Punktabschnitte oder Verhältnisformeln: 41 kritische Lösungen

Grundlegende Beispiele zu den Formeln „Punktabschnitte oder Verhältnis“

Fall-I

Aufgabe 21: Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P(x, y), der das Liniensegment, das die beiden Punkte (1,1) und (4,1) im Verhältnis 1:2 verbindet, intern teilt.

Lösung:   Wir wissen es schon,

Wenn ein Punkt P(x,y) teilt den Streckenabschnitt AB innen im Verhältnis m:n,wo Koordinaten von A und B sind (x1,y1) und (x2,y2) beziehungsweise. Dann sind die Koordinaten von P 

gif

und

gif

(Siehe Formeltabelle)

Mit dieser Formel können wir sagen: (x1,y1) ≌(1,1) dh   x1= 1, y1=1 ;

(x2,y2)≌(4,1) dh   x2= 4, y2=1   

und

m: n  ≌ 1:2 d.h   m=1,n=2

Screenshot 4
Grafische Darstellung

Daher sind        

x =

gif

( Werte von m & n in . einsetzen   

gif

Oder, x =1*4+2*1/3 ( Setzen von Werten von x1 &  x2 auch )

Oder, x = 4 + 2 / 3

Oder, x = 6*3

 Or, x = 2

Ebenso erhalten wir,  

y =

gif

( Werte von m & n in . einsetzen     y =

gif

Oder, y =(1*1+2*1)/3 ( Setzen von Werten von y1 &  y2 auch )

Oder, y = 1*1+2/3

Oder, y =  3/3

Oder, y = 1

 Daher sind x=2 und y=1 sind die Koordinaten des Punktes P dh (2,1).   (Antworten)

Im Folgenden werden weitere beantwortete Probleme zur weiteren Übung mit dem in obiger Aufgabe 21 beschriebenen Verfahren gegeben:

Problem 22: Finden Sie die Koordinaten des Punktes, der das Liniensegment intern teilt, das die beiden Punkte (0,5) und (0,0) im Verhältnis 2:3 verbindet.

                     Antwort (0,2)

Problem 23: Finden Sie den Punkt, der das Liniensegment, das die Punkte (1,1) und (4,1) im Verhältnis 2:1 verbindet, intern teilt.

Antwort (3,1)

Problem 24: Finden Sie den Punkt, der auf dem Liniensegment liegt, das die beiden Punkte (3,5,) und (3,-5,) verbindet, und teilen Sie es im Verhältnis 1:1

Antwort (3,0)

Problem 25: Finden Sie die Koordinaten des Punktes, der das Liniensegment intern teilt, das die beiden Punkte (-4,1) und (4,1) im Verhältnis 3:5 . verbindet

Antwort. (-1,1)

Problem 26: Finden Sie den Punkt, der das Liniensegment, das die beiden Punkte (-10,2) und (10,2) verbindet, im Verhältnis 1.5 : 2.5.

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Fall II

Probleme 27:   Finden Sie die Koordinaten des Punktes Q(x,y), der das Liniensegment, das die beiden Punkte (2,1) und (6,1) im Verhältnis 3:1 verbindet, nach außen teilt.

Lösung:  Wir wissen es schon,

Wenn ein Punkt Q(x,y) teilt den Streckenabschnitt AB äußerlich im Verhältnis m:n,woher Koordinaten of A und B sind (x1,y1) und (x2,y2) bzw. dann sind die Koordinaten des Punktes P 

gif

und

gif

(Siehe Formeltabelle)

Mit dieser Formel können wir sagen:  (x1,y1) ≌(2,1) dh  x1= 2, y1=1 ;

                                                    (x2,y2)≌(6,1) dh   x2= 6, y2=1 und   

                                                    m: n  ≌ 3:1 dh    m=3,n=1   

Punktabschnitte
Grafische Darstellung

Daher sind  

x =

gif

( Werte von m & n in . einsetzen     x  =

gif

Oder, x =(3*6)-(1*2)/2 ( Setzen von Werten von x1 &  x2 auch )

Oder, x18-2 / 2

Oder, x  = 16 / 2

Oder, x = 8

Ebenso erhalten wir,  

y =

gif

( Werte von m & n in . einsetzen     y =

gif

Oder, y =

gif

( Setzen von Werten von y1 &  y2 auch )

Oder, y = 3-1 / 2

Oder, y =  2/2

Oder, y = 1

 Daher sind x=8 und y=1 sind die Koordinaten des Punktes Q ie (8,1).   (Antworten)

Im Folgenden werden weitere beantwortete Probleme zur weiteren Übung mit dem in obiger Aufgabe 27 beschriebenen Verfahren gegeben:

Problem 28: Finden Sie den Punkt, der das Liniensegment, das die beiden Punkte (2,2) und (4,2) verbindet, im Verhältnis nach außen teilt 3 : 1.

Antwort (5,2)

Problem 29: Finden Sie den Punkt, der das Liniensegment, das die beiden Punkte (0,2) und (0,5) verbindet, im Verhältnis nach außen teilt 5:2.

Antwort (0,7)

Problem 30: Finden Sie den Punkt, der auf dem verlängerten Teil des Liniensegments liegt, das die beiden Punkte (-3,-2) und (3,-2) im Verhältnis . verbindet 2 : 1.

Antwort (9,-2)

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Fall-III

Probleme 31:  Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts des Liniensegments, das die beiden Punkte (-1,2) und (1,2) verbindet.

Lösung:   Wir wissen es schon,

Wenn ein Punkt R(x,y) sei der Mittelpunkt der Liniensegmentverbindung Axt1,y1) und B(x2,y2).Dann Koordinaten von R sind

gif

und

gif

(Siehe Formeltabelle)

Fall-III ist die Form von Fall-I, während m=1 und n=1

Mit dieser Formel können wir sagen:  (x1,y1) ≌(-1,2) dh  x1=-1, y1=2 und

                                                    (x2,y2)≌(1,2) dh   x2= 1, y2=2

Screenshot 11
Grafische Darstellung

Daher sind

x =

gif

( Setzen von Werten von x1 &  x2  in x =

gif

Oder, x  = 0/2

Oder, x = 0

Ebenso erhalten wir, 

y =2 + 2 / 2 ( Setzen von Werten von y1 &  y2  in y =

gif

Oder, y 4/2

Oder, y = 2

Daher sind x=0 und y=2 sind die Koordinaten des Mittelpunkts R dh (0,2).   (Antworten)

Im Folgenden werden weitere beantwortete Probleme zur weiteren Übung mit dem in obiger Aufgabe 31 beschriebenen Verfahren gegeben:

Problem 32: Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Linie, die die beiden Punkte (-1,-3) und (1,-4) verbindet.

Antwort (0,3.5)

Problem 33: Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts, der das Liniensegment teilt, das die beiden Punkte (-5,-7) und (5,7) verbindet.

Antwort (0,0)

Problem 34: Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts, der das Liniensegment teilt, das die beiden Punkte (10,-5) und (-7,2) verbindet.

Antwort (1.5, -1.5)

Problem 35: Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts, der das Liniensegment teilt, das die beiden Punkte (3,√2) und (1,3 .) verbindet2).

Antwort (2,2√2)

Problem 36: Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts, der das Liniensegment teilt, das die beiden Punkte (2+3i,5) und (2-3i,-5) verbindet.

Antwort (2,0)

Hinweis: So prüfen Sie, ob ein Punkt eine Linie (Länge=d Einheiten) intern oder extern durch das Verhältnis m:n . teilt

Wenn ( m×d)/(m+n) + ( n×d)/(m+n) = d , dann interne Teilung und

Wenn ( m×d)/(m+n) – ( ​​n×d)/(m+n) = d , dann extern dividieren

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Grundlegende Beispiele zu den Formeln „Fläche eines Dreiecks“

Fall-I 

Probleme 37: Wie groß ist die Fläche des Dreiecks mit zwei Ecken? A (1,2) und B (5,3) und Höhe in Bezug auf AB be 3 Einheiten in der Koordinatenebene?

 Lösung:   Wir wissen es schon,

If "H" sei die Höhe und "B" sei die Basis von Dreieck, dann  Fläche des Dreiecks ist = ½ × b × h

(Siehe Formeltabelle)

image?w=366&h=269&rev=57&ac=1&parent=1Ug0lE5AOAhO4i0HE5fVqVUKTEbR0on8yfNNyWgAF Po
Grafische Darstellung

Mit dieser Formel können wir sagen: 

 h = 3 Einheiten und b =

(x<sub>2</sub>-x<sub>1</sub>)<sup>2</sup>+(y<sub>2</sub>-y<sub>1</sub>)<sup>2 </sup>

dh  

(5-1)<sup>2</sup>+(3-2)<sup>2 </sup>

                    Oder, b =

(4) 2 +(1) 2

                    Oder, b =

(16+1

                    Oder,  b = √ 17 Einheiten

Daher ist die erforderliche Fläche des Dreiecks   = ½ × b × h dh

= ½ × (√ 17 ) × 3 Einheiten

= 3⁄2 × (√ 17 ) Einheiten (Ans.)

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Fall II

Probleme 38:Wie groß ist die Fläche des Dreiecks mit Ecken ver A(1,2), B(5,3) und C(3,5) in der Koordinatenebene?

 Lösung:   Wir wissen es schon,

If  Axt1,y1), B(x2,y2) und C(x3,y3) seien die Eckpunkte eines Dreiecks,

Fläche des Dreiecks ist  =|½

x 1 (y 2 - y 3 ) + x 2 (y 3 - y 2 ) + x 3 (y 2 - y 1 )

|

(Siehe Formeltabelle)

Mit dieser Formel haben wir 

                                              (x1,y1) ≌(1,2) dh   x1= 1, y1=2 ;

                                              (x2,y2) ≌(5,3) dh   x2= 5, y2= 3 und

                                              (x3,y3) ≌(3,5) dh    x3= 3, y3=5

image?w=364&h=194&rev=207&ac=1&parent=1Ug0lE5AOAhO4i0HE5fVqVUKTEbR0on8yfNNyWgAF Po
Grafische Darstellung

Daher ist die Fläche des Dreiecks =

x 1 (y 2 - y 3 ) + x 2 (y 3 - y 1 ) + x 3 (y 1 -y 2 )

| dh 

=

1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)

Quadratmetereinheiten 

=

1x (-2) + (5×2) + (3×1)

|    Quadratmetereinheiten

=

-2 + 10 + 3

|    Quadratmetereinheiten

= x 11|     Quadratmetereinheiten

= 11⁄2     Quadratmetereinheiten

= 5.5      Quadratmetereinheiten         (Antwort)

Weitere beantwortete Probleme werden unten für weitere Übungen mit dem in den obigen Problemen beschriebenen Verfahren gegeben:-

Problem 39: Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks, dessen Eckpunkte (1,1), (-1,2) und (3,2) sind.

Antwort 2 Quadratmetereinheiten

Problem 40: Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks, dessen Eckpunkte (3,0), (0,6) und (6,9) sind.

Antwort 22.5 Quadratmetereinheiten

Problem 41: Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks, dessen Eckpunkte (-1,-2), (0,4) und (1,-3) sind.

Antwort 6.5 Quadratmetereinheiten

Problem 42: Finden Sie die Fläche des Dreiecks, dessen Eckpunkte (-5,0,), (0,5) und (0,-5) sind.                                 Antwort 25 Quadratmetereinheiten

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