Eigenschaften der Permutation und Kombination
Bei der Erörterung von Permutation und Kombination, da es sich um Auswahl und Anordnung mit oder ohne Überlegungen zur Reihenfolge handelt, gibt es je nach Situation unterschiedliche Typen und Eigenschaften für die Permutation und KombinationDiese Unterschiede zwischen Permutationen und Kombinationen werden wir hier mit begründeten Beispielen erläutern.
Permutationen ohne Wiederholung
Dies ist die normale Permutation, die n Objekte anordnet, die r zu einem Zeitpunkt aufgenommen wurden, dh nPr
n Pr= n! / (nr)!
Anzahl der Bestellungen von n verschiedenen Objekten gleichzeitig n Pn = n!
Darüber hinaus haben wir
nP0 = n! / n! = 1
nPr =n.n-1Pr-1
0! = 1
1 / (- r)! = 0 oder (-r)! = ∞
Permutationen mit Wiederholung
Anzahl der Permutationen (Anordnungen) für verschiedene Elemente, jeweils r, wobei jedes Element einmal, zweimal, dreimal auftreten kann, …… .. r-mal so viele in jeder Anordnung = Anzahl der Möglichkeiten, r Bereiche zu füllen, in denen jedes Element vorhanden ist Artikel kann mit jedem der n Artikel gefüllt werden.
Die Anzahl der Permutationen = Die Anzahl der Füllarten r Orte = (n)r
Die Anzahl der Aufträge, die mit n Objekten organisiert werden können, von denen p sind gleich (und von einer Art) q sind gleich (und von einer anderen Art), r sind ähnlich (und von einer anderen Art) und der Rest ist verschieden ist nPr = n! / (p! q! r!)
Beispiel:
Auf wie viele Arten können 5 Äpfel auf vier Jungen aufgeteilt werden, wenn jeder Junge einen oder mehrere Äpfel nehmen kann.
Lösung: Dies ist das Beispiel einer Permutation mit Wiederholung, da wir wissen, dass wir für solche Fälle haben
Die Anzahl der Permutationen = Die Anzahl der Füllarten r Orte = nr
Erforderliche Anzahl von Wegen sind 45 =10, Da jeder Apfel auf 4 Arten verteilt werden kann.
Beispiel: Finden Sie die Anzahl der Wörter, die mit den Buchstaben des Wortes MATHEMATICS organisiert werden können, indem Sie sie neu gruppieren.
Lösung: Hier können wir beobachten, dass es 2 Ms, 2 As und 2Ts gibt. Dies ist das Beispiel einer Permutation mit Wiederholung
= n! / (p! q! r!)
Erforderliche Anzahl von Wegen ist = 11! / (2! 2! 2!) = 4989600
Beispiel: Wie viele Arten, in denen die Anzahl der Schwänze der Anzahl der Köpfe entspricht, wenn sechs identische Münzen in einer Reihe angeordnet sind.
Lösung: Hier können wir das beobachten
Anzahl der Köpfe = 3
Anzahl der Schwänze = 3
Und da Münzen identisch sind, ist dies das Beispiel einer Permutation mit Wiederholung = n! / (P! Q! R!)
Erforderliche Anzahl von Wegen = 6! / (3! 3!) = 720 / (6X6) = 20
Zirkuläre Permutation:
Bei der zirkulären Permutation ist die Reihenfolge des Objekts vor allem die der anderen.
Bei der kreisförmigen Permutation passen wir die Position eines Objekts an und ordnen die anderen Objekte in alle Richtungen an.
Die zirkuläre Permutation wird auf zwei Arten aufgeteilt:
(i) Zirkuläre Permutation, wenn Einstellungen im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn nahe legen unterschiedliche PermutationzB Vorkehrungen für das Sitzen von Personen am Tisch.
(ii) Kreisförmige Permutation, bei der Einstellungen im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn angezeigt werden gleiche PermutationB. z. B. bestimmte Perlen anordnen, um eine Halskette zu erstellen.
Anordnung im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn
Wenn die Reihenfolge und Bewegung gegen den Uhrzeigersinn und im Uhrzeigersinn sind nicht anders zB Perlenanordnung in Halskette, Blumenanordnung in Girlande usw., dann die Anzahl der kreisförmigen Permutationen von n verschiedene Elemente ist (n-1)! / 2
- Die Anzahl der zirkulären Permutationen für n verschiedene Elemente, die zu einem Zeitpunkt r genommen werden, wenn die Befehle für den Uhrzeigersinn und den Uhrzeigersinn als betrachtet werden anders by nPr /r
- Die Anzahl der zirkulären Permutationen für n verschiedene Elemente, die r gleichzeitig genommen werden, wenn Bestellungen im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn sind nicht anders für nPr / 2r
- Die Anzahl der kreisförmigen Permutationen von n verschiedenen Objekten beträgt (n-1)!
- Die Anzahl der Möglichkeiten, wie n verschiedene Jungen können an einem runden Tisch sitzen (n-1)!
- Die Anzahl der Möglichkeiten, wie n Verschiedene Edelsteine können zu einem Halsband zusammengesetzt werden, ist (n-1)! / 2
Beispiel:
Auf wie viele Arten können fünf Schlüssel in den Ring gelegt werden?
Lösung:
Da im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn bei Ring gleich sind.
Wenn die Reihenfolge und Bewegung gegen den Uhrzeigersinn und im Uhrzeigersinn sind nicht anders dann die Anzahl der kreisförmigen Permutationen von n verschiedene Gegenstände ist
= (n-1)! / 2
Erforderliche Anzahl von Wegen = (5-1)! / 2 = 4! / 2 = 12
Beispiel:
Was wäre die Anzahl der Vereinbarungen, wenn elf Mitglieder eines Ausschusses an einem runden Tisch sitzen, so dass der Präsident und der Sekretär immer zusammen sitzen.
Lösung:
Durch grundlegende Eigenschaft der zirkulären Permutation
Die Anzahl der zirkulären Permutationen von n verschiedenen Dingen ist (n-1)!
Da zwei Positionen fest sind, haben wir
Erforderliche Anzahl von Wegen (11-2)! * 2 = 9! * 2 = 725760
Beispiel: Wie viele Möglichkeiten haben 6 Männer und 5 Frauen, an einem runden Tisch zu essen, wenn keine zwei Frauen zusammensitzen können?
Lösung: Durch grundlegende Eigenschaft der zirkulären Permutation.
Die Anzahl der zirkulären Permutationen von n verschiedenen Dingen ist (n-1)!
Anzahl der Möglichkeiten, wie 6 Männer an einem runden Tisch arrangiert werden können = (6 – 1)! =5!
Jetzt können Frauen in 6 arrangiert werden! Wege und Gesamtzahl der Wege = 6! × 5!
Kombinationen ohne Wiederholung
Dies ist die übliche Kombination: „Die Anzahl der Kombinationen (Auswahlen oder Gruppen), aus denen gebildet werden kann n Es werden verschiedene Objekte gleichzeitig aufgenommen nCr = n! / (nr)! r!
Lese ebenfalls: nCr =nCrr
n Pr /R! =n!/(nr)! =nCr
Beispiel: Ermitteln Sie die Anzahl der Optionen zur Besetzung von 12 offenen Stellen, wenn es 25 Kandidaten gibt und fünf davon aus der geplanten Kategorie stammen, vorausgesetzt, dass 3 freie Stellen für die SC-Kandidaten reserviert sind, während die übrigen für alle offen sind.
Lösung: Da 3 offene Stellen von 5 Bewerbern besetzt werden 5 C3 Wege (dh 5 WÄHLEN 3) und jetzt sind die verbleibenden Kandidaten 22 und die verbleibenden Sitze 9, so wäre es 22C9 (22 WÄHLEN 9) Die Auswahl kann in getroffen werden 5 C3 X 22C9 ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}
5 C3 X 22C9 = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22!/(9!X13!)}=4974200
Die Auswahl kann also auf 4974200 Arten getroffen werden.
Beispiel: Es gibt 10 Kandidaten und drei freie Stellen bei der Wahl. Auf wie viele Arten kann ein Wähler seine Stimme abgeben?
Lösung: Da es nur 3 freie Stellen für 10 Kandidaten gibt, ist dies das Problem von 10 Beispielen für Auswahl 1, 10 Auswahl 2 und 10 Auswahl 3.
Ein Wähler kann abstimmen 10C1+10C2+10C3 = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+120= 175 ways.
Auf 175 Arten kann der Wähler abstimmen.
Beispiel:Es gibt 9 Stühle in einem Raum für 4 Personen, von denen einer ein einsitziger Gast mit einem bestimmten Stuhl ist. Wie viele Arten können sie sitzen?
Lösung: Da können 3 Stühle ausgewählt werden 8C3 und dann können 3 Personen in 3 arrangiert werden! Wege.
3 Personen sollen auf 8 Stühlen sitzen 8C3 (dh 8 WÄHLEN 3) Anordnung
=8C3 X3! = {8! / 3! (8-3)!} X3!
= 56 × 6 = 336
Auf 336 Arten können sie sitzen.
Beispiel: Für fünf Männer und vier Frauen wird eine Gruppe von sechs Personen gebildet. Auf wie viele Arten kann dies getan werden, damit die Gruppe mehr Männer hat.
Lösung: Hier beinhaltet das Problem verschiedene Kombinationen wie 5 WÄHLE 5, 5 WÄHLE 4, 5 WÄHLE 3 für Männer und für Frauen gehören 4 WÄHLE 1, 4 WÄHLE 2 und 4 WÄHLE 3, wie im Folgenden angegeben
1 Frau und 5 Männer =4C1 X 5C5 ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)!}=4
2 Frauen und 4 Männer =4C2 X 5C4 = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5-4)!}=30
3 Frauen und 3 Männer =4C3 X 5C3 = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3!(5-3)!} =40
Daher sind die Gesamtwege = 4 + 30 + 40 = 74.
Beispiel: Die Anzahl der Möglichkeiten, auf denen 12 Jungen in drei Autos fahren können, sodass 4 Jungen in jedem Auto sitzen, vorausgesetzt, drei bestimmte Jungen fahren nicht im selben Auto.
Lösung: Lassen Sie zuerst drei bestimmte Jungen weg, die verbleibenden 9 Jungen können 3 in jedem Auto sein. Dies kann in 9 CHOOSE 3 erfolgen, dh 9C3 Wege,
Die drei bestimmten Jungen können auf drei Arten in jedem Auto platziert werden. Daher ist die Gesamtzahl der Wege = 3X9C3.
={9!/3!(9-3)!}X3= 252
Auf 252 Arten können sie platziert werden.
Beispiel: Auf wie viele Arten kamen 2 grüne und 2 schwarze Kugeln aus einem Beutel mit 7 grünen und 8 schwarzen Kugeln?
Lösung: Hier enthält die Tasche 7 grüne, von denen wir 2 auswählen müssen, also ist es 7 WÄHLEN 2 Problem und 8 schwarze Kugeln, von denen wir 2 wählen müssen, so ist es 8 WÄHLEN 2 Problem.
Daher die erforderliche Anzahl = 7C2 X 8C2 = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!}=21X28=588
Auf 588 Arten können wir also 2 grüne und 2 schwarze aus dieser Tasche auswählen.
Beispiel: Es stehen zwölf verschiedene Zeichen englischer Wörter zur Verfügung. Aus diesen Buchstaben werden 2 alphabetische Namen gebildet. Wie viele Wörter können gebildet werden, wenn mindestens ein Buchstabe wiederholt wird?
Lösung: Hier müssen wir 2 Buchstaben aus 12 Buchstaben auswählen, damit es sich um ein Problem handelt.
Anzahl der Wörter mit 2 Buchstaben, in denen Buchstaben jederzeit wiederholt wurden = 122
Aber nein. von Wörtern, die zwei verschiedene Buchstaben von 12 haben =12C2 = {12!/2!(12-2)!} =66
Erforderliche Anzahl von Wörtern = 122-66 = 144-66 = 78.
Beispiel: Es gibt 12 Punkte in der Ebene, an denen sechs kollinear sind. Wie viele Linien können dann durch Verbinden dieser Punkte gezeichnet werden?
Lösung: Für 12 Punkte in einer Ebene, um eine Linie zu bilden, benötigen wir 2 gleiche Punkte für sechs kollineare Punkte. Dies ist also das Problem von 12 WÄHLEN 2 und 6 WÄHLEN 2.
Die Anzahl der Zeilen beträgt = 12C2 - 6C2 +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2)!}+1 =66-15+1=52
Auf 52 verschiedene Arten können Linien gezogen werden.
Beispiel: Finden Sie die Anzahl der Möglichkeiten, wie ein 6-köpfiges Kabinett aus 8 Herren und 4 Damen aufgebaut werden kann, sodass das Kabinett aus mindestens 3 Damen besteht.
Lösung: Für die Bildung des Komitees können wir zwischen 3 Männern und Frauen und 2 Männern und 4 Frauen wählen, sodass das Problem 8 WÄHLEN 3, 4 WÄHLEN 3, 8 WÄHLEN 2 und 4 WÄHLEN 4 umfasst.
Es können zwei Arten von Schränken gebildet werden
(i) 3 Männer und 3 Damen haben
(ii) 2 Männer und 4 Damen haben
Möglich nein. von Wegen = (8C3 X 4C3) + (8C2 X4C4)= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252
Auf 252 Arten können wir also ein solches Kabinett bilden.
Dies sind einige Beispiele, in denen wir die Situation von vergleichen können nPr vs nCr Im Falle der Permutation ist die Art und Weise, wie die Dinge organisiert sind, wichtig. In Kombination bedeutet die Reihenfolge jedoch nichts.
Zusammenfassung
Eine kurze Beschreibung der Permutation und Kombination bei Wiederholung und Nichtwiederholung mit der Grundformel und wichtige Ergebnisse werden in Form von realen Beispielen bereitgestellt, in dieser Artikelserie werden wir die verschiedenen Ergebnisse und Formeln mit relevanten Beispielen im Detail diskutieren, wenn Sie weiterlesen möchten:
SCHAUMS ÜBERBLICK ÜBER Theorie und Probleme der DISKRETEN MATHEMATIK
https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
https://en.wikipedia.org/wiki/Combination
Weitere Artikel zur Mathematik finden Sie hier Link
Ich bin Dr. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ich habe meinen Ph.D. abgeschlossen. in Mathematik und arbeitet als Assistenzprofessor für Mathematik. Verfügt über 12 Jahre Erfahrung im Unterrichten. Verfügt über umfangreiche Kenntnisse in reiner Mathematik, insbesondere in Algebra. Sie verfügen über die immense Fähigkeit, Probleme zu entwerfen und zu lösen. Kann Kandidaten motivieren, ihre Leistung zu steigern.
Ich liebe es, zu Lambdageeks beizutragen, um Mathematik sowohl für Anfänger als auch für Experten einfach, interessant und selbsterklärend zu machen.
Hallo Mitleser,
Wir sind ein kleines Team bei Techiescience, das hart mit den Großen zusammenarbeitet. Wenn Ihnen gefällt, was Sie sehen, teilen Sie unsere Inhalte bitte in den sozialen Medien. Ihre Unterstützung macht einen großen Unterschied. Danke schön!