Punktabschnitte oder Verhältnisformeln: 41 kritische Lösungen


Grundlegende Beispiele zu den Formeln „Punktabschnitte oder Verhältnis“

Fall-I

Aufgabe 21: Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P(x, y), der das Liniensegment, das die beiden Punkte (1,1) und (4,1) im Verhältnis 1:2 verbindet, intern teilt.

Lösung:   Wir wissen es schon,

Wenn ein Punkt P(x,y) teilt den Streckenabschnitt AB innen im Verhältnis m:n,wo Koordinaten von A und B sind (x1,y1) und (x2,y2) beziehungsweise. Dann sind die Koordinaten von P 

und

(Siehe Formeltabelle)

Mit dieser Formel können wir sagen: (x1,y1) ≌(1,1) dh   x1= 1, y1=1 ;

(x2,y2)≌(4,1) dh   x2= 4, y2=1   

und

m: n  ≌ 1:2 dh   m=1,n=2

Grafische Darstellung

Deswegen,       

x =

( Werte von m & n in . einsetzen   

Oder, x =1*4+2*1/3 ( Setzen von Werten von x1 &  x2 auch )

Oder, x = 4 + 2 / 3

Oder, x = 6 * 3

 Or, x = 2

Ebenso erhalten wir,  

y =

( Werte von m & n in . einsetzen     y =

Oder, y =(1*1+2*1)/3 ( Setzen von Werten von y1 &  y2 auch )

Oder, y = 1*1+2/3

Oder, y =  3 / 3

Oder, y = 1

 Deswegen, x=2 und y=1 sind die Koordinaten des Punktes P dh (2,1).   (Antworten)

Im Folgenden werden weitere beantwortete Probleme zur weiteren Übung mit dem in obiger Aufgabe 21 beschriebenen Verfahren gegeben:

Problem 22: Finden Sie die Koordinaten des Punktes, der das Liniensegment intern teilt, das die beiden Punkte (0,5) und (0,0) im Verhältnis 2:3 verbindet.

                     Antwort (0,2)

Problem 23: Finden Sie den Punkt, der das Liniensegment, das die Punkte (1,1) und (4,1) im Verhältnis 2:1 verbindet, intern teilt.

Antwort (3,1)

Problem 24: Finden Sie den Punkt, der auf dem Liniensegment liegt, das die beiden Punkte (3,5,) und (3,-5,) verbindet, und teilen Sie es im Verhältnis 1:1

Antwort (3,0)

Problem 25: Finden Sie die Koordinaten des Punktes, der das Liniensegment intern teilt, das die beiden Punkte (-4,1) und (4,1) im Verhältnis 3:5 . verbindet

Antwort. (-1,1)

Problem 26: Finden Sie den Punkt, der das Liniensegment, das die beiden Punkte (-10,2) und (10,2) verbindet, im Verhältnis 1.5 : 2.5.

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Fall II

Probleme 27:   Finden Sie die Koordinaten des Punktes Q(x,y), der das Liniensegment, das die beiden Punkte (2,1) und (6,1) im Verhältnis 3:1 verbindet, nach außen teilt.

Lösung:  Wir wissen es schon,

Wenn ein Punkt Q(x,y) teilt den Streckenabschnitt AB äußerlich im Verhältnis m:n,woher Koordinaten of A und B sind (x1,y1) und (x2,y2) bzw. dann sind die Koordinaten des Punktes P 

und

(Siehe Formeltabelle)

Mit dieser Formel können wir sagen:  (x1,y1) ≌(2,1) dh  x1= 2, y1=1 ;

                                                    (x2,y2)≌(6,1) dh   x2= 6, y2=1 und   

                                                    m: n  ≌ 3:1 dh    m=3,n=1   

Punktabschnitte
Grafische Darstellung

Deswegen, 

x =

( Werte von m & n in . einsetzen     x  =

Oder, x =(3*6)-(1*2)/2 ( Setzen von Werten von x1 &  x2 auch )

Oder, x18-2 / 2

Oder, x  = 16 / 2

Oder, x = 8

Ebenso erhalten wir,  

y =

( Werte von m & n in . einsetzen     y =

Oder, y =

( Setzen von Werten von y1 &  y2 auch )

Oder, y = 3-1 / 2

Oder, y =  2 / 2

Oder, y = 1

 Deswegen, x=8 und y=1 sind die Koordinaten des Punktes Q ie (8,1).   (Antworten)

Im Folgenden werden weitere beantwortete Probleme zur weiteren Übung mit dem in obiger Aufgabe 27 beschriebenen Verfahren gegeben:

Problem 28: Finden Sie den Punkt, der das Liniensegment, das die beiden Punkte (2,2) und (4,2) verbindet, im Verhältnis nach außen teilt 3 : 1.

Antwort (5,2)

Problem 29: Finden Sie den Punkt, der das Liniensegment, das die beiden Punkte (0,2) und (0,5) verbindet, im Verhältnis nach außen teilt 5 min..

Antwort (0,7)

Problem 30: Finden Sie den Punkt, der auf dem verlängerten Teil des Liniensegments liegt, das die beiden Punkte (-3,-2) und (3,-2) im Verhältnis . verbindet 2 : 1.

Antwort (9,-2)

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Fall-III

Probleme 31:  Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts des Liniensegments, das die beiden Punkte (-1,2) und (1,2) verbindet.

Lösung:   Wir wissen es schon,

Wenn ein Punkt R(x,y) sei der Mittelpunkt der Liniensegmentverbindung Axt1,y1) und B(x2,y2).Dann Koordinaten von R sind

und

(Siehe Formeltabelle)

Fall-III ist die Form von Fall-I, während m=1 und n=1

Mit dieser Formel können wir sagen:  (x1,y1) ≌(-1,2) dh  x1=-1, y1=2 und

                                                    (x2,y2)≌(1,2) dh   x2= 1, y2=2

Grafische Darstellung

Deswegen,

x =

( Setzen von Werten von x1 &  x2  in x =

Oder, x  = 0 / 2

Oder, x = 0

Ebenso erhalten wir, 

y =2 + 2 / 2 ( Setzen von Werten von y1 &  y2  in y =

Oder, y 4 / 2

Oder, y = 2

Deswegen, x=0 und y=2 sind die Koordinaten des Mittelpunkts R dh (0,2).   (Antworten)

Im Folgenden werden weitere beantwortete Probleme zur weiteren Übung mit dem in obiger Aufgabe 31 beschriebenen Verfahren gegeben:

Problem 32: Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Linie, die die beiden Punkte (-1,-3) und (1,-4) verbindet.

Antwort (0,3.5)

Problem 33: Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts, der das Liniensegment teilt, das die beiden Punkte (-5,-7) und (5,7) verbindet.

Antwort (0,0)

Problem 34: Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts, der das Liniensegment teilt, das die beiden Punkte (10,-5) und (-7,2) verbindet.

Antwort (1.5, -1.5)

Problem 35: Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts, der das Liniensegment teilt, das die beiden Punkte (3,√2) und (1,3 .) verbindet2).

Antwort (2,2√2)

Problem 36: Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts, der das Liniensegment teilt, das die beiden Punkte (2+3i,5) und (2-3i,-5) verbindet.

Antwort (2,0)

Hinweis: So prüfen Sie, ob ein Punkt eine Linie (Länge=d Einheiten) intern oder extern durch das Verhältnis m:n . teilt

Wenn ( m×d)/(m+n) + ( n×d)/(m+n) = d , dann interne Teilung und

Wenn ( m×d)/(m+n) – ( ​​n×d)/(m+n) = d , dann extern dividieren

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Grundlegende Beispiele zu den Formeln „Fläche eines Dreiecks“

Fall-I 

Probleme 37: Wie groß ist die Fläche des Dreiecks mit zwei Ecken? A (1,2) und B (5,3) und Höhe in Bezug auf AB be 3 Einheiten in der Koordinatenebene?

 Lösung:   Wir wissen es schon,

If "H" sei die Höhe und "B" sei die Basis von Dreieck, dann  Fläche des Dreiecks ist = ½ × b × h

(Siehe Formeltabelle)

Grafische Darstellung

Mit dieser Formel können wir sagen: 

 h = 3 Einheiten und b = √ [(x2-x1)2+ (y2-y1)2 ] dh  [(5-1)2+(3-2)2 ]

                    Oder, b = [(4)2+ (1)2 ]

                    Oder, b = [(16+1 ]

                    Oder,  b = √ 17 Einheiten

Daher ist die erforderliche Fläche des Dreiecks   = ½ × b × h dh

= ½ × (√ 17 ) × 3 Einheiten

= 3⁄2 × (√ 17 ) Einheiten (Ans.)

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Fall II

Probleme 38:Wie groß ist die Fläche des Dreiecks mit Ecken ver A(1,2), B(5,3) und C(3,5) in der Koordinatenebene?

 Lösung:   Wir wissen es schon,

If  Axt1,y1), B(x2,y2) und C(x3,y3) seien die Eckpunkte eines Dreiecks,

Fläche des Dreiecks ist  =|½[x1 (y2-  y3) + X2 (y3-  y2) + X3 (y2- und1)]|

(Siehe Formeltabelle)

Mit dieser Formel haben wir 

                                              (x1,y1) ≌(1,2) dh   x1= 1, y1=2 ;

                                              (x2,y2) ≌(5,3) dh   x2= 5, y2=3 und

                                              (x3,y3) ≌(3,5) dh    x3= 3, y3=5

Grafische Darstellung

Daher ist die Fläche des Dreiecks = |½[x1 (y2-  y3) + X2 (y3-  y1) + X3 (y1-y2)]| dh 

= |½[1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)]|  Quadratmetereinheiten 

= |½[ 1x (-2) + (5×2) + (3×1)]|    Quadratmetereinheiten

= |½[-2 + 10 + 3]|    Quadratmetereinheiten

= x 11|     Quadratmetereinheiten

= 11⁄2     Quadratmetereinheiten

= 5.5      Quadratmetereinheiten         (Antwort)

Weitere beantwortete Probleme werden unten für weitere Übungen mit dem in den obigen Problemen beschriebenen Verfahren gegeben:-

Problem 39: Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks, dessen Eckpunkte (1,1), (-1,2) und (3,2) sind.

Antwort 2 Quadratmetereinheiten

Problem 40: Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks, dessen Eckpunkte (3,0), (0,6) und (6,9) sind.

Antwort 22.5 Quadratmetereinheiten

Problem 41: Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks, dessen Eckpunkte (-1,-2), (0,4) und (1,-3) sind.

Antwort 6.5 Quadratmetereinheiten

Problem 42: Finden Sie die Fläche des Dreiecks, dessen Eckpunkte (-5,0,), (0,5) und (0,-5) sind.                                 Antwort 25 Quadratmetereinheiten

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NASRINA PARVIN

Hallo .... ich bin Nasrina Parvin. Ich habe meinen Abschluss in Mathematik gemacht und 10 Jahre Erfahrung im indischen Ministerium für Kommunikation und Informationstechnologie gesammelt. In meiner Freizeit unterrichte und löse ich gerne mathematische Probleme. Seit meiner Kindheit ist Mathe das einzige Fach, das mich am meisten fasziniert hat.

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