Permutationen und Kombinationen: 11 Fakten, die Sie kennen sollten

Permutationen und Kombinationen

 Permutationen und KombinationenIn diesem Artikel wird das Konzept erörtert, zusätzlich zur direkten Berechnung die Anzahl der möglichen Ergebnisse eines bestimmten Ereignisses oder die Anzahl der festgelegten Elemente, Permutationen und Kombinationen zu bestimmen, die die primäre Berechnungsmethode in der kombinatorischen Analyse darstellen.

Häufige Fehler beim Lernen von Permutationen und Kombinationen

Es gibt immer Verwirrung unter den Schülern dazwischen Permutationen und Kombinationen denn beide beziehen sich auf die Anzahl der Anordnung verschiedener Objekte und die Anzahl der möglichen Ergebnisse eines bestimmten Ereignisses oder die Anzahl der Möglichkeiten, ein Element aus einer Menge zu erhalten. Das Thema Permutation & Kombination mit Beispielen und der Unterschied zwischen ihnen mit Recht wird hier diskutiert.

Eine einfache und praktische Technik, um sich an den Unterschied zwischen zu erinnern Permutationen und Kombinationen ist: eine Permutation ist mit der Reihenfolge verwandt bedeutet, dass die Position in der Permutation wichtig ist, während die Kombination nicht mit der Reihenfolge verwandt ist, bedeutet, dass die Position in der Kombination nicht wichtig ist.

Vor der Diskussion von Permutationen und Kombinationen benötigen wir einige Voraussetzungen, die häufig verwendet werden.

 Was ist faktoriell?

          Faktoriell ist das Produkt der positiven ganzen Zahlen von 1 bis n (Zählung 1 und n), bezeichnet mit n! und als n Fakultät gelesen wird wie folgt beschrieben

n! = 1.2.3.4… (n-2).(n-1).n = n.(n-1).(n-2)…3.2.1

nPr = n.(n-1).(n-2)…(n-r+1) = n!/(Nr)!

Kümmere dich um 0! = 1 

0! = 1

1! = 1

n🇧🇷 🇧🇷 n(nl)!

zB 3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4! = 5.24 = 120

Zählmethoden (Prinzip der Multiplikation und Addition)

      Prinzip der Hinzufügung: Wenn nicht zwei Ereignisse gleichzeitig auftreten können, kann eines der Ereignisse in auftreten

n1 + n2 + n3 + ・ ・ ways .ways

      Prinzip der Multiplikation: Wenn die Ereignisse nacheinander auftreten, können alle Ereignisse in der angegebenen Reihenfolge auftreten:

n1.n2.n3...Wege

Beispiel: Wenn ein Institut 7 verschiedene Kunstkurse, 3 verschiedene technische Kurse und 4 verschiedene physische Kurse durchführt.

Wenn ein Student einen von jedem Kurstyp einschreiben möchte, gibt es verschiedene Möglichkeiten

m = 7.3.4 = 84

Wenn ein Student nur einen der Kurse einschreiben möchte, gibt es verschiedene Möglichkeiten

n = 7 + 3 + 4 = 14

Was ist Permutation?

Die unterschiedliche Positionierung der Objekte wird aufgerufen Permutationen, wo die Reihenfolge der Vereinbarung wichtig ist. Beliebige Positionierung eines Satzes von n Verschiedene Objekte in einer bestimmten Reihenfolge werden als a bezeichnet Permutation des Objekts.

        Betrachten Sie dann ein Beispiel für die Menge der Buchstaben {P, Q, R, S}

  Einige der Permutationen der vier auf einen Blick aufgenommenen Alphabete 4 sind QSRP, SRQP und PRSQ

Jede Reihenfolge von r <= n dieser bestimmten Objekte in einer bestimmten Reihenfolge wird als „r“ bezeichnet-Permutation"Oder"eine Permutation der keinObjekte genommen r zu einer Zeit.

Grundsätzlich mögen wir diese Anzahl solcher Permutationen, ohne sie festzulegen.

Beispiel einer Permutationsformel

Die Anzahl der Permutationen von n verschiedenen Objekten, die gleichzeitig aufgenommen wurden, wird durch angegeben

nPr = n. (n-1).(n-2)…(nr+1) = n!/(n-r)!

In der Mathematik wird dies auf verschiedene Arten bezeichnet, von denen einige nachstehend aufgeführt sind:

P (n, r), nPr, Pn, r oder (n) r

Beispiel: Berechnen Sie die Zahl m von Permutationen von sechs Objekten, sagen wir A, B, C, D, E, F, drei auf einen Blick.

Lösung: Hier ist n = 6, r = 3, m =?

nPr = n!/(nr)!

m = 6P3 = 6!/(6-3)! = 6!/3! = 3!.4.5.6/3!= 4.5.6 = 120

Also m = 120

BEISPIEL: Wie viele Wörter können mit 2 Buchstaben aus dem Wort „MATHS“ generiert werden?

Lösung: Hier ist n = 5, r = 2, m =?

nPr = n!/(nr)!

m = 5P2 = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 3!.4.5/3! = 4.5 = 20

Die erforderliche Anzahl von Wörtern beträgt also 20.

Was verstehen Sie unter einer Kombination?

A Kombination aufgrund n verschiedene Elemente, die r gleichzeitig genommen werden, sind eine Auswahl von r-ten Elementen, bei denen Bestellungen nicht berücksichtigt werden. Eine solche Auswahl wird als bezeichnet R-Kombination. Kurz gesagt, a Kombination ist eine Auswahl, bei der die Reihenfolge der ausgewählten Objekte nicht wichtig ist.

      Das Kombination gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, wie ein bestimmter Satz angeordnet werden kann, wobei die Reihenfolge der Anordnung keine Rolle spielt.

 Betrachten Sie das Beispiel, um die Situation der Kombination zu verstehen

Zwanzig Leute kommen in eine Halle und jeder gibt allen anderen die Hand. Wie können wir die Anzahl der Handshakes ermitteln? "A" Händeschütteln mit B und B mit A sind keine zwei verschiedenen Händedrucke. Hier ist die Reihenfolge des Handshakes nicht wichtig. Die Anzahl der Handshakes ist die Kombination von 20 verschiedenen Dingen, die jeweils 2 Mal ausgeführt werden.

Kombinationsformel mit einem einfachen Beispiel

       Die Anzahl solcher Kombinationen wird mit bezeichnet

Manchmal wird es auch mit C (n, r) bezeichnet, nCr , Cn, r oder Crn

Beispiel: Eine Klasse besteht aus 10 Schülern mit 6 Männern und 4 Frauen. Finde die Nummer n von Möglichkeiten, ein 4-köpfiges Komitee unter diesen Studenten zu wählen.

Dies hängt mit Kombinationen zusammen, nicht mit Permutationen, da die Reihenfolge in einem Ausschuss kein wichtiger Faktor ist. Es gibt "10 wählen 4" solcher Ausschüsse. Das ist:

hier ist n = 10, r = 4

Auf 210 Arten können wir ein solches 4-köpfiges Komitee auswählen.

Beispiel: Ein Behälter hat 6 blaue und 8 rote Kugeln. Identifizieren Sie die Anzahl der Möglichkeiten, wie zwei Kugeln einer der Farben aus dem Behälter gezogen werden können.

Hier möglicherweise "14 wählen 2" Möglichkeiten zur Auswahl von 2 der 14 Bälle. So:

Hier ist n = 14, r = 2

Auf 91 Arten können also zwei Kugeln jeder Farbe gezeichnet werden.

Unterschied zwischen Permutation und Kombination

Der Unterschied zwischen Permutation und Kombination wird hier kurz angegeben

PermutationKombination
Bestellung ist wichtigBestellung ist nicht wichtig
Bestellung zähltBestellung zählt nicht
Wird für Vereinbarungen wie die Wahl des Präsidenten, des Vizepräsidenten und des Schatzmeisters verwendetWird zur Auswahl verwendet, z. B. zur Auswahl von Teams und Komitees ohne Positionen
Zur Wahl der ersten, zweiten und dritten spezifischen PositionZur Auswahl von drei zufälligen
Zum Anordnen der Karten oder Bälle mit Position und FarbeZur Auswahl einer Farbe und Position
Unterschied zwischen Permutationen und Kombinationen

Wo Permutationen und Kombinationen anzuwenden sind

  Dies ist der wichtige Schritt, der beachtet werden sollte, den wir immer dann anwenden müssen, wenn es um Anordnung, Bestellung und Einzigartigkeit geht Permutation und wann immer die Situation für Auswahl, Auswahl, Kommissionierung und Kombination ohne die Sorge um die Reihenfolge ist, die wir verwenden müssen Kombination. Wenn Wenn Sie diese Grundlagen im Kopf behalten, wird es keine Verwirrung darüber geben, was zu verwenden ist und was nicht, wenn eine Frage auftaucht.

Verwendung von Permutationen und Kombinationen im wirklichen Leben mit Beispielen

Im wirklichen Leben wird die Permutation und die Kombination fast überall verwendet, weil wir wissen, dass es im wirklichen Leben eine Situation geben würde, in der Ordnung wichtig ist und irgendwo Ordnung nicht wichtig ist. In diesen Situationen müssen wir die entsprechende Methode anwenden.

Zum Beispiel

Finde die Nummer N von 11 Teams mit einem bestimmten Kapitän, der aus 26 Spielern ausgewählt werden kann.

Häufig gestellte Fragen - FAQs

Was ist Fakultät?

Das Produkt der positiven ganzen Zahlen von 1 bis n (einschließlich 1 & n)

n! = 1.2.3… (n-2). (n-1). n

Was ist eine Permutation?

Die unterschiedliche Reihenfolge der Objekte wird aufgerufen Permutationen

Was ist eine Kombination?

     Das Kombination gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, wie ein bestimmter Satz festgelegt werden kann, wobei die Reihenfolge der Anordnung keine Rolle spielt.

Anwendung von Permutationen und Kombinationen im praktischen Leben

Eine Permutation wird zum Anordnen oder Auswählen von Listen verwendet, bei denen die Reihenfolge wichtig ist, und eine Kombination wird zum Auswählen oder Auswählen verwendet, wenn die Reihenfolge nicht wichtig ist.

Permutationsformel

nPr = n!/(nr)!

Kombinationsformel

Gibt es einen Zusammenhang zwischen Permutationen und Kombinationen?

Ja,

nCr = nPr/r!

Können wir Permutationen und Kombinationen im wirklichen Leben verwenden?

Ja,

Bei der Anordnung von Wörtern, Alphabeten, Zahlen, Positionen und Farben usw., bei denen die Reihenfolge wichtig ist, wird die Permutation verwendet

Bei der Auswahl von Komitees, Teams, Menüs und Themen usw., bei denen die Reihenfolge nicht wichtig ist, wird eine Kombination verwendet.

Fazit

   Die kurzen Informationen über Permutationen und Kombinationen mit Grundformel wird zweimal oder dreimal gelesen, bis Sie die Idee über das Konzept bekommen, in aufeinanderfolgenden Artikeln werden wir die verschiedenen Ergebnisse und Formeln mit geeigneten Beispielen von detailliert diskutieren Permutationen und Kombinationen. Wenn Sie weiter studieren möchten, gehen Sie durch:

Weitere Themen zur Mathematik finden Sie hier Link.

1. SCHAUM'S ÜBERBLICK ÜBER Theorie und Probleme der DISKRETEN MATHEMATIK

2.   https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

3.   https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

4.   https://in.bgu.ac.il/

5. https://www.cs.bgu.ac.il/

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