Mathematische Erwartung und Zufallsvariable
Der mathematische Erwartungswert spielt in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine sehr wichtige Rolle, die grundlegende Definition und die grundlegenden Eigenschaften des mathematischen Erwartungswerts haben wir bereits in einigen vorherigen Artikeln besprochen, nun werden wir nach der Diskussion der verschiedenen Verteilungen und Verteilungsarten im folgenden Artikel noch etwas mehr kennenlernen erweiterte Eigenschaften der mathematischen Erwartung.
Erwartung der Summe der Zufallsvariablen | Erwartung der Funktion von Zufallsvariablen | Erwartung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung
Wir wissen, dass die mathematische Erwartung von Zufallsvariablen diskreter Natur ist
und für die stetige ist
jetzt für die Zufallsvariablen X und Y, wenn diskret, dann mit dem Gelenk Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion p(x,y)
Erwartungswert der Funktion der Zufallsvariablen X und Y ist
und wenn stetig, dann wird mit der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x, y) der Funktionserwartung der Zufallsvariablen X und Y
wenn g die Addition dieser beiden Zufallsvariablen in stetiger Form ist, dann
und wenn für die Zufallsvariablen X und Y gilt
X>Y
dann auch die erwartung
Beispiel
Ein Covid-19-Krankenhaus ist gleichmäßig auf der Straße der Länge L an einem Punkt X verteilt, ein Fahrzeug mit Sauerstoff für die Patienten befindet sich an einem Ort Y, das ebenfalls gleichmäßig auf der Straße verteilt ist. Ermitteln Sie die erwartete Entfernung zwischen dem Covid-19-Krankenhaus und sauerstofftragendes Fahrzeug, wenn sie unabhängig sind.
Lösung:
Um den erwarteten Abstand zwischen X und Y zu ermitteln, müssen wir E { | XY | }
Nun ist die gemeinsame Dichtefunktion von X und Y
da
indem wir dem folgen haben wir
jetzt ist der Wert des Integrals
Somit ist der erwartete Abstand zwischen diesen beiden Punkten
Erwartung des Stichprobenmittelwerts
Als Stichprobenmittelwert der Folge von Zufallsvariablen X1, X2, ………, Xn mit Verteilungsfunktion F und Erwartungswert von jedem als μ is
der Erwartungswert dieses Stichprobenmittels ist also
was zeigt, dass der erwartete Wert des Stichprobenmittelwerts ebenfalls μ ist.
Boolesche Ungleichung
Booles Ungleichheit kann mit Hilfe von Eigenschaften erhalten werden der Erwartungen, nehmen wir an, die Zufallsvariable X sei definiert als
woher
hier eini 's sind die zufälligen Ereignisse, dh die Zufallsvariable X repräsentiert das Auftreten der Anzahl von Ereignissen A ofi und eine weitere Zufallsvariable Y as
X>=Y
E[X] >= E[Y]
und so ist
Wenn wir nun den Wert der Zufallsvariablen X und Y nehmen, ist dieser Erwartungswert
und
setzen wir diese Erwartung in die obige Ungleichung ein, erhalten wir die Boolesche Ungleichung als
Erwartung der binomialen Zufallsvariablen | Mittelwert der binomialen Zufallsvariablen
Wir wissen das das binomiale Zufallsvariable ist die Zufallsvariable, die die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Versuchen mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit als p und einer Misserfolgswahrscheinlichkeit als q=1-p anzeigt, also wenn
X=X1 + X2+ …….+ Xn
Wo
hier diese Xi sind die Bernoulli und die Erwartung wird sein
der Erwartungswert von X ist also
Erwartung der negativen binomialen Zufallsvariablen | Mittelwert der negativen binomialen Zufallsvariablen
Sei eine Zufallsvariable X, die die Anzahl der Versuche darstellt, die benötigt werden, um r Erfolge zu sammeln, dann ist eine solche Zufallsvariable als negative binomiale Zufallsvariable bekannt und kann ausgedrückt werden als
hier jedes Xi bezeichnet die Anzahl der Versuche, die nach dem (i-1). Erfolg erforderlich sind, um die Summe von i Erfolgen zu erhalten.
Da jedes dieser Xi stellen die geometrische Zufallsvariable dar und wir wissen, dass der Erwartungswert für die geometrische Zufallsvariable ist
so
ist die der Erwartung einer negativen binomialen Zufallsvariablen.
Erwartung der hypergeometrischen Zufallsvariablen | Mittelwert der hypergeometrischen Zufallsvariablen
Den Erwartungswert oder Mittelwert der hypergeometrischen Zufallsvariablen erhalten wir mit Hilfe eines einfachen realen Beispiels, wenn n Bücher zufällig aus einem Regal mit N Büchern ausgewählt werden, von denen m Mathematik sind, dann die erwartete Anzahl von Mathematikbücher sei X die Anzahl der ausgewählten Mathematikbücher, dann können wir X schreiben als
woher
so
=n/N
was gibt
das ist der Mittelwert einer solchen hypergeometrischen Zufallsvariablen.
Erwartete Anzahl von Spielen
Dies ist ein sehr beliebtes Problem im Zusammenhang mit der Erwartung. Nehmen wir an, in einem Raum gibt es N Personen, die ihre Hüte in die Mitte des Raums werfen und alle Hüte werden gemischt, danach wählt jede Person zufällig einen Hut und dann die erwartete Anzahl von Personen aus die ihren eigenen Hut auswählen, können wir erhalten, indem wir X die Anzahl der Übereinstimmungen sein lassen, also
Wo
da jede Person die gleiche Möglichkeit hat, einen der Hüte aus N Hüten auszuwählen, dann
so
was bedeutet, dass sich im Durchschnitt genau eine Person ihren eigenen Hut aussucht.
Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung von Ereignissen
Erhalten wir die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der Ereignisse mit Hilfe des Erwartungswerts also für die Ereignisse Ai
damit nehmen wir
die Erwartung wird also sein
und Erweitern mit der Erwartungseigenschaft als
Seit wir ... Haben
und
so
dies impliziert die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung als
Grenzen von Erwartung mit probabilistischer Methode
Es sei S eine endliche Menge und f die Funktion auf den Elementen von S und S
hier können wir die untere Schranke für dieses m durch Erwartung von f(s) erhalten, wobei „s“ ein beliebiges Element von S ist, dessen Erwartung wir so berechnen können
hier erhalten wir Erwartung als untere Schranke für den Maximalwert
Maximum-Minimum-Identität
Maximum Minimum Identität ist das Maximum der Zahlenmenge zu den Minima der Teilmengen dieser Zahlen, das heißt für beliebige Zahlen x anyi
Um dies zu zeigen, beschränken wir die xi innerhalb des Intervalls [0,1] sei eine gleichmäßige Zufallsvariable U auf dem Intervall (0,1) und die Ereignisse Ai da die einheitliche Variable U kleiner als x . isti das ist
da mindestens eines der obigen Ereignisse eintritt, da U kleiner als eins ist, ist der Wert von xi
und
Klar wissen wir
und alle Ereignisse treten ein, wenn U kleiner als alle Variablen ist und
die Wahrscheinlichkeit gibt
wir haben das Ergebnis der Vereinigungswahrscheinlichkeit als
nach dieser Einschluss-Ausschlussformel für die Wahrscheinlichkeit
Erwägen
das gibt
da
was
- daher können wir es schreiben als
Wenn wir die Erwartung nehmen, können wir Erwartungswerte von maximalen und partiellen Minima finden als
Fazit:
Die Erwartung in Bezug auf verschiedene Verteilung und Korrelation der Erwartung mit einigen der Wahrscheinlichkeitstheorie Konzepte standen im Mittelpunkt dieses Artikels, der die Verwendung der Erwartung als Werkzeug zeigt, um erwartete Werte verschiedener Arten von Zufallsvariablen zu erhalten. Wenn Sie weitere Lektüre benötigen, lesen Sie die folgenden Bücher.
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https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation
Ein erster Wahrscheinlichkeitskurs von Sheldon Ross
Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik
Eine Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik von ROHATGI und SALEH
