Ableitung direkt als nehmen
da für beide diskret
und kontinuierlich haben wir
also für t = 0 werden wir bekommen
Gleichfalls
as
und allgemein
Für den Moment gibt es zwei wichtige Beziehungen, die Funktionen erzeugen
Momenterzeugungsfunktion einer Gammaverteilung mgf der Gammaverteilung Momenterzeugungsfunktion für die Gammaverteilung
Nun zum Gamma Verteilung der momenterzeugenden Funktion M(t) für das pdf
is
und für das pdf
Die Momenterzeugungsfunktion ist
Gammaverteilungsmoment erzeugender Funktionsnachweis | mgf Gammaverteilungsnachweis
Nehmen Sie nun zunächst die Form der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion als an
und unter Verwendung der Definition der Momenterzeugungsfunktion M (t), die wir haben
Wir können den Mittelwert und die Varianz der Gammaverteilung mit Hilfe der Momenterzeugungsfunktion als Differenzierung in Bezug auf t zweimal diese Funktion finden, die wir erhalten werden
Wenn wir t = 0 setzen, ist der erste Wert
und
Setzen Sie nun den Wert dieser Erwartung ein
alternativ für das pdf des formulars
Die Momenterzeugungsfunktion wird sein
und Differenzieren und Setzen von t = 0 ergibt Mittelwert und Varianz wie folgt
2. Moment der Gammaverteilung
Das zweite Moment der Gammaverteilung durch zweimaliges Differenzieren der Momenterzeugungsfunktion und Setzen des Wertes von t = 0 in die zweite Ableitung dieser Funktion erhalten wir
dritter Moment der Gammaverteilung
Das dritte Moment der Gammaverteilung können wir finden, indem wir die Momenterzeugungsfunktion dreimal differenzieren und den Wert von t = 0 in die dritte Ableitung des erhaltenen mgf setzen
oder direkt durch Integration als
Sigma für die Gammaverteilung
Sigma oder Standardabweichung der Gammaverteilung können wir finden, indem wir die Quadratwurzel der Varianz der Gammaverteilung vom Typ ziehen
or
für jeden definierten Wert von Alpha, Beta und Lambda.
charakteristische Funktion der Gammaverteilung charakteristische Funktion der Gammaverteilung
Wenn die Variable t in der Momenterzeugungsfunktion eine rein imaginäre Zahl als t = iω ist, ist die Funktion als die charakteristische Funktion der Gammaverteilung bekannt, die als bezeichnet und ausgedrückt wird
Wie für jede Zufallsvariable ist die charakteristische Funktion
Somit ist für die Gammaverteilung die charakteristische Funktion durch Befolgen des PDF der Gammaverteilung
Folgende
Es gibt auch eine andere Form dieser Merkmalsfunktion, wenn
dann
Summe der Gammaverteilungen Summe der Exponentialverteilung Gamma
Um das Ergebnis der Summe der Gammaverteilung zu kennen, müssen wir zunächst die Summe der unabhängigen Zufallsvariablen für die kontinuierliche Zufallsvariable verstehen. Dazu haben wir Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen für die kontinuierlichen Zufallsvariablen X und Y und dann die kumulative Verteilungsfunktion für die Summe von Zufallsvariablen wird sein
Die Differenzierung dieser Integralfaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen von X und Y ergibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Summe der Zufallsvariablen als
Lassen Sie uns nun beweisen, dass wenn X und Y die Gamma-Zufallsvariablen mit entsprechenden Dichtefunktionen sind, die Summe auch eine Gammaverteilung mit der Summe derselben Parameter ist
unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Form
für die Zufallsvariable X nimm Alpha als s und für die Zufallsvariable Y nimm Alpha als t, also benutze die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Summe der Zufallsvariablen, die wir haben
hier ist C unabhängig von a, jetzt ist der Wert
welche die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Summe von X und Y darstellen und welche von der Gammaverteilung ist, daher repräsentiert die Summe der Gammaverteilung auch die Gammaverteilung durch die jeweilige Summe von Parametern.
Art der Gammaverteilung
Um den Modus der Gammaverteilung zu finden, betrachten wir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion als
Differenzieren Sie nun dieses PDF in Bezug auf x, wir erhalten die Differenzierung als
Dies ist Null für x = 0 oder x = (α -1) / λ
das sind also nur kritische Punkte bei der unsere erste Ableitung null sein wird, wenn alpha größer oder gleich null ist, dann ist x = 0 kein Modus, da dies pdf zu Null macht, sodass der Modus (α -1) / λ ist
und für Alpha, das streng kleiner als eins ist, nimmt die Ableitung von unendlich auf null ab, wenn x von null auf unendlich zunimmt, so dass dies nicht möglich ist, daher ist die Art der Gammaverteilung
Median der Gammaverteilung
Der Median der Gammaverteilung kann mit Hilfe der inversen Gammaverteilung als ermittelt werden
or
vorausgesetzt
was gibt
Gammaverteilungsform
Die Gammaverteilung nimmt abhängig vom Formparameter unterschiedliche Formen an, wenn der Formparameter eine Gammaverteilung ist, die der Exponentialverteilung entspricht. Wenn wir jedoch den Formparameter variieren, nimmt die Schiefe der Kurve der Gammaverteilung mit zunehmendem Form mit zunehmendem Formparameter ab Die Form der Kurve der Gammaverteilung ändert sich gemäß der Standardabweichung.
Schiefe der Gammaverteilung
Die Schiefe einer Verteilung kann beobachtet werden, indem die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion dieser Verteilung und der Schiefekoeffizient beobachtet werden
für die Gammaverteilung haben wir
so
Dies zeigt, dass die Schiefe nur dann von Alpha abhängt, wenn Alpha bis zur Unendlichkeitskurve ansteigt, symmetrischer und schärfer ist und wenn Alpha auf Null geht, ist die Gammaverteilungsdichtekurve positiv verzerrt, was in den Dichtediagrammen beobachtet werden kann.
verallgemeinerte Gammaverteilung Form- und Skalenparameter in der Gammaverteilung Gammaverteilung mit drei Parametern | multivariate Gammaverteilung
Wenn γ, μ und β die Form-, Orts- und Skalenparameter sind, können wir durch Zuweisen spezifischer Werte zu diesen Parametern die Gammaverteilung mit zwei Parametern erhalten, insbesondere wenn wir μ = 0, β = 1 setzen, erhalten wir die Standard-Gammaverteilung als
Unter Verwendung dieser 3-Parameter-Gammaverteilungswahrscheinlichkeitsdichtefunktion können wir die Erwartung und Varianz finden, indem wir ihrer Definition folgen.
Fazit:
Das Konzept des Kehrwerts der Gammaverteilung also inverse Gammaverteilung Im Vergleich zur Gammaverteilung und Messung der zentralen Tendenzen der Gammaverteilung mit Hilfe der Momenterzeugungsfunktion standen im Mittelpunkt dieses Artikels, wenn Sie weitere Informationen benötigen, lesen Sie die vorgeschlagenen Bücher und Links. Weitere Beiträge zur Mathematik finden Sie auf unserer Mathematik-Seite.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Ein erster Wahrscheinlichkeitskurs von Sheldon Ross
Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik
Eine Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik von ROHATGI und SALEH
