Permutationen und Kombinationen: 3 wichtige Fakten, die Sie sich merken sollten

by

  Nachdem wir die Definitionen und Grundkonzepte besprochen haben, werden wir alle Ergebnisse und Beziehungen von auflisten Permutation und KombinationAbhängig von all diesen werden wir uns mit dem Konzept der Permutation und Kombination vertraut machen, indem wir verschiedene Beispiele lösen.

Zu beachtende Punkte (Permutation)

  1. Die Anzahl der Bestellmöglichkeiten = nPr= {n (n-1) (n-2)… .. (n-r + 1) ((nr)!)} / (nr)! = n! / {(nr)!}
  2. Die Anzahl der Anordnungen von n verschiedenen Objekten, die alle zusammen genommen werden, beträgt = nPn = n!
  3. nP0 = n! / n! = 1
  4. P = n. n-1Pr-1
  5. 0! = 1
  6. 1 / (- r)! = 0, (-r)! = ∞ (r∈ N)
  7. Die Anzahl der Möglichkeiten, r Stellen zu füllen, an denen jede Stelle mit einem von n Objekten gefüllt werden kann. Die Anzahl der Permutationen = Die Anzahl der Möglichkeiten, r Stellen zu füllen = (n)r   

Beispiel: Wie viele Zahlen zwischen 999 und 10000 können mit Hilfe der Zahlen 0, 2, 3,6,7,8 erzeugt werden, wobei die Ziffern nicht dupliziert werden dürfen?

Lösung: Die Zahlen zwischen 999 und 10000 sind alle vierstellig.

                   Die vierstelligen Zahlen bestehen aus den Ziffern 0, 2, 3,6,7,8

Permutation
Permutation: Beispiel

  Es handelt sich hier aber auch um die Zahlen, die bei 0 beginnen. Wir können also die Zahlen nehmen, die mit drei Ziffern gebildet werden.

Bei der Anfangsziffer 0 gibt es die Anzahl der Möglichkeiten, ausstehende 3 Stellen aus fünf Ziffern 2, 3,6,7,8 anzuordnen 5P3 =5!/(5-3)!=2!*3*4*5/2!= 60

Also die erforderlichen Zahlen = 360-60 = 300.

Beispiel: Wie viele Bücher können hintereinander abgelegt werden, damit die beiden genannten Bücher nicht zusammen sind?

Lösung: Gesamtzahl der Bestellungen von n verschiedenen Büchern = n!.                                                                                                                

           Wenn zwei erwähnte Bücher immer zusammen sind, dann Anzahl der Wege = (n-1)! X2

Beispiel: Wie viele Wege gibt es geteilt durch 10 Bälle zwischen zwei Jungen, von denen einer zwei und der andere acht bekommt.

Lösung: A bekommt 2, B.  gets 8;  10!/2!8!=45

                  A bekommt 8, B. gets 2; 10!/(8!2!)=45

Das bedeutet 45 + 45 = 90 Wege, wie der Ball geteilt wird.

Beispiel: Suchen Sie die Anzahl der Anordnungen der Alphabete des Wortes "CALCUTTA".

Lösung: Erforderliche Anzahl von Wegen = 8! / (2! 2! 2!) = 5040

Beispiel: Zwanzig Personen wurden zur Party eingeladen. Wie viele verschiedene Arten, wie sie und der Gastgeber an einem runden Tisch sitzen können, wenn die beiden Personen auf beiden Seiten des Torhüters sitzen müssen.

Lösung: Insgesamt werden es 20 + 1 = 21 Personen sein.

Die beiden angegebenen Personen und der Gastgeber werden als eine Einheit betrachtet, so dass diese 21 - 3 + 1 = 19 Personen bleiben, die in 18 zu arrangieren sind! Wege.

 Aber die beiden Personen auf beiden Seiten des Gastgebers können selbst zu zweit arrangiert werden! Wege.

  Daher gibt es 2! * 18! Wege.

Beispiel : Auf wie viele Arten kann eine Girlande aus genau 10 Blumen hergestellt werden.

Lösung:  n Blumengirlande kann in (n-1) gemacht werden! Wege.

Aus 10 Blumen kann eine Girlande auf 9!/2 verschiedene Arten hergestellt werden.

Beispiel: Finden Sie die spezifische vierstellige Zahl, die aus 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 bestehen soll, damit jede einzelne Zahl die Zahl 1 hat.

Lösung: Nach dem Sichern von 1 an der ersten Position von 4 Stellen können 3 Stellen durch besetzt werden7P3 =7!/(7-3)!=5*6*7=210 ways.

Aber einige Zahlen, deren vierte Ziffer Null ist, also solche Wege =6P2= 6! / (6-2)! = 20.

                   Gesamtwege = 7P3 - 6P2 = 210-20 = 180

Beachten Sie diese Punkte für die Kombination

  • Die Anzahl der Kombinationen von n Objekte, von denen p sind identisch, genommen r zu einer Zeit ist

npCr+npCr-1+npCr-2+ …… .. +npC0 , wenn r<=p und  npCr+npCr-1+npCr-2+… .. +npCrp  , wenn r>p

  1. n wähle 0 oder n wähle n ist 1, nC0 = nCn = 1, nC1 = n.
  2. nCr + nCr-1 = n + 1Cr
  3. Cx = nCy <=> x = y oder x + y = n
  4. n. n-1Cr-1 = (n-r + 1) nCr-1
  5. nC0+nC2+nC4+…. =nC1+nC3+nC5… .. = 2n-1
  6. 2n + 1C0+2n + 1C1+2n + 1C2+ …… +2n + 1Cn=22n
  7. nCn+n + 1Cn+n + 2Cn+n + 3Cn+ ……… .. +2n-1Cn=2nCn + 1
  9. Anzahl der Kombinationen von n verschiedene Dinge auf einmal genommen. nCn= n! / {n! (nn)!} = 1 / (0)! = 1

In Fortsetzung werden wir einige Beispiele lösen  

Beispiel: If 15Cr=15Cr + 5 , was ist dann der Wert von r?

Lösung: Hier werden wir die oben genannten verwenden

 nCr=nCnr auf der linken Seite der Gleichung

15Cr=15Cr + 5 => 15C15-r =15Cr + 5

=> 15-r=r+5 => 2r=10 => r=10/2=5

Der Wert von r ist also 5 und impliziert das Problem von 15 CHOOSE 5.

Beispiel: If 2nC3 : nC2 = 44: 3 finde den Wert von r, so dass der Wert von nCr  wird 15 sein.

 Lösung: Hier ist der gegebene Term das Verhältnis von 2n wähle 3 und n wähle 2 als

durch die Definition der Kombination

(2n)!/{(2n-3)!x3!} X {2!x(n-2)!}/n!=44/3

=> (2n)(2n-1)(2n-2)/{3n(n-1)}=44/3

=> 4 (2n-1) = 44 => 2n = 12 => n = 6

                   6Cr=15 => 6Cr=6C2   or 6C4 => r = 2, 4

Es stellt sich also heraus, dass das Problem 6 ist, wählen Sie 2 oder 6, wählen Sie 4

Beispiel:  If  nCr-1= 36 nCr= 84 und nCr + 1= 126, was wäre dann der Wert von r?

 Lösung: Hier nCr-1 / nCr = 36/84 und nCr /nCr + 1 =84/126 .

(n)! / {(n-r + 1)! x (r-1)!} X {(r)! x (nr)!} / (n)! = 36/84

r/(n-r+1)=3/7 => 7r=3n-3r+3

=> 3n-10r=-3, und ähnlich erhalten wir ab der zweiten Ration

4n-10r = 6

Beim Lösen erhalten wir n = 9, r = 3

Das Problem stellte sich also als 9, wähle 3, 9, wähle 2 und 9, wähle 4.

Beispiel: Jeder im Raum schüttelt jedem die Hand. Die Gesamtzahl der Händeschütteln beträgt 66. Ermitteln Sie die Anzahl der Personen im Raum.

nC2 =66 => n!/{2!(n-2)!}=66 => n(n-1)=132 => n=12

Lösung: Der Wert von n ist also 12. Dies bedeutet, dass die Gesamtzahl der Personen im Raum 12 beträgt und das Problem 12 ist. Wählen Sie 2.

Beispiel: Bei einem Fußballturnier wurden 153 Spiele ausgetragen. Alle Mannschaften spielten ein Spiel. Ermitteln Sie die Anzahl der am Turnier beteiligten Gruppen.

Lösung:

hier nC2 =153 => n!/{2!(n-2)} = 153 => n(n-1)/2=153 => n=18

Die Gesamtzahl der am Turnier teilnehmenden Teams betrug also 18 und die Kombination ist 18 wähle 2 .

Beispiel Während der Deepawali-Zeremonie sendet jedes Clubmitglied Grußkarten an andere. Wenn der Club 20 Mitglieder hat, wie viele Arten von Grußkarten werden von den Mitgliedern insgesamt ausgetauscht?

Lösung: Da zwei Mitglieder ihre Karten auf zwei Arten austauschen können, gibt es 20, die zweimal zwei auswählen

2 x 20C2 =2 x (20!)/{2!(20-2)!}=2*190=380, gäbe es 380 Möglichkeiten, Grußkarten auszutauschen.

Beispiel: Sechs Plus-'+'- und vier Minus-'-'-Symbole sollten in einer solchen geraden Linie angeordnet werden, dass sich keine zwei '-'-Symbole treffen. Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Wege.

 Lösung: Die Reihenfolge kann wie folgt erfolgen: -+-+-+-+-+-+- Die (-) Zeichen können an 7 freien (spitzen) Stellen platziert werden.

Daher erforderliche Anzahl von Wegen = 7C4 = 35.

Beispiel: If nC21 =nC6 , dann finden nC15 =?

Lösung: Gegeben nC21 =nC6

21+6=n => n=27

Daher 27C15 =27!/{15!(27-15)!} =17383860

Welches ist die 27 wählen 15.

Zusammenfassung

Einige Beispiele werden in Abhängigkeit von den Beziehungen und Ergebnissen genommen, als Anzahl von Beispielen, die wir für jedes Ergebnis verwenden können, aber das Wichtigste, das ich hier zeigen möchte, war, wie wir jedes Ergebnis je nach Situation verwenden können, wenn Sie weitere Informationen benötigen Gehen Sie den Inhalt durch oder wenn Sie persönliche Hilfe benötigen, können Sie uns einige der verwandten Inhalte kontaktieren, die Sie finden können unter:

Weitere Themen zur Mathematik finden Sie hier Link.

SCHAUMS ÜBERBLICK ÜBER Theorie und Probleme der DISKRETEN MATHEMATIK

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination