13 Fakten zu Punkten in der Koordinatengeometrie in 2D

Dies ist ein fortlaufender Beitrag zu post Geometrie koordinieren, speziell auf Punkte. Wir haben bereits einige Themen früher im Beitrag besprochen „Ein vollständiger Leitfaden zur Koordinatengeometrie“. In diesem Beitrag werden wir die restlichen Themen besprechen.

Grundformeln für Punkte in der Koordinatengeometrie in 2D:

Alle grundlegenden Formeln zu Punkten in der analytischen Geometrie werden hier beschrieben und zum einfachen und schnellen Erlernen der Formeln auf einen Blick a 'Formeltabelle nach Punkten' mit grafischer Erklärung ist unten dargestellt.

Zwei-Punkte-Abstandsformeln | Analytische Geometrie:

Die Entfernung ist ein Maß, um herauszufinden, wie weit Objekte, Orte usw. voneinander entfernt sind. Es hat einen numerischen Wert mit Einheiten. In der Koordinatengeometrie oder analytischen Geometrie in 2D gibt es eine Formel, die vom Satz des Pythagoras abgeleitet ist, um den Abstand zwischen zwei Punkten zu berechnen. wir können es als „Entfernung“ schreiben. d =√ [(x2-x1)2+ (y2-y1)2 ] , Wobei  (x1,y1) und (x2,y2) sind zwei Punkte auf der xy-Ebene. Nach einer kurzen grafischen Erläuterung folgt 'Formeltabelle zum Punktethema Nr. 1' unten.

Eine Entfernung eines Punktes vom Ursprung | Koordinatengeometrie:

Wenn wir unsere Reise mit Ursprung in der xy-Ebene beginnen und an einem beliebigen Punkt dieser Ebene enden, kann der Abstand zwischen Ursprung und Punkt auch durch eine Formel "Distanz" ermittelt werden OP=√ (x2 + y2), was auch eine reduzierte Form der „Zwei-Punkte-Distanzformel“ mit einem Punkt bei (0,0) ist. Es folgt eine kurze grafische Erläuterung 'Formeltabelle zum Punktethema Nr. 2' unten.

Punktschnittformeln |Koordinatengeometrie :

Wenn ein Punkt ein Liniensegment teilt, das zwei gegebene Punkte in einem bestimmten Verhältnis verbindet, können wir Schnittformeln verwenden, um die Koordinaten dieses Punktes zu finden, während das Verhältnis, durch das das Liniensegment geteilt wird, gegeben ist und umgekehrt. Es besteht die Möglichkeit, dass das Liniensegment entweder intern oder extern durch den Punkt geteilt wird. Wenn der Punkt auf dem Liniensegment zwischen den beiden gegebenen Punkten liegt, werden interne Schnittformeln verwendet, dh

\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}

und

\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}

Und wenn der Punkt auf dem äußeren Teil des Liniensegments liegt, das die beiden gegebenen Punkte verbindet, werden externe Schnittformeln verwendet, dh

\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}

Wobei (x, y) die erforderlichen Koordinaten des Punktes sein sollen. Dies sind sehr notwendige Formeln, um in der Physik den Schwerpunkt, die Mittelpunkte und den Umfang eines Dreiecks sowie den Massenschwerpunkt von Systemen, Gleichgewichtspunkten usw. zu ermitteln. Sehen Sie sich unbedingt die kurze Übersicht über verschiedene Arten von Abschnittsformeln mit Diagrammen unten im an „Formeltabelle zu den Punkten Thema Nr. 3; Fall-I und Fall-II'.

Mittelpunktformel| Koordinatengeometrie:

Es handelt sich um eine einfache Formel, die aus den oben beschriebenen Formeln für den Abschnitt für interne Punkte abgeleitet wird. Während wir den Mittelpunkt eines Liniensegments finden müssen, dh die Koordinate des Punktes, der von den beiden gegebenen Punkten auf dem Liniensegment äquidistant ist, dh das Verhältnis wird 1:1-Form, dann ist diese Formel erforderlich. Die Formel hat die Form

Wenn ein Punkt ein Liniensegment teilt, das zwei gegebene Punkte in einem bestimmten Verhältnis verbindet, können wir Schnittformeln verwenden, um die Koordinaten dieses Punktes zu finden, während das Verhältnis, durch das das Liniensegment geteilt wird, gegeben ist und umgekehrt. Es besteht die Möglichkeit, dass das Liniensegment entweder intern oder extern durch den Punkt geteilt wird. Wenn der Punkt auf dem Liniensegment zwischen den beiden gegebenen Punkten liegt, werden interne Schnittformeln verwendet, dh

\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}

und

\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}

Und wenn der Punkt auf dem äußeren Teil des Liniensegments liegt, das die beiden gegebenen Punkte verbindet, werden externe Schnittformeln verwendet, dh

\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}

        und

\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}

Wobei (x, y) die erforderlichen Koordinaten des Punktes sein sollen. Dies sind sehr notwendige Formeln, um in der Physik den Schwerpunkt, die Mittelpunkte und den Umfang eines Dreiecks sowie den Massenschwerpunkt von Systemen, Gleichgewichtspunkten usw. zu ermitteln. Sehen Sie sich unbedingt die kurze Übersicht über verschiedene Arten von Abschnittsformeln mit Diagrammen unten im an „Formeltabelle zu den Punkten Thema Nr. 3; Fall-I und Fall-II'.

Mittelpunktformel| Koordinatengeometrie:

Es handelt sich um eine einfache Formel, die aus den oben beschriebenen Formeln für den Abschnitt für interne Punkte abgeleitet wird. Während wir den Mittelpunkt eines Liniensegments finden müssen, dh die Koordinate des Punktes, der von den beiden gegebenen Punkten auf dem Liniensegment äquidistant ist, dh das Verhältnis wird 1:1-Form, dann ist diese Formel erforderlich. Die Formel hat die Form

x=\\frac{x_{1}+x_{2}}{2}

und

x=\\frac{y_{1}+y_{2}}{2}

Gehe durch die „Formeltabelle zu Punkten Thema Nr. 3-Fall-III“ unten, um die grafische Idee dazu zu erhalten.

Fläche eines Dreiecks in der Koordinatengeometrie:

Ein Dreieck hat drei Seiten und drei Eckpunkte in der Ebene oder im zweidimensionalen Feld. Die Fläche des Dreiecks ist der Innenraum, der von diesen drei Seiten umgeben ist. Die Grundformel der Flächenberechnung eines Dreiecks lautet (2/1 X Basis X Höhe). Wenn in der analytischen Geometrie die Koordinaten aller drei Eckpunkte angegeben sind, kann die Fläche des Dreiecks leicht mit der Formel berechnet werden: Fläche des Dreiecks   =|½[x1 (y2-  y3 )+x2 (y3-  y2)+x3 (y2-y  1)]| , eigentlich kann dies aus der Grundformel der Fläche eines Dreiecks unter Verwendung der Zwei-Punkte-Abstandsformel in der Koordinatengeometrie abgeleitet werden. Beide Fälle werden grafisch in der beschrieben 'Formeltabelle zu Punkten Thema 4' unten.

Kollinearität von Punkten (Drei Punkte) |Koordinatengeometrie:

Kollinear bedeutet „auf derselben Linie sein“. Wenn in der Geometrie drei Punkte auf einer einzigen Linie in der Ebene liegen, können sie niemals ein Dreieck mit einer anderen Fläche als Null bilden, d Das durch diese Punkte gebildete imaginäre Dreieck hat am Ende nur Null. Die Formel lautet also: ½[x1 (y2-  y3 )+x2 (y3-  y2)+x3 (y2-y  1)] =0 Für eine klarere Idee mit grafischer Darstellung gehen Sie durch die „Formeltabelle zum Punktethema Nr. 5“ unten.

Schwerpunkt eines Dreiecks| Formel :

Die drei Mediane* eines Dreiecks schneiden sich immer in einem Punkt, der sich im Inneren des Dreiecks befindet und teilt den Median im Verhältnis 2:1 von einem beliebigen Scheitelpunkt zum Mittelpunkt der Gegenseite. Dieser Punkt wird als Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet. Die Formel zum Ermitteln der Koordinaten des Schwerpunkts lautet

x=\\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}

und

x=\\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}

In den „Formeltabelle zum Punktethema Nr. 6“ nachfolgend wird das obige Thema zum besseren Verständnis und zur schnellen Übersicht grafisch beschrieben.

Mittelpunkt eines Dreiecks|Formel:

Es ist der Mittelpunkt des größten Inkreises des Dreiecks, der in das Dreieck passt. Es ist auch der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks. Die Formel, die verwendet wird, um den Mittelpunkt eines Dreiecks zu finden, ist     

x=\\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}

und

x=\\frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}

In den „Formeltabelle zum Punktethema Nr. 6“ nachfolgend wird das obige Thema zum besseren Verständnis und zur schnellen Übersicht grafisch beschrieben.

Zur einfachen grafischen Erklärung unten „Formeltabelle zum Punktethema Nr. 7“ ist notwendig, um zu sehen.

Verschiebung der Ursprungsformel| Koordinatengeometrie:

Wir haben es bereits im vorherigen Beitrag gelernt „Ein vollständiger Leitfaden zur Koordinatengeometrie“ dass der Ursprung auf dem Punkt (0,0) liegt, der der Schnittpunkt der Achsen in der Ebene ist. Wir können den Ursprung in allen Quadranten der Ebene in Bezug auf den Ursprung verschieben, wodurch ein neuer Satz von Achsen durch ihn entsteht.

Für einen Punkt in der oben genannten Ebene ändern sich seine Koordinaten zusammen mit dem neuen Ursprung und den neuen Achsen und das kann durch die Formel berechnet werden, neue Koordinaten eines Punktes P (x1,y1) sind x1 = x- a ; j1 = j-  b wobei die Koordinaten des neuen Ursprungs (a,b) sind. Um ein klares Verständnis zu diesem Thema zu haben, ist es vorzuziehen, die grafische Darstellung unten im „Formeltabelle zum Punktethema Nr. 8“ .

Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D:

Punkte
15 1-Screenshot
Screenshot 16
Screenshot 17
Screenshot 2

﹡Umfang eines Dreiecks:

Es ist der Schnittpunkt von drei senkrechten Winkelhalbierenden der Seite eines Dreiecks. Es ist auch der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks, der nur die Eckpunkte des Dreiecks berührt.

﹡Mediane:

Median ist das Liniensegment, das den Scheitelpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt oder dem Punkt verbindet und die gegenüberliegende Seite des Scheitelpunkts halbiert. Jedes Dreieck hat drei Mediane, die sich immer im Schwerpunkt desselben Dreiecks schneiden.                                                         

Gelöste Probleme an Punkten in der Koordinatengeometrie in 2D.

Zum besseren Erlernen von Punkten in 2D wird hier ein grundlegendes Beispiel Schritt für Schritt gelöst und für die eigene Übung gibt es weitere Aufgaben mit Antworten zu jeder Formel. Nachdem Sie eine grundlegende und klare Vorstellung vom Thema Punkte in der 2D-Koordinatengeometrie erhalten haben, müssen in den nächsten Artikeln anspruchsvolle Probleme mit Lösung behandelt werden.

Grundlegende Beispiele zu den Formeln „Der Abstand zwischen zwei Punkten“

Probleme 1:  Berechnen Sie den Abstand zwischen den beiden gegebenen Punkten (1,2) und (6,-3).

Lösung: Wir kennen bereits die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten  (x1,y1) und (x2,y2)  is d =√ [(x2-x1)2+ (y2-y1)2 ] …(1)                                                                                                                    

(Siehe Formeltabelle oben)   Hier können wir annehmen, dass (x1,y1) (1,2) und (x2,y2) ≌ (6,-3) dh x1=1, ja1=2 und x2=6, ja2 =-3 , Wenn wir alle diese Werte in die Gleichung (1) einsetzen, erhalten wir den erforderlichen Abstand.

image6

Daher ist der Abstand zwischen den beiden Punkten (1,2) und (6,-3)

=√ [(6-1)2+(-3-2)2 ] Einheiten

= [(5)2+(-5)2 ] Einheiten

=√ [25+25 ] Einheiten

=√ [50 ] Einheiten

=√ [2×52 ] Einheiten

= 5√2 Einheiten (Ans.)

Hinweis: Auf Distanz folgen immer einige Einheiten.

Weitere beantwortete Probleme (Basic) werden unten zum weiteren Üben mit dem oben beschriebenen Verfahren gegeben Problem 1:-

Aufgabe 2: Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten (2,8) und (5,10).               

Antwort √13 Einheiten

Aufgabe 3: Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten (-3,-7) und (1,-10).           

Antwort. 5 Einheiten

Aufgabe 4: Finden Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten (2,0) und (-3,4).               

 Antwort √41 Einheiten

Aufgabe 5: Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten (2,-4) und (0,0).                

Antwort. 25 Einheiten

Aufgabe 6: Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten (10,100) und (-10,100,). 

                                                                                                                               Antwort. 20 Einheiten

Aufgabe 7: Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten (√5,1) und (2√5,1).          

Antwort 5 Einheiten

Aufgabe 8: Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten (2√7,2) und (3√7,-1).       

Antwort 4 Einheiten

Aufgabe 9: Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten (2+√10, 0) und (2-√10, 0).   

                                                                                                                              Antwort 2√10 Einheiten

Aufgabe 10: Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten (2+3i, 0) und (2-3i, 10). { i=√-1 }

                                                                                                                                 Antwort. 8 Einheiten

Aufgabe 11: Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten (2+i, -5) und (2-i, -7). { i=√-1 }

                                                                                                                                  Antwort 0 Einheiten

Aufgabe 12: Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten (7+4i,2i) und (7-4i, 2i). { i=√-1 }

                                                                                                                                   Antwort 8i Einheiten

Aufgabe 13: Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten (√3+i, 3) und (2√3+i, 5). { i=√-1 }  

                                                                                                                                Antwort 7 Einheiten

Aufgabe 14: Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten (5+√2, 3+i) und (2+√2, 7+2i). { i=√-1 } 

                                                                                                                           Antwort 2√(6+2i) Einheiten 

Grundlegende Beispiele zu den Formeln „Der Abstand eines Punktes vom Ursprung“

Aufgaben 15: Finden Sie den Abstand eines Punktes (3,4) vom Ursprung.

Lösung:                                                                                                

 Wir haben die Formel für den Abstand eines Punktes vom Ursprung,  OP=√ (x2 + y2) (Siehe Formeltabelle oben) Hier können wir also (x,y) ≌ (3,4) annehmen, dh x=3 und y=4                                                                                            

image9

Setzen wir diese Werte von x und y in die obige Gleichung ein, erhalten wir den erforderlichen Abstand 

=(32 + 42) Einheiten

=√ (9 + 16) Einheiten

=√ (25) Einheiten

= 5 Einheiten

Hinweis: Auf die Entfernung folgen immer einige Einheiten.

Hinweis: Die Entfernung eines Punktes vom Ursprung ist eigentlich die Entfernung zwischen dem Punkt und dem Ursprungspunkt, dh (0,0)

Im Folgenden finden Sie weitere beantwortete Probleme, um das oben beschriebene Verfahren weiter zu üben

Aufgabenstellung: 15:-

Aufgabe 16: Bestimmen Sie den Abstand eines Punktes (1,8) vom Ursprung.                              

Antwort √65 Einheiten

Aufgabe 17: Bestimmen Sie den Abstand eines Punktes (0,7) vom Ursprung.                              

Antwort 7 Einheiten

Aufgabe 18: Finden Sie den Abstand eines Punktes (-3,-4) vom Ursprung.                            

Antwort 5 Einheiten

Aufgabe 19: Bestimmen Sie den Abstand eines Punktes (10,0) vom Ursprung.                             

Antwort 10 Einheiten

Aufgabe 20: Bestimmen Sie den Abstand eines Punktes (0,0) vom Ursprung.                               

Antwort 0 Einheiten

                 ___________________________________________________________

Grundlegende Beispiele zu anderen Punktformeln oben beschrieben und ein paar herausfordernde Fragen zu diesem Thema in Koordinatengeometrie, folgen die nächsten Beiträge post.