Normale Zufallsvariable: 3 wichtige Fakten

Normal Zufallsvariable und Normalverteilung

      Die Zufallsvariable mit unzähligen Werten ist als kontinuierliche Zufallsvariable bekannt, und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit Hilfe der Integration als Fläche unter der Kurve ergibt die kontinuierliche Verteilung. Nun konzentrieren wir uns auf eine der am häufigsten verwendeten und häufigsten kontinuierlichen Zufallsvariablen nämlich normale Zufallsvariable, die einen anderen Namen als Gaußsche Zufallsvariable oder Gaußsche Verteilung hat.

Normale Zufallsvariable

      Normale Zufallsvariable ist die kontinuierliche Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

gemein haben μ und Varianz σ2 als statistische Parameter und geometrisch hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion die glockenförmige Kurve, die symmetrisch zum Mittelwert μ ist.

Normale Zufallsvariable
Normale Zufallsvariable

Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion die Gesamtwahrscheinlichkeit eins hat

durch Setzen von y = (x-μ) / σ

Diese doppelte Integration kann gelöst werden, indem sie in eine polare Form umgewandelt wird

Dies ist der erforderliche Wert, damit er für das Integral I verifiziert wird.

  • Wenn X normal mit dem Parameter μ verteilt ist  und σ2 dann ist Y = aX + b auch normalverteilt mit den Parametern aμ + b und a2μ2

Erwartung und Varianz der normalen Zufallsvariablen

Der erwartete Wert der normalen Zufallsvariablen und die Varianz, die wir mit Hilfe von erhalten

wobei X normalerweise mit dem Mittelwert der Parameter verteilt ist μ und Standardabweichung σ.

da der Mittelwert von Z Null ist, haben wir die Varianz als

durch Verwendung der Integration nach Teilen

Für die Variable Z lautet die grafische Interpretation wie folgt

Normale Zufallsvariable
Normale Zufallsvariable

und die Fläche unter der Kurve für diese Variable Z, die als bekannt ist Standard Normalvariable, es wird für die Referenz berechnet (in der Tabelle angegeben), da die Kurve symmetrisch ist, sodass für einen negativen Wert die Fläche dieselbe ist wie für positive Werte

z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
0.00.500000.503990.507980.511970.515950.519940.523920.527900.531880.53586
0.10.539830.543800.547760.551720.555670.559620.563560.567490.571420.57535
0.20.579260.583170.587060.590950.594830.598710.602570.606420.610260.61409
0.30.617910.621720.625520.629300.633070.636830.640580.644310.648030.65173
0.40.655420.659100.662760.666400.670030.673640.677240.680820.684390.68793
0.50.691460.694970.698470.701940.705400.708840.712260.715660.719040.72240
0.60.725750.729070.732370.735650.738910.742150.745370.748570.751750.75490
0.70.758040.761150.764240.767300.770350.773370.776370.779350.782300.78524
0.80.788140.791030.793890.796730.799550.802340.805110.807850.810570.81327
0.90.815940.818590.821210.823810.826390.828940.831470.833980.836460.83891
1.00.841340.843750.846140.848490.850830.853140.855430.857690.859930.86214
1.10.864330.866500.868640.870760.872860.874930.876980.879000.881000.88298
1.20.884930.886860.888770.890650.892510.894350.896170.897960.899730.90147
1.30.903200.904900.906580.908240.909880.911490.913080.914660.916210.91774
1.40.919240.920730.922200.923640.925070.926470.927850.929220.930560.93189
1.50.933190.934480.935740.936990.938220.939430.940620.941790.942950.94408
1.60.945200.946300.947380.948450.949500.950530.951540.952540.953520.95449
1.70.955430.956370.957280.958180.959070.959940.960800.961640.962460.96327
1.80.964070.964850.965620.966380.967120.967840.968560.969260.969950.97062
1.90.971280.971930.972570.973200.973810.974410.975000.975580.976150.97670
2.00.977250.977780.978310.978820.979320.979820.980300.980770.981240.98169
2.10.982140.982570.983000.983410.983820.984220.984610.985000.985370.98574
2.20.986100.986450.986790.987130.987450.987780.988090.988400.988700.98899
2.30.989280.989560.989830.990100.990360.990610.990860.991110.991340.99158
2.40.991800.992020.992240.992450.992660.992860.993050.993240.993430.99361
2.50.993790.993960.994130.994300.994460.994610.994770.994920.995060.99520
2.60.995340.995470.995600.995730.995850.995980.996090.996210.996320.99643
2.70.996530.996640.996740.996830.996930.997020.997110.997200.997280.99736
2.80.997440.997520.997600.997670.997740.997810.997880.997950.998010.99807
2.90.998130.998190.998250.998310.998360.998410.998460.998510.998560.99861
3.00.998650.998690.998740.998780.998820.998860.998890.998930.998960.99900
3.10.999030.999060.999100.999130.999160.999180.999210.999240.999260.99929
3.20.999310.999340.999360.999380.999400.999420.999440.999460.999480.99950
3.30.999520.999530.999550.999570.999580.999600.999610.999620.999640.99965
3.40.999660.999680.999690.999700.999710.999720.999730.999740.999750.99976
3.50.999770.999780.999780.999790.999800.999810.999810.999820.999830.99983

da haben wir die ersetzung benutzt

Denken Sie hier daran, dass Z eine Standard-Normalvariate ist, wobei as kontinuierliche Zufallsvariable X ist normalverteilt normale Zufallsvariable mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ.

Um die Verteilungsfunktion für die Zufallsvariable zu finden, verwenden wir die Konvertierung in die Standardnormalvariable als

für jeden Wert von a.

Beispiel: Finden Sie in der Standardnormalkurve den Bereich zwischen den Punkten 0 und 1.2.

Wenn wir der Tabelle folgen, ist der Wert von 1.2 unter der Spalte 0 0.88493 und der Wert von 0 ist 0.5000,

Normale Zufallsvariable
Normale Zufallsvariable

Beispiel: Finden Sie die Fläche für die Standardnormalkurve zwischen -0.46 und 2.21.

Normale Zufallsvariable
Normale Zufallsvariable

Aus dem schattierten Bereich können wir diesen Bereich von -0.46 bis 0 und von 0 bis 2.21 aufteilen, da die Normalkurve um die y-Achse symmetrisch ist, so dass der Bereich von -0.46 bis 0 der gleiche ist wie der von 0 bis 0.46, also aus der Tabelle

und

so können wir es schreiben als

Gesamtfläche = (Fläche zwischen z = -0.46 und z = 0) + (Fläche zwischen z = 0 und z = 2.21)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

Beispiel: Wenn X eine normale Zufallsvariable mit Mittelwert 3 und Varianz 9 ist, finden Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten

P2

P{X>0}

P|X-3|>6

Lösung: Seit wir ... Haben

Normale Zufallsvariable
Normale Zufallsvariable

Wenn wir also in die Intervalle -1/3 bis 0 und 0 bis 2/3 aufteilen, erhalten wir die Lösung aus den Tabellenwerten

or

= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467

und

Normale Zufallsvariable
Normale Zufallsvariable
Normale Zufallsvariable
Normale Zufallsvariable

Beispiel: Ein Beobachter im Vaterschaftsfall gibt an, wie lange (in Tagen) das menschliche Wachstum dauert

wird normalerweise mit den Parametern Mittelwert 270 und Varianz 100 verteilt. In diesem Fall hat der Verdächtige, der Vater des Kindes ist, den Nachweis erbracht, dass er während eines Zeitraums, der 290 Tage vor der Geburt des Kindes begann und 240 Tage früher endete, außer Landes war die Geburt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Mutter die vom Zeugen angegebene sehr lange oder sehr kurze Schwangerschaft gehabt haben könnte?

X bezeichne die normalverteilte Zufallsvariable für die Schwangerschaft und betrachte den Verdächtigen als den Vater des Kindes. In diesem Fall hat die Geburt des Kindes innerhalb der angegebenen Zeit die Wahrscheinlichkeit

Beziehung zwischen normaler Zufallsvariable und binomialer Zufallsvariable

      Im Fall einer Binomialverteilung ist der Mittelwert np und die Varianz ist npq. Wenn wir also eine solche Binomial-Zufallsvariable mit einem solchen Mittelwert und einer solchen Standardabweichung mit n sehr groß umwandeln und p oder q sehr klein sind und näher an Null gehen, dann ist die Standardnormalvariable Z mit der Hilfe von diesem Mittelwert und Varianz ist

hier in Bezug auf Bernouli-Versuche X berücksichtigt die Anzahl der Erfolge in n Versuchen. Wenn n zunimmt und sich der Unendlichkeit nähert, wird diese normale Variable auf die gleiche Weise zur normalen Standardvariablen.

Die Beziehung zwischen Binomial und Standardnormalvariable können wir mit Hilfe des folgenden Satzes finden.

DeMoivre Laplace-Grenzwertsatz

If Sn bezeichnet die Anzahl der Erfolge, die auftreten, wenn n  unabhängige Versuche, die jeweils zu einem Erfolg mit der Wahrscheinlichkeit p führen werden dann für jeden durchgeführt a <b,

Beispiel: Finden Sie mit Hilfe der normalen Annäherung an die binomische Zufallsvariable die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des 20-fachen Schwanzes, wenn eine faire Münze 40-mal geworfen wird.

Lösung: Angenommen, die Zufallsvariable X stellt das Auftreten des Schwanzes dar, da die binomiale Zufallsvariable eine diskrete Zufallsvariable und eine normale Zufallsvariable eine kontinuierliche Zufallsvariable ist. Um die diskrete in die kontinuierliche umzuwandeln, schreiben wir sie als

und wenn wir das gegebene Beispiel mit Hilfe der Binomialverteilung lösen, erhalten wir es als

Beispiel: Um die Wirksamkeit einer bestimmten Ernährung bei der Senkung des Cholesterinspiegels im Blutkreislauf zu bestimmen, werden 100 Personen mit der Ernährung versorgt. Die Cholesterinzahl wurde für die definierte Zeit nach der Bereitstellung der Nahrung beobachtet. Wenn aus dieser Probe 65 Prozent einen niedrigen Cholesterinspiegel haben, wird die Ernährung genehmigt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ernährungsberater die neue Nahrung genehmigt, wenn sie tatsächlich keine Auswirkungen auf den Cholesterinspiegel hat?

Lösung:  Lassen Sie die Zufallsvariable den Cholesterinspiegel ausdrücken, wenn er durch die Ernährung gesunken ist, sodass die Wahrscheinlichkeit für eine solche Zufallsvariable für jede Person ½ beträgt. Wenn X die niedrige Anzahl von Personen angibt, hat die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis genehmigt wird, auch wenn keine Auswirkung auf die Ernährung besteht den Cholesterinspiegel senken ist



Fazit:

   In diesem Artikel wird das Konzept der kontinuierlichen Zufallsvariablen nämlich normal zufällige Variable und ihre Verteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion diskutiert und die statistischen Parameter Mittelwert, Varianz für die normale Zufallsvariable angegeben. Die Umwandlung der normalverteilten Zufallsvariablen in die neue Standard-Normalvariable und die Fläche unter der Kurve für eine solche Standard-Normalvariable ist in tabellarischer Form angegeben Beziehung mit diskreter Zufallsvariable wird auch mit Beispiel erwähnt Wenn Sie weiterlesen möchten, gehen Sie durch:

Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

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