Momenterzeugungsfunktion
Die Momentenerzeugungsfunktion ist eine sehr wichtige Funktion, die die Momente einer Zufallsvariablen generiert, die Mittelwert, Standardabweichung und Varianz usw. umfassen. Daher können wir nur mit Hilfe der Momentenerzeugungsfunktion sowohl grundlegende Momente als auch höhere Momente finden. In diesem Artikel werden wir wird momenterzeugende Funktionen für die verschiedenen diskreten und kontinuierlichen Zufallsvariablen sehen. da die Momenterzeugungsfunktion (MGF) mit Hilfe der mit M(t) bezeichneten mathematischen Erwartung als definiert wird
und mit der Definition von Erwartung für die diskrete und kontinuierliche Zufallsvariable Diese Funktion wird sein
was durch Einsetzen des Wertes von t durch Null entsprechende Momente erzeugt. Diese Momente müssen wir sammeln, indem wir diese momenterzeugende Funktion zum Beispiel für den ersten Moment differenzieren oder meinen, wir können durch einmaliges Differenzieren erhalten als
Dies gibt den Hinweis, dass die Differentiation unter dem Erwartungswert austauschbar ist, und wir können sie schreiben als
und
wenn t=0 sind die obigen Momente
und
Im Allgemeinen können wir das sagen
daher
Momenterzeugungsfunktion der Binomialverteilung||Binomialverteilung Momenterzeugungsfunktion||MGF der Binomialverteilung||Mittelwert und Varianz der Binomialverteilung unter Verwendung der Momenterzeugungsfunktion
Die Moment erzeugende Funktion für die Zufallsvariable X, die Binomialverteilung ist, folgt der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit den Parametern n und p as
was das Ergebnis des Binomialsatzes ist, nun differenzieren und setzen den Wert von t=0
Dies ist der Mittelwert oder das erste Moment der Binomialverteilung, ebenso wie das zweite Moment
die Varianz der Binomialverteilung ist also
Dies ist der Standardmittelwert und die Varianz der Binomialverteilung, ähnlich wie die höheren Momente, die wir auch mit dieser momenterzeugenden Funktion finden können.
Momenterzeugende Funktion von Fisch Verteilung||Fisch Verteilungsmoment-Erzeugungsfunktion||MGF von Fisch Verteilung||Mittelwert und Varianz der Poisson-Verteilung unter Verwendung der momenterzeugenden Funktion
Wenn wir die Zufallsvariable X haben, die Poisson-verteilt mit dem Parameter Lambda ist, dann ist die momenterzeugende Funktion für diese Verteilung
jetzt differenzieren wird das geben
das gibt
was den Mittelwert und die Varianz für die Poisson-Verteilung gleich ergibt, was wahr ist
Momentenerzeugende Funktion der Exponentialverteilung||Exponentiell Verteilungsmoment-Erzeugungsfunktion||MGF von Exponentiell Verteilung||Mittelwert und Varianz von Exponentiell Verteilung mit momenterzeugender Funktion
Die Moment erzeugende Funktion für die exponentielle Zufallsvariable X nach der Definition lautet
hier ist der Wert von t kleiner als der Parameter Lambda, jetzt wird dies differenziert
der die momente liefert
Welches sind der Mittelwert und die Varianz der Exponentialverteilung.
Momentenerzeugende Funktion der Normalverteilung||Normal Verteilungsmoment-Erzeugungsfunktion||MGF von Normal Verteilung||Mittelwert und Varianz von Normal Verteilung mit momenterzeugender Funktion
Die momenterzeugende Funktion für die kontinuierlichen Verteilungen ist auch dieselbe wie die diskrete, so dass die momenterzeugende Funktion für die Normalverteilung mit der Standardwahrscheinlichkeitsdichtefunktion
diese Integration können wir durch Anpassung lösen als
da der Integrationswert 1 ist. Somit ist die momenterzeugende Funktion für die Standardnormalvariate
daraus können wir für jede allgemeine normale Zufallsvariable die momenterzeugende Funktion finden, indem wir die Beziehung
so
also differenzierung gibt uns
so
die Varianz wird also sein
Momenterzeugende Funktion der Summe von Zufallsvariablen
Das Momenterzeugungsfunktion der Summe der Zufallsvariablen gibt eine wichtige Eigenschaft, dass sie gleich dem Produkt der momenterzeugenden Funktion der jeweiligen unabhängigen Zufallsvariablen ist, dh für unabhängige Zufallsvariablen X und Y dann ist die momenterzeugende Funktion für die Summe der Zufallsvariablen X+YY
hier sind momenterzeugende Funktionen jedes X und Y durch die unabhängig Eigenschaft der mathematischen Erwartung. In der Folge finden wir die Summe momenterzeugender Funktionen verschiedener Verteilungen.
Summe binomialer Zufallsvariablen
Wenn die Zufallsvariablen X und Y durch Binomialverteilung mit den Parametern (n,p) bzw. (m,p) verteilt werden, dann ist die momenterzeugende Funktion ihrer Summe X+Y
wobei die Parameter für die Summe (n+m,p) sind.
Summe der Poisson-Zufallsvariablen
Die Verteilung für die Summe der unabhängigen Zufallsvariablen X und Y mit jeweiligen Mittelwerten, die durch die Poisson-Verteilung verteilt sind, finden wir als
Wo
ist der Mittelwert der Poisson-Zufallsvariablen X+Y.
Summe normaler Zufallsvariablen
Betrachten Sie das Unabhängige normale Zufallsvariablen X und Y mit den Parametern
dann für die Summe der Zufallsvariablen X+Y mit Parametern
die momenterzeugende Funktion ist also
das ist eine momenterzeugende Funktion mit additivem Mittelwert und Varianz.
Summe der Zufallszahl von Zufallsvariablen
Um die momenterzeugende Funktion der Summe einer Zufallszahl von Zufallsvariablen zu finden, nehmen wir die Zufallsvariable an
wo die Zufallsvariablen X.1,X2, … sind Folge von Zufallsvariablen beliebiger Art, die unabhängig und gleich verteilt sind, dann ist die momenterzeugende Funktion
Daraus ergibt sich die momenterzeugende Funktion von Y bei Differentiation als
daher
in ähnlicher Weise ergibt die Differenzierung zweimal
die geben
somit wird die Varianz sein
Beispiel für eine Chi-Quadrat-Zufallsvariable
Berechnen Sie die momenterzeugende Funktion der Chi-Quadrat-Zufallsvariablen mit n-Freiheitsgrad.
Lösung: Betrachten Sie die Chi-Quadrat-Zufallsvariable mit dem n-Freiheitsgrad für
die Folge von Standardnormalvariablen, dann ist die momenterzeugende Funktion
also gibt es
die Normaldichte mit Mittelwert 0 und Varianz σ2 integriert zu 1
das ist die erforderliche momenterzeugende Funktion von n Freiheitsgraden.
Beispiel für eine einheitliche Zufallsvariable
Finden Sie die momenterzeugende Funktion der Zufallsvariablen X, die binomialverteilt ist, wobei die Parameter n und p gegeben sind bedingt Zufallsvariable Y=p im Intervall (0,1)
Lösung: Um die momenterzeugende Funktion der Zufallsvariablen X bei gegebenem Y . zu finden
Unter Verwendung der Binomialverteilung ist sin Y die gleichmäßige Zufallsvariable auf dem Intervall (0,1)
Gemeinsame momenterzeugende Funktion
Die gemeinsame momenterzeugende Funktion für die Anzahl n Zufallsvariablen X1,X2,…,Xn
wo t1,t2,……Tn sind die reellen Zahlen, aus der gemeinsamen momenterzeugenden Funktion können wir die individuelle momenterzeugende Funktion finden als
Satz: Die Zufallsvariablen X1,X2,…,Xn sind genau dann unabhängig, wenn die gemeinsame Elementerzeugungsfunktion
Beweis: Nehmen wir an, die gegebenen Zufallsvariablen X1,X2,…,Xn sind dann unabhängig
Angenommen, die gemeinsame momenterzeugende Funktion erfüllt die Gleichung
- um die Zufallsvariablen X . zu beweisen1,X2,…,Xn unabhängig sind, haben wir das Ergebnis, dass die gemeinsame momenterzeugende Funktion eindeutig die gemeinsame Verteilung angibt (dies ist ein weiteres wichtiges Ergebnis, das einen Beweis erfordert).
Beispiel für eine Funktion zur Generierung des Gelenkmoments
1. Berechnen Sie die Gelenkmomenterzeugungsfunktion der Zufallsvariablen X+Y und X-Y
Lösung : Da die Summe der Zufallsvariablen X+Y und die Subtraktion der Zufallsvariablen XY unabhängig von den unabhängigen Zufallsvariablen X und Y sind, ist die gemeinsame momenterzeugende Funktion für diese
Da diese momenterzeugende Funktion die gemeinsame Verteilung bestimmt, können wir daraus X+Y und XY als unabhängige Zufallsvariablen erhalten.
2. Betrachten Sie für das Experiment die Anzahl der gezählten und nicht gezählten Ereignisse, die durch die Poisson-Verteilung mit der Wahrscheinlichkeit p und des Mittelwerts verteilt sind, und zeigen Sie, dass die Anzahl der gezählten und nicht gezählten Ereignisse unabhängig von den jeweiligen Mittelwerten λp und λ(1-p) sind.
Lösung: Wir betrachten X als die Anzahl der Ereignisse und Xc die Anzahl der gezählten Ereignisse, sodass die Anzahl der nicht gezählten Ereignisse XX beträgtc, die gemeinsame momenterzeugungsfunktion erzeugt moment will
und durch die momenterzeugende Funktion der Binomialverteilung
und die Erwartung von diesen zu nehmen, wird geben
Fazit:
Unter Verwendung der Standarddefinition der Momentenerzeugungsfunktion wurden die Momente für die verschiedenen Verteilungen wie Binomial-, Poisson-, Normalverteilung usw. diskutiert und die Summe dieser Zufallsvariablen, entweder die diskrete oder kontinuierliche Momentenerzeugungsfunktion für diese und die gemeinsame Momentenerzeugungsfunktion, wurden mit erhalten Geeignete Beispiele. Wenn Sie weitere Lektüre benötigen, schauen Sie sich die folgenden Bücher an.
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