2D-Koordinatengeometrie: 11 wichtige Fakten

Ortskurve in 2D-Koordinatengeometrie

Lokus ist ein lateinisches Wort. Es leitet sich vom Wort „Ort“ oder „Ort“ ab. Der Plural von Lokus ist Loci.

Definition des Ortes:

In der Geometrie ist „Locus“ eine Menge von Punkten, die eine oder mehrere spezifizierte Bedingungen einer Figur oder Form erfüllen. In der modernen Mathematik wird der Ort oder die Bahn, auf der sich ein Punkt auf der Ebene bewegt, die gegebene geometrische Bedingungen erfüllt, als Ort des Punktes bezeichnet.

Der Ort wird für Linien, Liniensegmente und die regelmäßigen oder unregelmäßigen gekrümmten Formen definiert, mit Ausnahme der Formen, die in der Geometrie Scheitelpunkte oder Winkel enthalten. https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

Beispiele für Locus:

Linien, Kreise, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln usw. alle diese geometrischen Formen werden durch den Ort der Punkte definiert.

Gleichung des Ortes:

Die algebraische Form der geometrischen Eigenschaften oder Bedingungen, die von den Koordinaten aller Punkte auf der Ortskurve erfüllt werden, ist als Gleichung der Ortskurve dieser Punkte bekannt.

Methode zum Erhalten der Gleichung des Ortes:

Um die Ortsgleichung eines sich bewegenden Punktes auf einer Ebene zu finden, befolgen Sie den unten beschriebenen Prozess

(i) Nehmen Sie zunächst an, die Koordinaten eines sich bewegenden Punktes auf einer Ebene seien (h,k).

(ii) Leiten Sie zweitens eine algebraische Gleichung mit h und k aus den gegebenen geometrischen Bedingungen oder Eigenschaften her.

(iii) Drittens, ersetze h und k durch x bzw. y in der obigen Gleichung. Nun wird diese Gleichung die Gleichung der Ortskurve des bewegten Punktes auf der Ebene genannt. (x,y) sind die aktuellen Koordinaten des bewegten Punktes und die Ortsgleichung muss immer in Form von x und y, dh aktuellen Koordinaten, abgeleitet werden.

Hier sind einige Beispiele, um das Konzept des Locus zu verdeutlichen.

4+verschiedene Arten von gelösten Problemen auf Locus:

Problem 1: If P ein beliebiger Punkt auf der XY-Ebene sein, der von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt ist A (3,2) und B(2,-1) auf derselben Ebene, dann finden Sie den Ort und die Ortsgleichung des Punktes P mit dem Graphen.

Lösung: 

Angenommen, die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Ort von P auf der XY-Ebene sind (h,k).

Da P gleich weit von A und B entfernt ist, können wir schreiben

Der Abstand von P von A=Der Abstand von P von B

Oder: |PA|=|PB|

Oder, (h² -6h+9+k² -4k+4) = (h² -4h+4+k² +2k+1)——– im Quadrat zu beiden Seiten.

Oder, h² -6h+13+k² -4k -h²+4h-5k² -2k = 0

Oder -2h -6k+8 = 0

Oder h+3k -4 = 0

Oder h+3k = 4 ——– (1)

Dies ist eine Gleichung ersten Grades von h und k.

Wenn nun h und k durch x und y ersetzt werden, wird die Gleichung (1) zur Gleichung ersten Grades von x und y in der Form x + 3y = 4, die eine gerade Linie darstellt.

Daher ist der Ort des Punktes P(h, k) auf der XY-Ebene eine gerade Linie und die Ortsgleichung lautet x + 3y = 4 . (Antwort)

Problem 2: Sollten Sie jetzt aufgefordert werden, ein Punkt R bewegt sich auf der XY-Ebene so, dass RA : RB = 3:2 wo die Koordinaten der Punkte A und B sind (-5,3) und (2,4) jeweils auf derselben Ebene, dann finden Sie den Ort des Punktes R.

Welchen Kurventyp gibt die Ortsgleichung von R an?

Lösung: Nehmen wir an, dass die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Ort des gegebenen Punktes R auf XY-Ebene be (m, n).

Gemäß gegebener Bedingung RA : RB = 3:2,

wir haben,

(Der Abstand von R von A) / (Der Abstand von R von B) = 3/2

Oder, (m² +10m+34+n² -6n) / (m² -4m+n² -8n+20) =9/4 ———– im Quadrat zu beiden Seiten.

Oder 4(m² +10m+34+n² -6n) = 9(m² -4m+n² -8n+20)

Oder 4m² +40m+136+4n² -24n = 9m² -36m+9n² -72n+180)

Oder 4m² +40m+136+4n² -24n – 9m² +36m-9n² +72n-180 = 0

Oder -5m² +76m-5n²+48n-44 = 0

Oder 5(m²+n²)-76m+48n+44 = 0 ———-(1)

Dies ist eine Gleichung zweiten Grades von m und n.

Wenn nun m und n durch x und y ersetzt werden, wird die Gleichung (1) zur Gleichung zweiten Grades von x und y in der Form 5(x²+y²)-76x+48y+44 = 0 wobei die Koeffizienten von x² und y² gleich sind und der Koeffizient von xy null ist. Diese Gleichung stellt einen Kreis dar.

Daher ist der Ort des Punktes R(m, n) auf der XY-Ebene ein Kreis und die Gleichung des Ortes lautet

5 (x²+y²)-76x+48y+44 = 0 (Antwort)

Problem 3: Für alle Werte von (θ,aCosθ,bSinθ) sind die Koordinaten ein Punkt P, der sich auf der XY-Ebene bewegt. Finden Sie die Ortsgleichung von P.

Lösung: seien (h, k) die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der auf dem Ort von P auf der XY-Ebene liegt.

Dann können wir nach der Frage sagen

h = ein Cosθ

Oder h/a = Cosθ —————(1)

Und k = b Sinθ

Oder k/b = Sinθ —————(2)

Nehmen wir nun das Quadrat der beiden Gleichungen (1) und (2) und addieren Sie dann, haben wir die Gleichung

h²/a² +k²/b² = Kos²θ + Sünde²θ

Oder, h²/a² +k²/b² = 1 (Da Cos²θ + Sünde²θ =1 in der Trigonometrie)

Daher ist die Ortsgleichung des Punktes P x²/a² + y²/b² = 1. (Antwort)

Aufgabe 4: Finden Sie die Ortsgleichung eines Punktes Q, der sich auf der XY-Ebene bewegt, wenn die Koordinaten von Q . sind

wobei u der variable Parameter ist.

Lösung: Die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Ort des gegebenen Punktes Q während der Bewegung auf der XY-Ebene seien (h, k).

Dann ist h = und k =

dh h(3u+2) = 7u-2 und k(u-1) = 4u+5

dh (3h-7)u = -2h-2 und (k-4)u = 5+k

dh u = —————(1)

und u = —————(2)

Wenn wir nun die Gleichungen (1) und (2) gleichsetzen, erhalten wir:

Oder (-2h-2)(k-4) = (3h-7)(5+k)

Or, -2hk+8h-2k+8 = 15h+3hk-35-7k

Or, -2hk+8h-2k-15h-3hk+7k = -35-8

Oder -5hk-7h+5k = -43

Oder 5hk+7h-5k = 43

Daher lautet die Ortsgleichung von Q 5xy+7x-5y = 43.

Weitere Beispiele auf Locus mit Antworten zum eigenen Üben:

Probleme 5: Wenn θ eine Variable und u eine Konstante ist, dann finden Sie die Ortsgleichung des Schnittpunkts der beiden Geraden x Cosθ + y Sinθ = u und x Sinθ – y Cosθ = u. (Antwort x²+y² =2 u² )

Probleme 6: Finden Sie die Ortsgleichung des Mittelpunkts des Liniensegments der geraden Linie x Sinθ + y Cosθ = t zwischen den Achsen. (Ans. 1/x²+ 1 /y² =4/t² )

Probleme 7: Bewegt sich ein Punkt P so auf der XY-Ebene, dass die Fläche des Dreiecks durch den Punkt mit zwei Punkten (2,-1) und (3,4) gebildet wird. (Antwort 5x-y=11)

Grundlegende Beispiele zu den Formeln „Schwerpunkt eines Dreiecks“  in 2D-Koordinatengeometrie

Schwerpunkt: Die drei Mediane eines Dreiecks schneiden sich immer in einem Punkt, der im inneren Bereich des Dreiecks liegt und den Median im Verhältnis 2:1 von jedem Scheitelpunkt zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite teilt. Dieser Punkt wird als Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet.   

Aufgaben 1: Finden Sie den Schwerpunkt des Dreiecks mit den Eckpunkten (-1,0), (0,4) und (5,0).

Lösung:  Wir wissen es schon,

                                             If  Axt₁,y₁), B(x₂,y₂) und C(x₃,y₃) seien die Eckpunkte eines Dreiecks und G(x,y) sei der Schwerpunkt des Dreiecks, dann Koordinaten von G sind

und

Mit dieser Formel haben wir 

(x₁,y₁) ≌(-1,0) dh x₁=-1, y₁=0;

(x₂,y₂) ≌(0,4) dh   x₂= 0, y₂= 4 und

(x₃,y₃) ≌(5,0) dh   x₃= 5, y₃=0

(Siehe Formeltabelle)

Also die x-Koordinate des Schwerpunkts G,   

dh

dh x=4/3

                  und 

die y-Koordinate des Schwerpunkts G,  

dh

dh y=4/3

Daher sind die Koordinaten des Schwerpunkts des gegebenen Dreiecks . (Antworten)

Weitere beantwortete Probleme werden unten zum weiteren Üben mit dem in obigem Problem 1 beschriebenen Verfahren gegeben:

Probleme 2: Finden Sie die Koordinaten des Schwerpunkts des Dreiecks mit Eckpunkten an den Punkten (-3,-1), (-1,3) und (1,1).

Antwort. (-1,1)

Probleme 3: Wie lautet die x-Koordinate des Schwerpunkts des Dreiecks mit den Eckpunkten (5,2), (10,4) und (6,-1) ?

Antwort. 7 

Probleme 4: Drei Eckpunkte eines Dreiecks sind (5,9), (2,15) und (11,12). Finden Sie den Schwerpunkt dieses Dreiecks.

Antwort. (6,12)

Verschiebung des Ursprungs / Achsenverschiebung – 2D-Koordinatengeometrie

Das Verschieben des Ursprungs bedeutet, den Ursprung an einen neuen Punkt zu verschieben, wobei die Ausrichtung der Achsen unverändert bleibt, dh die neuen Achsen bleiben parallel zu den ursprünglichen Achsen in derselben Ebene. Durch diese Achsenverschiebung oder Ursprungsverschiebung werden viele Probleme der algebraischen Gleichung einer geometrischen Form vereinfacht und leicht gelöst.

Im Folgenden werden die Formeln „Verschiebung des Ursprungs“ oder „Achsenverschiebung“ mit grafischer Darstellung beschrieben.

Formel:

Wenn O der Ursprung ist, P(x,y) ein beliebiger Punkt in der XY-Ebene und O zu einem anderen Punkt O′(a,b) verschoben wird, gegen den die Koordinaten des Punktes P zu (x₁,y₁) in der gleichen Ebene mit neuen Achsen X₁Y₁  ,Dann sind die neuen Koordinaten von P

x₁ = x-a

y₁ = y- b

Grafische Darstellung zur Verdeutlichung: Folgen Sie den Grafiken

Wenige gelöst Probleme mit der Formel der 'Ursprungsverschiebung' :

Problem-1: Wenn zwei Punkte (3,1) und (5,4) in derselben Ebene liegen und der Ursprung auf den Punkt (3,1) verschoben wird, wobei die neuen Achsen parallel zu den ursprünglichen Achsen gehalten werden, dann finden Sie die Koordinaten von der Punkt (5,4) in Bezug auf den neuen Ursprung und die Achsen.

Lösung: Im Vergleich mit der oben beschriebenen Formel der „Verschiebung des Ursprungs“ haben wir den neuen Ursprung, O′(a, b) ≌ (3,1), d. h. a=3, b=1 und den erforderlichen Punkt P, (x, y) ≌ (5,4) dh x=5 , y=4

Wenn nun (x₁,y₁) seien die neuen Koordinaten des Punktes P(5,4), dann gemäß Formel x₁ = xa und y₁ =yb,

wir bekommen, x₁ = 5-3 und y₁ = 4-1

dh x₁ = 2 und y₁ =3

Daher sind die erforderlichen neuen Koordinaten des Punktes (5,4) (2,3). (Antwort)

Problem-2: Nach dem Verschieben des Ursprungs auf einen Punkt in derselben Ebene, wobei die Achsen parallel zueinander bleiben, werden die Koordinaten eines Punktes (5,-4) zu (4,-5).Finden Sie die Koordinaten des neuen Ursprungs.

Lösung: Wenn wir hier die Formel „Verschiebung des Ursprungs“ oder „Achsenverschiebung“ verwenden, können wir sagen, dass die Koordinaten des Punktes P in Bezug auf den alten und neuen Ursprung bzw. die Achsen (x, y) ≌ (5,-4) sind, d. h x=5 , y= -4 und (x₁,y₁) ≌ (4,-5) dh  x₁= 4, j₁= -5

Jetzt müssen wir die Koordinaten des neuen Origins finden O'(a, b) dh a=?, b=?

Asper-Formel,

x₁ = x- a

y₁ = j- b

dh a=xx₁ und b=yy₁

Oder, a=5-4 und b= -4-(-5)

Oder, a=1 und b= -4+5

Oder, a=1 und b= 1

Daher ist O'(1,1) der neue Ursprung, dh die Koordinaten des neuen Ursprungs sind (1,1). (Antwort)

Grundlegende Beispiele zu den Formeln „Kollinearität von Punkten (drei Punkte)“ in der 2D-Koordinatengeometrie

Probleme 1:  Prüfen Sie, ob die Punkte (1,0), (0,0) und (-1,0) kollinear sind oder nicht.

Lösung:  Wir wissen es schon,

                                            If  Axt₁,y₁), B(x₂,y₂) und C(x₃,y₃) drei beliebige kollineare Punkte sein, dann muss die Fläche des Dreiecks, das durch sie gebildet wird, Null sein, dh die Fläche des Dreiecks ist ½[x₁ (y₂– ja₃) + X₂ (y₃– ja₁) + X₃ (y₁-y₂)] =0

(Siehe Formeltabelle)

Mit dieser Formel haben wir

(x₁,y₁) ≌(-1,0) dh   x₁=-1, y₁= 0 ;

(x₂,y₂) ≌(0,0) dh   x₂= 0, y₂= 0;

(x₃,y₃) ≌(1,0) dh    x₃= 1, y₃= 0

Die Fläche des Dreiecks ist also = |½[x₁ (y₂-  y₃) + X₂ (y₃-  y₁) + X₃ (y₁-y₂)]| dh.

(LHS) = |½[-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)]|

= |½[(- 1)x0 + 0x0 + 1×0]|

= |½[0 + 0 + 0]|

= |½ x 0|

= 0 (rechts)

Daher wird die Fläche des Dreiecks, das von diesen gegebenen Punkten gebildet wird, Null, was bedeutet, dass sie auf derselben Linie liegen.

Daher sind die angegebenen Punkte kollineare Punkte. (Antworten)

Im Folgenden werden weitere beantwortete Probleme zum weiteren Üben mit dem oben beschriebenen Verfahren angegeben Problem 1:-

Probleme 2: Prüfen Sie, ob die Punkte (-1,-1), (0,0) und (1,1) kollinear sind oder nicht.

Antwort. Ja

Probleme 3: Ist es möglich, eine Linie durch drei Punkte (-3,2), (5,-3) und (2,2) zu ziehen?

Antwort.Nein

Probleme 4: Prüfen Sie, ob die durch Linien verbundenen Punkte (1,2), (3,2) und (-5,2) in der Koordinatenebene ein Dreieck bilden können.

Antwort. Nein

______________________________

Grundlegende Beispiele zu den Formeln „Incenter of a Triangle“ in 2D-Koordinatengeometrie

Im zentrum:Es ist der Mittelpunkt des größten Inkreises des Dreiecks, der in das Dreieck passt. Es ist auch der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.

Probleme 1: Die Eckpunkte eines Dreiecks mit Seiten sind (-2,0), (0,5) bzw. (6,0). Finden Sie den Mittelpunkt des Dreiecks.

Lösung: Wir wissen es schon,

If  Axt₁,y₁), B(x₂,y₂) und C(x₃,y₃) seien die Scheitelpunkte, BC=a, CA=b und AB=c , G′(x,y) sei der Mittelpunkt des Dreiecks,

Die Koordinaten von G' sind

und         

(Siehe Formeltabelle)

Nach der Formel, die wir haben,

(x₁,y₁) ≌(-4,0) dh  x₁=-4, y₁=0;

(x₂,y₂) ≌(0,3) dh  x₂= 0, y₂=3 ;

(x₃,y₃) ≌(0,0) dh   x₃= 0, y₃=0

Wir haben jetzt,

a= √ [(x₂-x₁)²+ (y₂-y₁)² ]

Oder a= √ [(0+4)²+(3-0)² ]

Oder a= √ [(4)²+ (3)² ]

Oder a= √ (16+9)

Oder a= √25

Oder, a = 5 ——————(1)

b=√ [(x₁-x₃)²+ (y₁-y₃)² ]

Oder b= √ [(-4-0)²+(0-0)² ]

Oder b= √ [(-4)²+ (0)² ]

Oder b= √ (16+0)

Oder b= √16

Oder, b= 4 ——————–(2)

c= √ [(x₃-x₂)²+ (y₃-y₂)² ]

Oder c= √ [(0-0)²+(0-3)² ]

Oder c= √ [(0)²+(-3)² ]

Oder c= √ (0+9)

Oder c= √9

Oder, c= 3 ——————–(3)

und einemx₁+ bx₂ +cx₃ = (5 x (-4)) + (4 x 0) + (3 x 6)

= -20+0+18

Oder, ax₁+ bx₂ +cx₃ = -2 ——————-(4)

ay₁+ by₂+ Cy₃ = (5 x 0) + (4 x 3) + (3 x 0)

= 0+12+0

Oder, ay₁+ von₂+ Cy₃ = 12 ——————–(5)

a + b + c = 5+4+3

Oder, a+b+c = 12 ——————(6)

Verwenden der obigen Gleichungen (1), (2), (3), (4), (5) und (6) wir können den Wert von berechnen x und y für

Oder x = -2/12

Oder x = -1/6

und

Oder y = 12/12

Oder y = 1

Daher sind die erforderlichen Koordinaten des Mittelpunkts des gegebenen Dreiecks (-1/6, 1). (Antwort)

Weitere beantwortete Probleme werden unten zum weiteren Üben mit dem in obigem Problem 1 beschriebenen Verfahren gegeben:

Probleme 2: Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts des Dreiecks mit Scheitelpunkten an den Punkten (-3,-1), (-1,3)) und (1,1).

Probleme 3: Wie lautet die x-Koordinate des Mittelpunkts des Dreiecks mit den Eckpunkten (0,2), (0,0) und (0,-1) ?

Probleme 4: Drei Eckpunkte eines Dreiecks sind (1,1), (2,2) und (3,3). Finden Sie den Mittelpunkt dieses Dreiecks.