15 Beispiele für Permutationen und Kombinationen

Veranschaulichung des Konzepts Permutationen und Kombinationen anhand der Beispiele

In diesem Artikel haben wir einige Beispiele besprochen, die den Schülern die Grundlagen stärken sollen Permutationen und Kombinationen Um die Einsicht in das Konzept zu erhalten, ist es sich bewusst, dass sowohl die Permutationen als auch die Kombinationen der Prozess zur Berechnung der Möglichkeiten sind. Der Unterschied zwischen ihnen besteht darin, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt oder nicht. Daher werden wir hier die Anzahl der Beispiele durchgehen, die wir erhalten Klären Sie die Verwirrung, wo Sie welches verwenden sollen.

Die Methoden zum Anordnen oder Auswählen einer kleinen oder gleichen Anzahl von Personen oder Gegenständen gleichzeitig aus einer Gruppe von Personen oder Gegenständen, die unter gebührender Berücksichtigung in der Reihenfolge der Planung oder Auswahl angeordnet sind, werden aufgerufen Permutationen.

Jede andere Gruppe oder Auswahl, die erstellt werden kann, indem einige oder alle Elemente unabhängig von ihrer Organisation übernommen werden, wird als a bezeichnet Kombination.

Grundlegende Permutation (nPr-Formel) Beispiele

            Hier bilden wir eine Gruppe von n verschiedenen Objekten, die jeweils r ausgewählt werden, was dem Auffüllen von r Plätzen aus n Dingen entspricht.

Die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten = Die Anzahl der Möglichkeiten, r Stellen zu füllen.

nPr = n. (n-1). (n-2)…(nr+1) = n/(Nr)!

CodeCogsEqn 3

so nPr Formel wir müssen verwenden ist

nPr = n!/(nr)!

Beispiel 1): Es gibt einen Zug, dessen 7 Sitzplätze leer bleiben. Wie viele Möglichkeiten können dann drei Fahrgäste haben?

Lösung: Hier ist n = 7, r = 3

also Erforderliche Anzahl von Wegen =

nPr = n!/(nr)!

7P3 = 7!/(7-3)! = 4!.5.6.7/4! = 210

Auf 210 Arten können 3 Passagiere sitzen.

Beispiel 2) Auf wie viele Arten können 4 von 10 Frauen als Teamleiter ausgewählt werden?

Lösung: Hier ist n = 10, r = 4

also Erforderliche Anzahl von Wegen =

nPr = n!/(nr)!

10P4 = 10!/(10-4)! = 6!7.8.9.10/6! = 5040

Auf 5040 Arten können 4 Frauen als Teamleiter ausgewählt werden.

Beispiel 3) Wie viele Permutationen sind aus 4 verschiedenen Buchstaben möglich, die aus den XNUMX Buchstaben des Alphabets ausgewählt wurden?

Lösung: Hier ist n = 26, r = 4

also Erforderliche Anzahl von Wegen =

nPr = n!/(nr)!

26P4 = 26!/(26-4)! = 22!.23.24.25.26/22! = 358800

Auf 358800 Arten stehen 4 verschiedene Buchstabenpermutationen zur Verfügung.

Beispiel 4) Wie viele verschiedene dreistellige Permutationen sind verfügbar, ausgewählt aus zehn Ziffern von 0 bis 9 zusammen (einschließlich 0 und 9).

Lösung: Hier ist n = 10, r = 3

also Erforderliche Anzahl von Wegen =

nPr = n!/(nr)!

10P3 = 10!/(10-3)! = 7!.8.9.10/7! = 720

Auf 720 Arten stehen dreistellige Permutationen zur Verfügung.

Beispiel 5) Finden Sie heraus, auf welche Weise ein Richter bei einem Wettbewerb mit 18 Teilnehmern einen ersten, zweiten und dritten Platz vergeben kann.

Lösung: Hier ist n = 18, r = 3

also Erforderliche Anzahl von Wegen =

nPr = n!/(nr)!

18P3 = 18!/(18-3)! = 15!.16.17.18/15! = 4896

Unter den 18 Teilnehmern kann ein Richter auf 4896 verschiedene Arten einen 1., 2. und 3. Platz in einem Wettbewerb vergeben.

Beispiel

6) Finden Sie die Anzahl der Möglichkeiten, 7 Personen können sich in einer Reihe organisieren.

Lösung: Hier ist n = 7, r = 7

also Erforderliche Anzahl von Wegen =

nPr = n!/(nr)!

7P7 = 7!/(7-7)! = 7!/0! = 5040

Auf 5040 verschiedene Arten können sich 7 Personen hintereinander organisieren.

Beispiele basierend auf Kombination (nCr Formel / n wähle k Formel)

Die Anzahl der Kombinationen (Auswahlen oder Gruppen), die aus n verschiedenen Objekten erstellt werden können, die gleichzeitig r (0 <= r <= n) aufgenommen wurden, beträgt

gif

Dies ist allgemein bekannt als nCr oder n wählen Sie k Formel.

nCk = n!/k!(nk)!

Beispiele:

1) Wenn Sie drei Kleider mit unterschiedlichen Farben in Rot, Gelb und Weiß haben, können Sie dann eine andere Kombination finden, die Sie erhalten, wenn Sie zwei davon auswählen müssen?

Lösung: hier ist n = 3, r = 2 das ist 3 WÄHLEN SIE 2 Problem

nCr = n!/r!(Nr)!

3C2 = 3!/2!(3-2)! = 2!.3/2!.1 = 3

In 3 verschiedenen Kombinationen erhalten Sie zwei davon.

2) Wie viele verschiedene Kombinationen können durchgeführt werden, wenn Sie 4 verschiedene Gegenstände haben und 2 auswählen müssen?

Lösung: hier ist n = 4, r = 2 das ist 4 WÄHLEN SIE 2 Problem

nCr = n!/r!(Nr)!

4C2 = 4!/2!(4-2)! = 2!.3.4/2!.2! = 6

In 6 verschiedenen Kombinationen erhalten Sie zwei davon.

3) Wie viele verschiedene Kombinationen können gemacht werden, wenn Sie nur 5 Zeichen haben und 2 davon auswählen müssen?

Lösung: hier ist n = 5, r = 2 das ist 5 WÄHLEN SIE 2 Problem

nCr = n!/r!(Nr)!

5C2 = 5!/2!(5-2)! = 3!.4.5/2!.3! = 10

In 10 verschiedenen Kombinationen erhalten Sie zwei davon.

4) Finden Sie die Anzahl der Kombinationen 6 wählen Sie 2.

Lösung: hier ist n = 6, r = 2 das ist 6 WÄHLEN SIE 2 Problem

nCr = n!/r!(Nr)!

6C2 = 6!/2!(6-2)! = 4!.5.6/2!.4! = 15

In 15 verschiedenen Kombinationen erhalten Sie zwei davon.

5) Finden Sie die Anzahl der Möglichkeiten, 3 Mitglieder aus 5 verschiedenen Partnern auszuwählen.

Lösung: hier ist n = 5, r = 3 das ist 5 WÄHLEN SIE 3 Problem

nCr = n!/r!(Nr)!

5C3 = 5!/3!(5-3)! = 3!.4.5/3!.2! = 10

In 10 verschiedenen Kombinationen erhalten Sie drei davon.

6) Schachtel mit Buntstiften in den Farben Rot, Blau, Gelb, Orange, Grün und Lila. Wie viele verschiedene Möglichkeiten können Sie verwenden, um nur drei Farben zu zeichnen?

Lösung: hier ist n = 6, r = 3 das ist 6 WÄHLEN SIE 3 Problem

nCr = n!/r!(Nr)!

6C3 = 6!/3!(6-3)! = 3!.4.5.6/3!.3.2.1 =20

In 20 verschiedenen Kombinationen erhalten Sie drei davon.

7) Finden Sie die Anzahl der Kombinationen für 4, wählen Sie 3.

Lösung: hier ist n = 4, r = 3 das ist 4 WÄHLEN SIE 3 Problem

nCr = n!/r!(Nr)!

4C3 = 4!/3!(4-3)! = 3!.4/ 3!.1! = 4

In 4 verschiedenen Kombinationen erhalten Sie drei davon.

8) Wie viele verschiedene fünfköpfige Ausschüsse können aus 10 Personen gewählt werden?

Lösung: hier ist n = 10, r = 5 das ist 10 WÄHLEN SIE 5 Probleme

nCr = n!/r!(nr)!

10C5 = 10!/5!(10-5)! = 10!/5!,5! = 5!.6.7.8.9.10/5!.5.4.3.2 = 7.4.9 =252

So können aus 252 Personen 5 verschiedene 10-Personen-Ausschüsse gewählt werden.

9) Insgesamt gibt es 12 Volleyballspieler im College, die sich aus einem Team von 9 Spielern zusammensetzen. Wenn der Kapitän konstant bleibt, kann das Team auf wie viele Arten gebildet werden.

Lösung: Da hier der Kapitän bereits ausgewählt wurde, sind nun unter 11 Spielern 8 n = 11, r = 8 zu wählen 11 WÄHLEN SIE 8 Problem

nCr = n!/r!(Nr)!

11C8 = 11!/8!(11-8)! = 11!/8!,3! = 8!.9.10.11/8!.3.2.1 = 3.5.11 = 165

Wenn der Kapitän also konstant bleibt, kann das Team auf 165 Arten gebildet werden.

10) Finden Sie die Anzahl der Kombinationen 10 wählen Sie 2.

Lösung: hier ist n = 10, r = 2 das ist 10 WÄHLEN SIE 2 Problem

nCr = n!/r!(Nr)!

10C2 = 10!/2!(10-2)! = 10!/2!.8! = 8!.9.10/2!.8! = 5.9 = 45

In 45 verschiedenen Kombinationen erhalten Sie zwei davon.

Wir müssen den Unterschied sehen, dass nCr die Anzahl der Möglichkeiten ist, wie Dinge auf r ausgewählt werden können, und nPr die Anzahl der Möglichkeiten ist, wie Dinge mit r sortiert werden können. Wir müssen bedenken, dass für jeden Fall eines Permutationsszenarios die Art und Weise, wie die Dinge angeordnet sind, sehr, sehr wichtig ist. In Kombination bedeutet die Reihenfolge jedoch nichts.

Zusammenfassung

In diesem Artikel finden Sie eine detaillierte Beschreibung mit Beispielen für die Permutationen und Kombinationen sowie einige Beispiele aus der Praxis. In einer Reihe von Artikeln werden wir die verschiedenen Ergebnisse und Formeln mit relevanten Beispielen im Detail besprechen, falls Sie an weiteren Studien interessiert sind Das Link.

Referenz

  1. SCHAUMS ÜBERBLICK ÜBER Theorie und Probleme der DISKRETEN MATHEMATIK
  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Combination