Schiefe: 7 wichtige Fakten, die Sie kennen sollten

Inhalt

 Schiefe

    Die Kurve, die die aufgezeichneten Beobachtungen darstellt, stellt die Schiefe des gegebenen Satzes dar, wenn die Form der Kurve nicht symmetrisch ist. Mit anderen Worten, der Mangel an Symmetrie im Graphen der gegebenen Informationen repräsentiert die Schiefe der gegebenen Menge. Je nach Schwanz rechts oder links wird die Schiefe als positiv schief oder negativ schief bezeichnet. Die von dieser Schiefe abhängige Verteilung wird als positiv schiefe Verteilung oder negativ schiefe Verteilung bezeichnet

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positiv schiefe Kurve
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Negativ schiefe Kurve

Mittelwert, Modus und Median zeigen die Art der Verteilung. Wenn also die Art oder Form der Kurve symmetrisch ist, sind diese Maße der zentralen Tendenzen gleich und für die schiefen Verteilungen variieren diese Maße der zentralen Tendenzen entweder als Mittel>Median>Modus oder Mittel

Varianz und Schiefe

UnterschiedSchiefe
Der Betrag der Variabilität kann mit der Varianz ermittelt werdenDie Richtung der Variabilität kann durch die Schiefe erhalten werden
Die Anwendung des Variationsmaßes findet sich in der BetriebswirtschaftslehreDie Anwendung des Schiefheitsmaßes findet sich in der Medizin und den Biowissenschaften
Varianz und Schiefe

Maß für Schiefe

Um den Grad und die Richtung der Häufigkeitsverteilung, ob positiv oder negativ, zu finden, ist das Maß der Schiefe selbst mit Hilfe des Diagramms sehr hilfreich. Wir kennen die positive oder negative Natur der Schiefe, aber die Größe wird in Diagrammen nicht genau sein, daher diese statistische Maße geben das Ausmaß des Mangels an Symmetrie an.

Um genau zu sein, muss das Maß für die Schiefe haben

  1. Einheitsfrei, damit die verschiedenen Verteilungen vergleichbar sind, wenn die Einheiten gleich oder unterschiedlich sind.
  2. Maßwert für symmetrische Verteilung Null und positiv oder negativ für positive oder negative Verteilungen entsprechend.
  3. Der Wert des Maßes sollte variieren, wenn wir von einer negativen Schiefe zu einer positiven Schiefe wechseln.

Es gibt zwei Arten von Schiefemaßen

  1. Absolutes Maß für die Schiefe
  2. Relatives Maß für die Schiefe

absolutete Maß für die Schiefe

In der symmetrischen Verteilung sind Mittelwert, Modus und Median gleich, so dass im absoluten Maß der Schiefe die Differenz dieser zentralen Tendenzen das Ausmaß der Symmetrie in der Verteilung und die Natur als positive oder negative schiefe Verteilung angibt, aber das absolute Maß für verschiedene Einheiten ist nicht nützlich beim Vergleich zweier Informationssätze.

Die absolute Schiefe erhalten Sie mit

  1. Schiefe (Sk)=Mittel-Median
  2. Schiefe (Sk)=Mittel-Modus
  3. Schiefe (Sk)=(F3-Q2)-(Q2-Q1)

Relatives Maß für die Schiefe

Das relative Maß der Schiefe wird verwendet, um die Schiefe in zwei oder mehr Verteilungen zu vergleichen, indem der Einfluss der Variation eliminiert wird. Das relative Maß der Schiefe wird als Schiefekoeffizient bezeichnet. Im Folgenden sind die wichtigen relativen Maße der Schiefe aufgeführt.

  1. Der Schiefekoeffizient von Karl Pearson

Diese Methode wird am häufigsten verwendet, um die Schiefe zu berechnen

S_k=\\frac{Mean-Mode}{\\sigma}

dieser Schiefekoeffizient ist positiv für eine positive Verteilung, negativ für eine negative Verteilung und null für die symmetrische Verteilung. Dieser Koeffizient von Karl Pearson liegt normalerweise zwischen +1 und -1. Wenn Mode nicht definiert ist, verwenden wir zur Berechnung des Karl-Pearson-Koeffizienten die Formel als

S_k=\\frac{3(Mean-Mode)}{\\sigma}

Wenn wir diese Beziehung verwenden, liegt der Koeffizient von Karl Pearson zwischen +3 und -3.

2. Bowleys Koeffizient der Schiefe|Quartilmaß der Schiefe

Beim Bowleys-Schiefekoeffizienten wurden die Quartilsabweichungen verwendet, um die Schiefe zu bestimmen, daher wird sie auch als Quartilsmaß der Schiefe bezeichnet

S_k=\\frac{(Q_3-Q_2)-(Q_2-Q_1)}{(Q_3-Q_1)} \\\\=\\frac{(Q_3-2Q_2+Q_1)}{(Q_3-Q_1)}

oder wir können es schreiben als

S_k=\\frac{(Q_3-M)-(M-Q_1)}{(Q_3-Q_1)} \\\\=\\frac{(Q_3-2M+Q_1)}{(Q_3-Q_1)}

dieser Koeffizientenwert ist null, wenn die Verteilung symmetrisch ist und der Wert für die positive Verteilung positiv ist, für die negative Verteilung ist er negativ. Der Wert von Sk liegt zwischen -1 und +1.

3. Kellys Schiefe-Koeffizient

Bei diesem Maß für die Schiefe werden die Perzentile und Dezile verwendet, um die Schiefe zu berechnen, der Koeffizient ist

S_k=\\frac{(P_{90}-P_{50})-(P_{50}-P_{10})}{(P_{90}-P_{10})} \\\\=\\frac{(P_{90}-2P_{50}+P_{10})}{(P_{90}-P_{10})}

wobei diese Schiefe die 90, 50 und 10 Perzentile betrifft und mit Dezilen können wir es schreiben als

S_k=\\frac{(D_9-D_5)-(D_5-D_1)}{(D_9-D_1)} \\\\=\\frac{(D_9-2D_5+D_1)}{(D_9-D_1)}

in denen 9,5 und 1 Dezil verwendet wurden.

4. β und γ Schiefekoeffizient| Maß für die Schiefe basierend auf Momenten.

Mit den zentralen Momenten als Maß für die Schiefe kann der Schiefebeiwert β definiert werden als

\\beta_1=\\frac{{\\mu_3}^2}{{\\mu_2}^3}

Dieser Schiefekoeffizient gibt den Wert Null für die symmetrische Verteilung, aber dieser Koeffizient sagt nicht speziell für die positive oder negative Richtung aus, daher kann dieser Nachteil beseitigt werden, indem die Quadratwurzel von Beta als . genommen wird

\\gamma_1=\\pm \\sqrt{\\beta_1}=\\frac{\\mu_3}{{\\mu_2}^{3/2}}=\\frac{\\mu_3}{\\sigma^3}

dieser Wert gibt den positiven bzw. negativen Wert für die positive bzw. negative Verteilung an.

Beispiele für Schiefe

  1.  Ermitteln Sie mit den folgenden Informationen den Schiefekoeffizienten
Lohn0-1010-2020-3030-4040-5050-6060-7070-80
Anzahl Personen121835425045208

Lösung: Um den Schiefekoeffizienten zu ermitteln, verwenden wir den Koeffizienten von Karl Pearson

FrequenzMittelwert(x)fxfx2
0-1012560300
10-2018152704050
20-30352587521875
30-404235147051450
40-5050452250101250
50-6045552475136125
60-702065130084500
70-8087560045000
2309300444550

der Karl-Pearson-Schiefe-Koeffizient ist

\\begin{array}{l} \\text { Schiefekoeffizient der Karl-Person }=J=\\frac{\\text { Mittelwert }-\\text { Modus }}{S . D .}\\\\ \\begin{array}{l} \\text { Mean, } \\quad \\bar{x}=\\frac{1}{N} \\sum_{i} f_{ i} x_{i}, \\quad \\text { Modus }=l+\\frac{c\\left(f_{1}-f_{0}\\right)}{\\left(f_{1} -f_{0}\\right)+\\left(f_{1}-f_{2}\\right)} \\\\ \\text { Standardabweichung }=\\sqrt{\\frac{1} {N} \\sum_{i} f_{i} x_{i}^{2}-\\bar{x}^{2}} \\end{array} \\end{array}

\\begin{array}{c} \\text { Mittelwert }=\\frac{9300}{230}=40.43 \\\\ \\text { S.D. }=\\sqrt{\\frac{1}{N} \\sum_{i} f_{i} x_{i}^{2}-\\bar{x}^{2}}=\\sqrt{ \\frac{1}{230}(444550)-\\left[\\frac{9300}{230}\\right]^{2}}=17.27 . \\end{array}

die Modalklasse ist die Höchstfrequenzklasse 40-50 und die jeweiligen Frequenzen sind

f_{0}=42, f_{1}=50,f_{2}=45

so

\\text { Hence, Mode }=40+\\frac{10(50-42)}{(50-42)+(50-45)}=46.15

der Schiefekoeffizient ist also

=\\frac{40.43-46.15}{17.27}=-0.3312

was die negative Schiefe zeigt.

2. Ermitteln Sie den Schiefekoeffizienten der frequenzverteilten Noten von 150 Schülern in einer bestimmten Prüfung

Marken0-1010-2020-3030-4040-5050-6060-7070-80
Frequenz104020010401614

Lösung: Um den Schiefekoeffizienten zu berechnen, benötigen wir Mittelwert, Modus, Median und Standardabweichung für die gegebenen Informationen, daher bilden wir für ihre Berechnung die folgende Tabelle

Klassenintervallfmittlerer Wert
x
vgld'=(x-35)/10f*d'f*d'2
0-1010510-3-3090
10-20401550-2-80160
20-30202570-1-2020
30-4003570000
40-5010458011010
50-604055120280160
60-701665136348144
70-801475150456244
gesamt=64gesamt=828

jetzt werden die Maßnahmen sein

\\begin{array}{l} Median =\\mathrm{L}+\\frac{\\left(\\frac{\\mathrm{N}}{2}-\\mathrm{C}\\right )}{\\mathrm{f}} \\times \\mathrm{h}=40+\\frac{75-70}{10} \\times 10=45 \\\\Mean (\\overline{\ \mathrm{x}})=\\mathrm{A}+\\frac{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{\\mathrm{k}} \\mathrm{fd}^{\ \prime}}{\\mathrm{N}} \\times \\mathrm{h}=35+\\frac{64}{150} \\times 10=39.27 \\end{array}

und

\\begin{aligned} Standardabweichung }(\\sigma) &=\\mathrm{h} \\times \\sqrt{\\frac{\\sum \\mathrm{fd}^{\\prime 2}} {\\mathrm{~N}}-\\left(\\frac{\\sum \\mathrm{fd}}{\\mathrm{N}}\\right)^{2}} \\\\ & =10 \\times \\sqrt{\\frac{828}{150}-\\left(\\frac{64}{150}\\right)^{2}} \\\\&=10 \\ mal \\sqrt{5.33}=23.1 \\end{aligned}

daher ist der Schiefekoeffizient für die Verteilung

S_k=\\frac{3(Mean-Median)}{\\sigma} \\\\=\\frac{3(39.27-45}{23.1}=-0.744

3. Bestimmen Sie den Mittelwert, die Varianz und den Koeffizienten der Schiefe der Verteilung, deren erste vier Momente um 5 2,20,40 und 50 sind.

Lösung: da die ersten vier Momente so gegeben sind

\\begin{array}{c} \\mu_{1}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i} \\left(x_{i}-5\\right)=2 ; \\mu_{2}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i}\\left(x_{i}- 5\\right)^{2}=20 ; \\\\ \\mu_{3}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i}\\left(x_ {i}-5\\right)^{3}=40 \\quad \\text { und } \\quad \\mu_{4}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{ N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i}\\left(x_{i}-5\\right)^{4}=50 . \\\\ \\mu_{1}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i} x_{i}- 5=2 \\\\ \\Rightarrow \\bar{x}=2+5=7 \\end{array}

damit wir es schreiben können

\\begin{array}{l} \\mu_{r}=\\mu_{r}^{\\prime}(A)-{ }^{r} C_{1} \\mu_{r-1} ^{\\prime}(A) \\mu_{1}^{\\prime}(A)+{ }^{r} C_{2} \\mu_{r-2}^{\\prime}( A)\\left[\\dot{\\mu}_{1}^{\\prime}(A)\\right]^{2}-\\ldots .+(-1)^{r}\ \left[\\mu_{1}^{\\prime}(A)\\right]^{r} \\\\ \\text { Daher } \\mu_{2}=\\mu_{2}^ {\\prime}(5)-\\left[\\mu_{1}^{\\prime}(5)\\right]^{2}=20-4=16 \\\\ \\mu_{ 3}=\\mu_{3}^{\\prime}(5)-3 \\mu_{2}^{\\prime}(5) \\mu_{1}^{\\prime}(5) +2\\left[\\mu_{1}^{\\prime}(5)\\right]^{3} \\\\ 40-3 \\times 20 \\times 2+2 \\times 2 ^{3}=-64 \\end{array}

der Schiefekoeffizient ist also

\\beta_{1}=\\frac{\\mu_{3}^{2}}{\\mu_{2}^{3}}=\\frac{(-64)^{2}}{(16)^{3}}=-1

Positively schiefe Verteilung definition|Rechte schiefe Verteilung Bedeutung

Jede Verteilung, bei der das Maß der zentralen Tendenzen, dh Mittelwert, Modus und Median, positive Werte aufweist und der Information in der Verteilung die Symmetrie fehlt.

Mit anderen Worten, die positiv schiefe Verteilung ist die Verteilung, bei der das Maß der zentralen Tendenzen folgt als Mittelwert>Median>Modus auf der rechten Seite der Verteilungskurve.

Wenn wir die Informationen der Verteilung skizzieren, wird die Kurve rechts tailliert, weshalb die positiv schiefe Verteilung auch als . bekannt ist rechtsschiefe Verteilung.

positiv schiefe Verteilung oder rechtsschiefe Verteilung
positiv/ rechtsschiefe Verteilung

aus der obigen Kurve ist klar, dass die Mode das kleinste Maß in positiv oder rechtsschiefer Verteilung ist und der Mittelwert das größte Maß für zentrale Tendenzen ist.

Beispiel für eine positiv schiefe Verteilung|Beispiel für eine rechtsschiefe Verteilung

  1. Für eine positiv schiefe oder rechtsschiefe Verteilung, wenn der Schiefe-Koeffizient 0.64 beträgt, ermitteln Sie den Modus und den Median der Verteilung, wenn Mittelwert und Standardabweichung 59.2 bzw. 13 betragen.

Lösung: Die angegebenen Werte sind Mittelwert=59.2, sk= 0.64 und  σ=13 also unter Verwendung der Beziehung

S_k=\\frac{mean-mode}{\\sigma} \\\\0.64=\\frac{59.2-\\text { Mode }}{13} \\\\Mode =59.20-8.32=50.88 \\ \\Mode =3 Median -2 Mittelwert \\\\50.88=3 Median -2(59.2) \\\\Median =\\frac{50.88+118.4}{3}=\\frac{169.28}{3}= 56.42

2. Ermitteln Sie die Standardabweichung der positiv schiefen Verteilung, deren Schiefekoeffizient 1.28 mit Mittelwert 164 und Modus 100 beträgt?

Lösung: In gleicher Weise mit den gegebenen Informationen und der Formel für den Koeffizienten der positiv schiefen Verteilung

S_k=\\frac{mean-mode}{\\sigma} \\\\1.28=\\frac{164-100}{\\sigma} \\\\\\sigma=\\frac{64}{1.28}=50

die Standardabweichung beträgt also 50.

3. Finden Sie in den vierteljährlichen Abweichungen den Wert des dritten Quartils der Häufigkeitsverteilung, der mit einem Schiefekoeffizienten von 200 positiv schief ist, wenn die Addition der ersten und dritten vierteljährlichen Abweichungen 76 beträgt und der Median 1.2 beträgt.

SLösung: Um das dritte Quartil zu finden, müssen wir die Beziehung zwischen Schiefekoeffizient und Vierteljahren verwenden, da die gegebenen Informationen vorliegen

S_k=1.2 \\\\Q_1+Q_3=200 \\\\Q_2=76[ \\\\S_{k}=\\frac{\\left(Q_{3}+Q_{1}-2 Q_{2}\\right)}{\\left(Q_{3}-Q_{1}\\right)} \\\\1.2=\\frac{(200-2 \\times 76)}{\\left(Q_{3}-Q_{1}\\right)} \\\\Q_{3}-Q_{1}=\\frac{48}{1.2}=40 \\\\Q_{3}-Q_{1}=40

aus der gegebenen Relation haben wir

Q_1+Q_3=200 \\\\Q_1=200-Q_3

aus diesen beiden Gleichungen können wir schreiben

Q_{3}-Q_{1}=40 \\\\ Q_{3}-(200-Q_3)=40 \\\\2Q_3=240 \\\\Q_3=120

Der Wert des dritten Quartils beträgt also 120.

4. Ermitteln Sie den Schiefekoeffizienten für die folgenden Informationen

x93-9798-102103-107108-112113-117118-122123-127128-132
f25121714631

Lösung: hier verwenden wir Bowleys Maß für die Schiefe mit Quartilen

KlasseFrequenzkumulative Häufigkeit
92.5-97.522
97.5-102.557
102.5-107.51219
107.5-112.51736
112.5-117.51450
117.5-122.5656
122.5-127.5359
127.5-132.5160
N = 60

Als Nth/ 4 = 15th Beobachtung der Klasse ist 102.5-107.5 , Nth/ 2 = 30th Beobachtung der Klasse ist 107.5-112.5 und 3Nth/ 4 = 45th Beobachtung der Klasse ist 112.5-117.5 so

Q_{1}=l_{1}+\\frac{\\left(\\frac{N}{4}-m_{1}\\right) c_{1}}{f_{1}}=102.5+\\frac{\\left(\\frac{60}{4}-7\\right) 5}{12}=105.83

und

Q_{3}=l_{3}+\\frac{\\left(\\frac{3 N}{4}-m_{3}\\right) c_{3}}{f_{3}}=112.5+\\frac{\\left(\\frac{3 \\times 60}{4}-36\\right) 5}{14}=115.714

und Median ist

Q_{2}=l_{2}+\\frac{\\left(\\frac{N}{2}-m_{2}\\right) c_{2}}{f_{2}}=107.5+\\frac{\\left(\\frac{60}{2}-19\\right) 5}{17}=110.735

so

Q=\\frac{Q_{3}+Q_{1}-2 M}{Q_{3}-Q_{1}}=\\frac{115.714+105.83-2 \\times 110.735}{115.714-105.83}=0.0075

was eine positiv verzerrte Verteilung ist.

wo ist der Mittelwert in einer positiv schiefen Verteilung

Wir wissen, dass die positiv schiefe Verteilung eine rechtsschiefe Verteilung ist, also ist die Kurve rechtsseitig, die Bedeutung dieser Informationen liegt näher am Schwanz, so dass der Mittelwert in einer positiv schiefen Verteilung näher am Schwanz liegt und da bei positiv oder rechts schiefe Verteilung mean>median>mode, so dass der Mittelwert nach dem Median liegt.

Rechtsschiefe Verteilung mittlerer Medianmodus|Beziehung zwischen mittlerem Median und Modus bei positiv verzerrter Verteilung

Bei der positiv-schiefen oder rechtsschiefen Verteilung liegen die Maße der zentralen Tendenzen Mittelwert, Median und Modus in der Reihenfolge vor Mittelwert>Median>Modus, da der Modus der kleinste dann der Median ist und die größte zentrale Tendenz der Mittelwert ist, der für die rechtsseitige Kurve für die Information näher am Ende der Kurve liegt.

so ist die Beziehung zwischen Mittelwert Median und Modus bei positiv schiefer Verteilung in aufsteigender Reihenfolge und mit Hilfe der Differenz dieser beiden zentralen Tendenzen kann der Schiefekoeffizient berechnet werden, so dass Mittelwert, Median und Modus auch die Natur der Schiefe ergeben.

positiv schiefe Verteilungskurve | positiv schiefe Verteilungskurve

Der Graph entweder in Form einer glatten Kurve oder in Form eines Histogramms für die diskreten Informationen, die Art ist rechtsseitig, da der Mittelwert der Informationen um den Schwanz der Kurve herum gesammelt wird, da die Schiefe der Verteilung die Form der Verteilung diskutiert. Da sich die große Datenmenge links von der Kurve befindet und das Ende der Kurve rechts länger ist.

einige der Graphen von positiv verteilten Informationen sind wie folgt

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Aus den obigen Grafiken ist klar, dass der Kurve in jeglicher Hinsicht die Symmetrie fehlt.

positiv verzerrte Punkteverteilung

In jeder Verteilung, wenn die Bewertungen positiv verzerrt sind, ist dies die Bewertung, die der positiv verzerrten Verteilung als Mittelwert > Median > Modus folgt, und die Kurve der Verteilungsbewertung hat eine rechtsseitige Kurve, bei der die Bewertung durch den großen Wert beeinflusst wird.

Diese Art der Verteilung wird als positiv verzerrte Score-Verteilung bezeichnet. Alle Eigenschaften und Regeln für diese Verteilung sind dieselben wie bei der positiv-schiefen oder rechtsschiefen Verteilung.

Positive Skew-Häufigkeitsverteilung

Bei einer positiv schiefen Häufigkeitsverteilung ist die Häufigkeit der Informationen im Durchschnitt kleiner als bei der Verteilung, sodass die positive schiefe Häufigkeitsverteilung nichts anderes ist als die positiv schiefe oder rechtsschiefe Verteilung, bei der die Kurve eine rechtsseitige Kurve ist.

positive vs. negative schiefe Verteilung|positiv schiefe Verteilung vs. negativ schiefe

positive schiefe Verteilungnegative schiefe Verteilung
Bei der positiv schiefen Verteilung werden die Informationen so verteilt, dass der Mittelwert am größten und der Modus am kleinsten ist Bei der negativ schiefen Verteilung wird die Information so verteilt, dass der Mittelwert am kleinsten und der Modus am größten ist
die Kurve ist rechts angebundendie Kurve ist linksseitig
Mittelwert>Median>Modusbedeuten

FAQs

Woher wissen Sie, ob eine Verteilung positiv oder negativ verzerrt ist?

Die Schiefe ist positiv bei Mittelwert>Median>Modus und negativ bei Mittelwert

Aus der Verteilungskurve können wir auch beurteilen, ob die Kurve rechtsseitig positiv ist und wenn die Kurve linksseitig negativ ist

Wie bestimmt man positive Schiefe

Durch Berechnen des Maßes des Schiefekoeffizienten, wenn positiv, dann ist Schiefe positiv oder durch Auftragen der Verteilungskurve, wenn rechtsseitig dann positiv, oder durch Überprüfung von Mittel>Median>Modus

Was bedeutet ein positiver Schiefer?

Die positive Schiefe stellt dar, dass die Bewertung der Verteilung näher an großen Werten liegt und die Kurve rechtsseitig ist und der Mittelwert das größte Maß ist

Wie interpretiert man ein rechtsschiefes Histogramm

Wenn das Histogramm rechtsschief ist, ist die Verteilung eine positiv schiefe Verteilung, wobei Mittel>Median>Modus

Wie ist bei rechtsschiefen Verteilungen das Verhältnis von mittlerem Median und Modus?

Die Beziehung ist Mittelwert>Median>Modus

Fazit:

Die Schiefe ist ein wichtiges Konzept der Statistik, das die Asymmetrie oder den Mangel an Symmetrie in der Wahrscheinlichkeitsverteilung angibt, je nach positivem oder negativem Wert wird sie als positiv schiefe Verteilung oder negativ schiefe Verteilung klassifiziert , wenn Sie weitere Informationen benötigen, gehen Sie durch

https://en.wikipedia.org/wiki/skewness

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