Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion: 5 Beispiele

Diskrete Zufallsvariable und mathematische Erwartung-II

Wie wir jetzt schon mit dem vertraut sind diskrete Zufallsvariableist es die Zufallsvariable, die eine zählbare Anzahl möglicher Werte in einer Sequenz annimmt. Die zwei wichtigen Konzepte im Zusammenhang mit den diskreten Zufallsvariablen sind die Wahrscheinlichkeit der diskreten Zufallsvariablen und die Verteilungsfunktion. Wir beschränken den Namen auf solche Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen wie:

Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (pmf)

                Das Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist die Wahrscheinlichkeit der diskreten Zufallsvariablen, also für jede diskrete Zufallsvariablen  x₁, x₂, x₃, x₄, ……, x_k  die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄) ……, P (x_k) sind die entsprechenden Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen.

Insbesondere für X = a ist P (a) = P (X = a) seine pmf

Wir verwenden hier weiter Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für diskrete Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeit. Alle Wahrscheinlichkeitsmerkmale für die Wahrscheinlichkeit gelten offensichtlich für die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion wie Positivität und die Summierung aller pmf wird eins sein usw

Kumulative Verteilungsfunktion (cdf) / Verteilungsfunktion

  Die Verteilungsfunktion definiert als

F (x) = P (X <= x)

für diskrete Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion ist die kumulative Verteilungsfunktion (cdf) der Zufallsvariablen.

und mathematische Erwartung für eine solche Zufallsvariable wir haben definiert war

Wir sehen nun einige Ergebnisse mathematischer Erwartungen

1. Wenn x₁, X₂, X₃, X₄,… .. sind die diskreten Zufallsvariablen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄)… Die Erwartung für die reelle Wertfunktion g wird sein

Beispiel: Für die folgenden Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen finden Sie das E (X.³)

Hier ist g (X) = X.³

Damit

E (X³) = (-1)³ <em>0.2 + (0)³</em> 0.5 + (1)³ * 0.3

EX³) = 0.1

In ähnlicher Weise können wir für jede n-te Ordnung schreiben

Welches ist als n-ter Moment bekannt.

2. Wenn a und b Konstanten sind, dann

E [aX + b] = aE [X] + b

Dies können wir leicht verstehen als

= aE [X] + b

Abweichung in Bezug auf die Erwartung.

                Für den mit μ bezeichneten Mittelwert beträgt die Varianz der mit var (X) oder σ bezeichneten diskreten Zufallsvariablen X in Bezug auf die Erwartung

Var (X) = E [(X - μ)²]

und das können wir weiter vereinfachen als

Var (X) = E [(X - μ)²]

= E [X²] – 2μ² + u²

= E [X²] – μ²

Dies bedeutet, dass wir die Varianz als Differenz der Erwartung des Zufallsvariablenquadrats und des Erwartungsquadrats der Zufallsvariablen schreiben können.

dh Var (X) = E [X.²] - (EX])²

Beispiel:  Wenn ein Würfel geworfen wird, berechnen Sie die Varianz.

Lösung:  Hier wissen wir, wann die Würfel geworfen werden, die Wahrscheinlichkeiten für jedes Gesicht werden sein

p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

Daher finden wir zur Berechnung der Varianz die Erwartung einer Zufallsvariablen und ihres Quadrats als

E[X]=1.(1/6)+2.(1/6)+3.(1/6)+4.(1/6)+5.(1/6)+6.(1/6)=(7/2)

EX²] = 1²(1/6) +2²(1/6) +3²(1/6) +4²(1/6) +5²(1/6) +6².(1/6) =(1/6)(91)

und wir haben gerade die Varianz als erhalten

Var (X) = E [X.²] - (EX])²

so

Var (X) = (91/6) - (7/2)² = 35 / 12

Einer der wichtige Identität für die Varianz is

1. Für die beliebigen Konstanten a und b haben wir

Var (aX + b) = a² Var (X)

Dies können wir leicht als zeigen

Var (aX + b) = E [(aX + b -aμ-b)² ]

= E [a²(X - μ)²]

=a² E [(X-μ)²]

=a² Var (X)

Bernoulli Zufallsvariable

      Ein Schweizer Mathematiker James Bernoulli definiert die Bernoulli Zufallsvariable als Zufallsvariable mit Erfolg oder Misserfolg als nur zwei Ergebnisse für das Zufallsexperiment.

dh wenn das Ergebnis Erfolg ist X = 1

Wenn das Ergebnis ein Fehler ist, ist X = 0

Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für die Bernoulli-Zufallsvariable ist also

p (0) = P {X = 0} = 1-p

p (1) = P {X = 1} = p

Dabei ist p die Erfolgswahrscheinlichkeit und 1-p die Misserfolgswahrscheinlichkeit.

Hier können wir auch 1-p = q nehmen, wobei q die Ausfallwahrscheinlichkeit ist.

Da diese Art von Zufallsvariablen offensichtlich diskret ist, handelt es sich um eine diskrete Zufallsvariable.

Beispiel: Eine Münze werfen.

Binomiale Zufallsvariable

Wenn wir für ein zufälliges Experiment, das nur ein Ergebnis als Erfolg oder Misserfolg hat, n Versuche durchführen, so dass wir jedes Mal entweder Erfolg oder Misserfolg erhalten, ist die Zufallsvariable X, die das Ergebnis für ein solches zufälliges Experiment mit n Versuchen darstellt, bekannt als Binomiale Zufallsvariable.

                Mit anderen Worten, wenn p die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für den Erfolg in der einzelnen Bernoulli-Studie ist und q = 1-p die Wahrscheinlichkeit für das Scheitern ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses 'x oder i' in n Versuchen

or

Beispiel: Wenn wir sechs Mal zwei Münzen werfen und der Kopf erfolgreich ist und die verbleibenden Ereignisse fehlschlagen, ist die Wahrscheinlichkeit groß

In ähnlicher Weise können wir für jedes solche Experiment berechnen.

Das Binomiale Zufallsvariable hat den Namen Binomial weil es die Erweiterung von darstellt

Wenn wir n = 1 einsetzen, wird dies zur Zufallsvariablen von Bernoulli.

Beispiel: Wenn fünf Münzen geworfen würden und das Ergebnis unabhängig genommen würde, wie hoch wäre die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Köpfe?

Wenn wir hier die Zufallsvariable X als Anzahl der Köpfe nehmen, wird sie zur binomialen Zufallsvariablen mit n = 5 und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von ½

Wenn wir also der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion für die binomische Zufallsvariable folgen, erhalten wir

Beispiel:

In einem bestimmten Unternehmen beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Defekts 0.01 aus der Produktion. Das Unternehmen fertigt und verkauft das Produkt in einer 10er-Packung und bietet seinen Kunden eine Geld-zurück-Garantie, dass höchstens 1 der 10 Produkte defekt ist. Welchen Anteil der verkauften Produktverpackungen muss das Unternehmen ersetzen?

Hier Wenn X die Zufallsvariable ist, die die fehlerhaften Produkte darstellt, dann ist es vom Binomialtyp mit n = 10 und p = 0.01, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Packung zurückkehrt,

Beispiel: (Glücksbringer / Glücksrad) In einem bestimmten Glücksspiel im Hotel setzt ein Spieler auf eine der Zahlen von 1 bis 6, dann würfeln drei Würfel und wenn die Zahl erscheint, setzt der Spieler einmal, zweimal oder dreimal Der Spieler, der so viele Einheiten hat, bedeutet, wenn er einmal erscheint, dann 1 Einheit, wenn er zwei Würfel, dann zwei Einheiten und wenn er drei Würfel und dann drei Einheiten hat, mit Hilfe der Wahrscheinlichkeit zu prüfen, ob das Spiel für den Spieler fair ist oder nicht.

Wenn wir davon ausgehen, dass es mit den Würfel- und Betrugstechniken keine unfairen Mittel gibt, beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden Würfel 1/6, wenn das Ergebnis der Würfel unabhängig angenommen wird, und das Scheitern ist

 Dies ist das Beispiel einer binomischen Zufallsvariablen mit n = 1

Also berechnen wir zuerst die Gewinnwahrscheinlichkeiten, indem wir x zuweisen, wenn die Spieler gewinnen

Um nun zu berechnen, ob das Spiel für den Spieler fair ist oder nicht, berechnen wir die Erwartung der Zufallsvariablen

E[X] = -125+75+30+3/216

= -17/216

Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler das Spiel verliert, wenn er 216 Mal spielt, 17 beträgt.

Fazit:

   In diesem Artikel haben wir einige der grundlegenden Eigenschaften einer diskreten Zufallsvariablen, der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion und der Varianz diskutiert. Darüber hinaus haben wir einige Arten einer diskreten Zufallsvariablen gesehen. Bevor wir mit der kontinuierlichen Zufallsvariablen beginnen, versuchen wir, alle Arten und Eigenschaften einer diskreten Zufallsvariablen abzudecken. Wenn Sie weiterlesen möchten, gehen Sie wie folgt vor:

Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

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