Die bedingte Wahrscheinlichkeit: 7 interessante Fakten

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingt Wahrscheinlichkeitstheorie kommen aus dem Konzept, ein großes Risiko einzugehen. Heutzutage gibt es viele Themen, die vom Glücksspiel abhängen, wie das Werfen von Münzen, das Werfen von Würfeln und das Spielen von Karten. 

Die bedingte Wahrscheinlichkeitstheorie wird in vielen verschiedenen Bereichen und in der Flexibilität von angewendet Bedingte Wahrscheinlichkeit bietet Werkzeuge für fast so viele verschiedene Anforderungen. Wahrscheinlichkeitstheorie und Stichproben im Zusammenhang mit der Untersuchung der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignissen.

Betrachten Sie X und Y als zwei Ereignisse eines zufälligen Experiments. Danach wird die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von X unter dem Umstand, dass Y bereits mit P (Y) ≠ 0 aufgetreten ist, als bedingte Wahrscheinlichkeit bezeichnet und mit P (X / Y) bezeichnet.

Daher ist P (X / Y) = Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von X, sofern Y bereits aufgetreten ist.

P(X⋂Y)/P(Y) = n(X⋂Y)/n(Y)

In ähnlicher Weise ist P (Y / X) = Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Y, da X bereits aufgetreten ist.

P(X⋂Y)/P(X) = n(X⋂Y)/n(Y)

Kurz gesagt, für einige Fälle wird P (X / Y) verwendet, um die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von X beim Auftreten von Y anzugeben. In ähnlicher Weise wird P (Y / X) verwendet, um die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Y während des Auftretens von X anzugeben.

Was ist der Multiplikationssatz zur Wahrscheinlichkeit?

Wenn X und Y beide selbsttragende (unabhängige) Ereignisse eines beliebigen Experiments sind, dann

P (X ⋂ Y) = P(X). P( X/Y ), falls P ( X ) ≠ 0

P (X ⋂ Y) = P( Y ). P( Y/X ), falls P ( Y ) ≠ 0

Was sind Multiplikationssätze für unabhängige Ereignisse? 

If X und Y sind beide selbsttragende (unabhängige) Ereignisse, die mit einem beliebigen Experiment verbunden sind, dann ist P (X ∩ Y) = P (X) .P (Y)

dh, Die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Auftretens zweier unabhängiger Ereignisse entspricht der Multiplikation ihrer Wahrscheinlichkeiten. Unter Verwendung des Multiplikationssatzes haben wir P (X ∩ Y) = P (Y) .P (Y / X)

 Da X und Y unabhängige Ereignisse sind, ist P (Y / X) = P (Y)

Impliziert, P (X ∩ Y) = P (X) .P (Y)

Während sich Ereignisse gegenseitig ausschließen: 

Wenn X und Y sich gegenseitig ausschließende Ereignisse sind, dann ist ⇒ n(X ∩ Y)= 0 , P(X ∩ Y) = 0

P (XUY) = P (X) + P (Y)

Für drei Ereignisse X, Y, Z, die sich gegenseitig ausschließen, 

P (X ≤ Y) = P (Y ≤ Z) = P (Z ≤ X) = P (X ≤ Y ≤ Z) = 0

P (X⋃Y⋃Z) = P(X) + P(Y) + P(Z)

Während Ereignisse unabhängig sind: 

Wenn X und Y nicht eingeschränkte (oder unabhängige) Ereignisse sind, dann

P(X ∩ Y) = P(X).P(Y)

P(XUY) = P(X) + P(Y) – P(X). P(Y)

Sei X und Y dann zwei Ereignisse, die mit einem beliebigen (oder zufälligen) Experiment verbunden sind

Wenn Y⊂ X, dann

(b) P(Y) ≤ P(X)

In ähnlicher Weise, wenn X⊂ Y, dann

(b) P(X) ≤ P(Y)

Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von weder X noch Y ist 

Beispiel: Wenn aus einem Kartenspiel eine einzelne Karte ausgewählt wird. Was ist die mögliche Chance, dass es entweder ein Spaten oder ein König ist?

Lösung:

P (A) = P (eine Spatenkarte) = 13/52

P (B) = P (eine Königskarte) = 4/52

P (entweder ein Spaten oder eine Königskarte) = P (A oder B)

= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)

= P (A) + P (B) -P (A) P (B)

=13/52+4/52-{(13/52)*(4/52)}

= 4 / 13

Beispiel: Es ist bekannt, dass jemand das Ziel mit 3 von 4 Chancen trifft, während eine andere Person das Ziel mit 2 von 3 Chancen trifft. Finden Sie heraus, ob die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel überhaupt getroffen wird, wenn beide Personen es versuchen.

Lösung:

 Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel von der ersten Person getroffen wird = P (A) = 3/4

Wahrscheinlichkeit des Zieltreffens durch die zweite Person = P (B) = 2/3

Die beiden Ereignisse schließen sich nicht gegenseitig aus, da beide Personen dasselbe Ziel treffen = P (A oder B)

= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)

= P (A) + P (B) -P (A) P (B)

=3/4+2/3-{(3/4)*(2/3)}

= 11 / 12

Beispiel: If  A  und B Sind zwei Ereignisse so, dass P(A)=0.4, P(A+B)=0.7 und P(AB)=0.2, dann P(B)?

Lösung: Da wir P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB) haben

=> 0.7 = 0.4 + P (B) -0.2

=> P (B) = 0.5

Beispiel: Eine Karte wird beliebig aus einem Kartenspiel ausgewählt. Was ist die Möglichkeit, dass die Karte eine rote Farbkarte oder eine Königin ist?

Lösung: Erforderliche Wahrscheinlichkeit ist

P (Rot + Königin) -P (Rot ⋂ Königin)

= P (rot) + P (Königin) -P (rot ⋂ Königin)

=26/52+4/52-2/52=28/52=7/13

Beispiel: Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass X im Test versagt, 0.3 beträgt und die Wahrscheinlichkeit, dass Y im Test versagt, 0.2 beträgt, finden Sie dann die Wahrscheinlichkeit, dass X oder Y im Test versagt haben?

Lösung: Hier ist P(X)=0.3, P(Y)=0.2

Nun P(X ∪ Y)= P(X) +P(Y) -P(X ⋂ Y)

Da dies unabhängige Ereignisse sind, also

P (X ⋂ Y) = P (X). P (Y)

Die erforderliche Wahrscheinlichkeit beträgt also 0.3 + 0.2 - 0.06 = 0.44

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, in der Physik zu scheitern, liegt bei 20% und die Wahrscheinlichkeit, in der Mathematik zu scheitern, bei 10%. Welche Möglichkeiten gibt es, in mindestens einem Fach zu scheitern?

Lösung: Sei P(A) =20/100=1/5, P(B) =10/100=1/10

Da sind Ereignisse unabhängig und wir müssen finden 

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) -P (A). P (B)

=(1/5)+(1/10)-(1/5). (1/10)= (3/10)-(1/50)=14/50

Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschlags in einem Fach beträgt also (14/50) x 100 = 28%

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass drei Schüler eine Frage lösen, beträgt 1/2,1, 4/1 bzw. 6/XNUMX. Wie hoch ist die mögliche Chance, die Frage zu beantworten?

Lösung:

(i) Diese Frage kann auch von einem Schüler gelöst werden

(ii) Diese Frage kann von zwei Studenten gleichzeitig beantwortet werden.

(iii) Diese Frage kann von drei Studenten zusammen beantwortet werden.

P(A)=1/2, P(B)=1/4, P(C)=1/6

P (A ≤ B ≤ C) = P (A) + P (B) + P (C) - [P (A) .P (B) + P (B) .P (C) + P (C). P (A)] + [P (A) .P (B) .P (C)]

=(1/2)+(1/4)+(1/6)-[(1/2).(1/4)+(1/4).(1/6)+(1/6).(1/2)] +[(1/2).(1/4).(1/6)] =33/48

Beispiel: Eine Zufallsvariable X hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Ermitteln Sie für die Ereignisse E ={X ist eine Primzahl} und F={X<4} die Wahrscheinlichkeit von P(E ∪ F).

Lösung:

E = {X ist eine Primzahl}

P (E) = P (2) + P (3) + P (5) + P (7) = 0.62

F ={X < 4}, P(F) =P(1)+P(2)+P(3)=0.50

und P(E ⋂ F) = P(2)+ P(3) =0.35

P (E ≤ F) = P (E) + P (F) - P (E ≤ F)

      = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77

Beispiel: Drei Münzen werden geworfen. Wenn eine von ihnen als Schwanz erscheint, wie groß wäre dann die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Münzen als Schwanz erscheinen?

Lösung: Geht davon E ist das Ereignis, bei dem alle drei Münzen als Schwanz erscheinen F ist das Ereignis, bei dem eine Münze Schwanz erscheint. 

F = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

und E = {TTT}

Erforderliche Wahrscheinlichkeit = P (E / F) = P (E ⋂ F) / P (E) = 1/7

Gesamtwahrscheinlichkeit und Baye-Regel

Das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit:

Für den Probenraum S und n schließen sich Ereignisse und erschöpfende Ereignisse E gegenseitig aus₁ E₂ … .E_n im Zusammenhang mit einem zufälligen Experiment. Wenn X ein bestimmtes Ereignis ist, das mit den Ereignissen E auftritt₁ oder E.₂ oder oder E_n und dann 

Bayes Regel: 

Geht davon S sei ein Probenraum und E.₁, E₂,… ..E_n be n inkongruente (oder sich gegenseitig ausschließende) Ereignisse, so dass

und P(E_i) > 0 für i = 1,2,…,n

Wir können daran denken E_iist als die Faktoren, die zum Ergebnis eines Experiments führen. Die Wahrscheinlichkeiten P(E_i), i = 1, 2,… .., n werden als frühere (oder frühere) Wahrscheinlichkeiten bezeichnet. Wenn die Bewertung zu einem Ergebnis von Ereignis X führt, wo P(X)> 0. Dann müssen wir die Möglichkeit wahrnehmen, dass das wahrgenommene Ereignis X eine Ursache hat E_idas heißt, wir suchen nach der bedingten Wahrscheinlichkeit P (E._i/X) . Diese Wahrscheinlichkeiten werden als Posterior-Wahrscheinlichkeiten bezeichnet und durch die Baye-Regel als gegeben

Beispiel: Es gibt 3 Kisten, von denen bekannt ist, dass sie 2 blaue und 3 grüne Murmeln enthalten. 4 blaue und 1 grüne Murmeln und 3 blaue und 7 grüne Murmeln. Ein Marmor wird zufällig aus einer der Kisten gezogen und als grüne Kugel befunden. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass es aus der Schachtel mit den meisten grünen Murmeln gezogen wurde?

Lösung: Betrachten Sie die folgenden Ereignisse:

A -> gezeichneter Marmor ist grün;

E₁ -> Box 1 ist ausgewählt;

E₂ Box 2 ist ausgewählt

E₃ Feld 3 wird ausgewählt.

SPORT₁) = P (E.₂) = P (E.₃) = 1/3, p (A / E.₁) = 3/5

Dann

P (A / E.₂)=1/5, P(A/E₃) = 7/10

Erforderliche Wahrscheinlichkeit = P (E.₃/EIN)

SPORT₃)P(A/E₃)/SPORT₁)P(A/E₁)+P(E₂)P(A/E₂)+P(E₃)P(A/E₃) = 7/15

Beispiel: Bei einem Aufnahmetest gibt es Multiple-Choice-Fragen. Auf jede Frage gibt es vier wahrscheinlich richtige Antworten, von denen eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler die richtige Antwort auf eine bestimmte Frage wahrnimmt, liegt bei 90 %. Wenn er die richtige Antwort auf eine bestimmte Frage erhält, wie hoch ist dann die wahrscheinliche Wahrscheinlichkeit, die er vorhergesagt hat?

Lösung: Wir definieren folgende Ereignisse:

A₁ : Er kennt die Antwort.

A₂ : Er könnte die Antwort nicht wissen.

E: Er ist sich der richtigen Antwort bewusst.

P (A.₁) =9/10, P(A₂) =1-9/10=1/10, P(E/A₁) = 1,

ERBSE₂) = 1/4

Also die erwartete Wahrscheinlichkeit

Beispiel: Eimer A enthält 4 gelbe und 3 schwarze Murmeln und Eimer B enthält 4 schwarze und 3 gelbe Murmeln. Ein Eimer wird zufällig genommen und ein Marmor wird gezogen und notiert, dass er gelb ist. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass es Eimer kommt B.

Lösung: Es basiert auf dem Satz von Baye. 

Wahrscheinlichkeit des gepflückten Eimers A , P(A)=1/2

Wahrscheinlichkeit des gepflückten Eimers B , P (B) = 1/2

Wahrscheinlichkeit von gelbem Marmor aus Eimer A  =P(A). P(G/A)=(1/2)x (4/7)=2/7 

Wahrscheinlichkeit von gelbem Marmor aus Eimer B = P(B).P(G/B)=(1/2)x(3/7)=3/14

Gesamtwahrscheinlichkeit für gelbe Murmeln = (2/7)+(3/14)=1/2

Wahrscheinlichkeit, dass gelbe Murmeln aus dem Eimer gezogen werden B  

P(G/B)={P(B).P(G/B)}/{P(A).P(G/A)+P(B).P(G/B)}={(1/2)x(3/7)}/{[(1/2)x(4/7)]+[(1/2)+(3/7)]} =3/7

Fazit:

 In diesem Artikel diskutieren wir hauptsächlich über die Bedingte Wahrscheinlichkeit und Bayes Theorem mit den Beispielen von diesen direkten und abhängigen Folgen des Prozesses diskutieren wir jetzt in den aufeinanderfolgenden Artikeln, wir beziehen Wahrscheinlichkeit auf Zufallsvariable und einige vertraute Begriffe im Zusammenhang mit der Wahrscheinlichkeitstheorie, die wir diskutieren werden, wenn Sie weiterlesen möchten, dann gehen Sie durch:

Schaums Umrisse von Wahrscheinlichkeit und Statistik und W.ikipedia Seite.

Weitere Informationen finden Sie in unserem Mathematik-Seite.

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ich bin Dr. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ich habe meinen Ph.D. abgeschlossen. in Mathematik und arbeitet als Assistenzprofessor für Mathematik. Verfügt über 12 Jahre Erfahrung im Unterrichten. Verfügt über umfangreiche Kenntnisse in reiner Mathematik, insbesondere in Algebra. Sie verfügen über die immense Fähigkeit, Probleme zu entwerfen und zu lösen. Kann Kandidaten motivieren, ihre Leistung zu steigern.
Ich liebe es, zu Lambdageeks beizutragen, um Mathematik sowohl für Anfänger als auch für Experten einfach, interessant und selbsterklärend zu machen.